数学建模--路灯问题.docx

最终报告课题名称：关于城市街道路灯分布规划问题一、问题描述1. 问题背景随着城市化水平的不断提高，城市街道越来越多，街道上的路灯数量也会大量增加，如何合理安放路灯便成为一个重要问题。在能源日益紧张的今天，更需要一种能够尽可能节约能源的路灯安置方案。2. 主要问题对某一条街道两侧的路灯，在照明强度的要求已知时，寻求一种路灯安置方案，（选定合适的路灯高度、路灯之间的间距），使路灯的安置达到要求，同时路灯的数量尽可能减少，路灯的能耗达到最低。3. 问题研究的意义通过对路灯问题的研究，找到一种安置方案，优化现有路灯布局，使路灯能耗降低，以节省经济投入。二、问题分析要使能耗最小，在路灯功率一定的情况下，只能减少路灯的使用量。因此，在满足最低照明功率的前提下，通过改变路灯的高度来使路灯之间的距离达到最优是本问题的一个解决方案。三、模型假设所有路灯都紧靠在路的边界线上，且照明效果都相同。光源是点光源。在单个光源照射下，距光源L的点的光照强度为C=f(L)；在多光源照射下，某一点的光照强度为各光源对该点光照强度的代数和。道路处处等宽，路面上每一点的光照强度至少要达到C0。四、说明1. 照度定律：点光源O的发光强度是P，则距点光源O为l的点的照度为E=Phl32. 参量变量说明：（1）设路灯的高度：h ， 路的宽度：d=7m（2）经过实际考察，路灯的功率：P=2200W（3）路灯的间距：l（4）查阅资料可知，使物体可见的最低照明强度：c0=20W/m2 五、模型建立与求解Ox-l2-3l2l23l2y( x , d )单排路灯平直道路的路灯优化问题首先考虑直路上只安装一排路灯时的最优化方案，目的是通过调整路灯的高度和间距，使路灯的间距尽可能大，以减少路灯数量，节约成本。忽略相邻的四盏路灯之外路灯对该点的影响。建立如图坐标系，不难发现路面上光强最弱的点分布在路的另一边界。假设四盏路灯下最暗点坐标为x,d(x0,l2)，设该点照度为E，则有E=Phh2+d2+x-3l2232+Phh2+d2+x-l2232+Phh2+d2+x+l2232+Phh2+d2+x+3l2232E=-2Phx(1h2+d2+x-3l2252+1h2+d2+x-l2252+1h2+d2+x+l2252+1h2+d2+x+3l2252)易求得当x =0时E有最小值Em=2Phh2+d2+3l2232+2Phh2+d2+l2232令Em=c0，c0=2Phh2+d2+3l2232+2Phh2+d2+l2232用C程序求解程序源代码：#include #include double s(double l, double h);void main() double c, h, t51, delta, left, right, mid; int i;c = 20; while (1) scanf(%lf, &h); if (h = 0) break;t0 = 30; for (i = 1; i = 50; i+)ti = s(i, h);if (ti - c) * (ti-1 - c) = 0)break;left = i-1;right = i;domid = left * 0.618 + right * 0.382;if (s(mid, h) = c)left = mid;elseright = mid;delta = s(left, h) - c;while (delta = -1);printf(l=%lf,%lfn, left, delta); double s(double l, double h)double s, p, d, k1, k2;p = 2200;d = 7;k1 = h * h + d * d + l * l * 2.25;k1 = sqrt(k1 * k1 * k1);k2 = h * h + d * d + l * l * 0.25;k2 = sqrt(k2 * k2 * k2);s = 2 * p * h * (1 / k1 + 1 / k2);return s;解得当h9.6m时，l的值最大，lm=13.38m两排路灯直路的优化问题两排路灯安置有对称和非对称两种形式，考虑美观，本方案针对对称安置优化问题进行讨论。同（1）中研究方法，试图寻找路面光照度最小点，使其不小于c0即可。如图，易得，八盏路灯构成的平行四边形中心为光强最弱点。则在满足照度最低要求下h与l的关系式c0=4Phh2+d22+3l2232+4Phh2+d22+l2232同样利用C程序求解，解得当h=7.4m时，l的值最大，lm=25.38m十字路口的路灯安置根据两排路灯直路的讨论，满足照度要求的路灯最大间距为25米。那么两条7米宽的路交叉，可看作在一条道路相临两盏灯之间插入一条道路，即不改变当前路灯分布是完全可行的。若考虑美观，可将路灯对称地排在十字路口的四个角上。丁字路口的路灯安置丁字路与十字路类似，亦可看作在一条道路的一侧相临两盏灯之间插入一条道路，不改变当前路灯分布也是完全可行的。此时若考虑路口安全问题，可在支路所对方向安置一盏灯。六、结论及扩展到此为止，本小组关于城市街道路灯分布规划问题的研究暂时结束。本课题中主要讨论了单排路灯、两排路灯、十字路口、丁字路口的路灯安置优化问题，按照国家标准，路灯间距的最大值应为路灯的高度的3.