第二轮数列的综合应用

2009-2010年高考二轮复习专题数列数列的综合应用一、知识点梳理1 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题；2能熟练地求一些特殊数列的通项和前项的和；3使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力5在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力6培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法 二、例题选讲1(）1若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则a-（ D ）A4 B2 C2 D42（）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则为-（ A ）（A） （B） （C） （D）3（）三个数成等差数列，如果将最小数乘2，最大数加上7，所得三数之积为1000，且成等比数列，则原等差数列的公差一定是-（ C ）A.8B.8或15C. 8D.154（) 在各项均不为零的等差数列中，若，则-（A ）5（）在等差数列中，前n项的和为Sn,若Sm=2n,Sn=2m,(m、nN且mn)，则公差d的值为-（ A ）A.B. C. D. 6（) ( B ) （A）8 （B）9 （C）10 （D）117（) 正项等比数列an与等差数列bn满足且，则，的大小关系为-（ B ） （A） =（B）（C）（D）不确定8（）设函数（R，且，N*），的最小值为，最大值为，记，则数列- -（ C ）（A）是公差不为0的等差数列 （B）是公比不为1的等比数列（C）是常数列 （D）不是等差数列，也不是等比数列 9（) 三角形三个边长组成等差数列，周长为36，内切圆周长为6，则此三角形是-（ D ）A正三角形B等腰直角三角形C等腰三角形，但不是直角三角形 D直角三角形，但不是等腰三角形10（）设是定义在上恒不为0的函数，对任意，都有，若（为常数），则数列的前项和的取值范围是-( D )A B C D 11（）等差数列an的前10项中，项数为奇数的各项之和为125，项数为偶数的各项之和为15，则首项a1_113_，公差d_-22_12（）正项等比数列的首项，其前11项的几何平均数为，若前11项中抽取一项后的几何平均数仍是，则抽取一项的项数为_6 13（）设数列满足,且数列是等差数列，求数列的通项公式（nN*）.15设，利用课本中推导等差数列前项和方法，求的值为 5 .14（）在等差数列与等比数列中，则 的大小关系是 15（）等差数列的前n项和为Sn，且如果存在正整数M，使得对一切正整数n，都成立，则M的最小值是 2 。 16（）已知，把数列的各项排成三角形状； 记表示第行，第列的项，则.17（）已知一个数列的各项是1或3首项为1，且在第个1和第个1之间有个3,即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，记数列的前项的和为试问第2007个1为该数列的第几项？求a2007；S2007；是否存在正整数，使得Sm=2007？如果存在,求出的值；如果不存在,说明理由解：将第个1与第个1前的3记为第对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+（22-1）=4项；为第对，共项；故前对共有项数为 第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项，即为2006(2006+1)+1=4026042（项） 因4445=1980，4546=2070，故第2007项在第45对内，从而 由可知，前2007项中共有45个1，其余1962个数均为3，于是S2007=45+31962=5931 前对所在全部项的和为易得，=3252+25=1900，=3262+26=2054，=1901，且自第652项到第702项均为3,而2007-1901=106不能被3整除，故不存在，使Sm=200718（）已知Sn=1+,(nN*)设f(n)=S2n+1Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式：f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立.解：Sn=1+.(nN*),f(n+1)f(n)，f(n)是关于n的增函数，f(n) min=f(2)=要使一切大于1的自然数n，不等式f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立只要logm(m1)2log(m1)m2成立即可由得m1且m2，此时设logm(m1)2=t 则t0于是解得0t1，由此得0logm(m1)21， 解得m且m2.19（）已知各项均为正数的数列，满足：，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求，并确定最小正整数，使为整数解：（1）条件可化为，因此为一个等比数列，其公比为2，首项为，所以因an0，由式解出an（2）由式有SnTn为使SnTn为整数，当且仅当为整数.当n1,2时，显然SnTn不为整数，当n3时， 只需为整数，因为3n1与3互质，所以为9的整数倍.当n9时，13为整数，故n的最小值为9.20（）已知数列xn的各项为不等于1的正数，其前n项和为Sn，点Pn的坐标为（xn,Sn），若所有这样的点Pn(n=1,2，)都在斜率为k的同一直线(常数k0,1)上。求证：数列xn是等比数列；设yn=log (2a23a+1)满足ys=,yt=（s,tN，且st）其中a为常数，且1aM时，xn1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由。证明点Pn、Pn+1都在斜率为k的直线上，=k，即=k故 (k1)xn+1=kxn，k0,xn+11,xn1，=常数xn是公比为的等比数列。答案是肯定的，即存在自然数M，使当nM时，xn1恒成立。事实上，由1a，得02a23a+10首项为x1，则xn=x1qn1(nN)=(n1) logq+logx1令d=logq，故得是以d为公差的等差数列。又=2t+1, =2s+1，=2(ts)，即(s1)d(t1)d=2(ts)，d=2故=+（ns）(2)=2（t+s）2n+1，（nN）又xn=(2a23a+1) （nN），要使xn1恒成立，即须02(t+s)2n+1(t+s)+，当M=t+s,nM时，我们有M=（t+s）时，xn=(2a23a+1) 1恒成立。（02a23a+10，S110，则使0的最小的n值是-（ B ） A5 B6 C7 D89（) 已知为的一次函数，为不等于1的常量，且, 设，则数列为-( B ） A等差数列 B等比数列 C递增数列 D递减数列10（）凸n边形的各内角度数成等差数列，最小角是，公差为，则边数n等于-（ A ）A9B12C16D1811（）设为等差数列的前n项和，14，S1030，则S954. 12（）在此数列的每相邻两项中间插入三项，使它们仍构成一个新的等差数列，则原数列的第10项，是新数列的第_37_项，新数列的第29项，是原数列的第_8_项13（）在等比数列an中，若an0，q=2，且a1a2a3a30=230，则a3a6a9a30=_220_14（）已知等比数列及等差数列，其中，公差d0将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，则这个新数列的前10项之和为_978_.15（）在等差数列an中，它的前n项和记为Sn，已知，则n的值是 15 .16（）下述两个等差数列（1）3，7，11，.407（2）2，9，16，., 709的公共项有_14_个17（）数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式；的值.解由a1=1，n=1，2，3，得，由（n2），得（n2），又a2=，所以an=(n2), 数列an的通项公式为；由可知是首项为，公比为项数为n的等比数列， =18（）设数列的前项的和，n=1，2，3， 求首项与通项；设，n=1，2，3，证明：解由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,将和相减得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,将an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 0不存在。21（）已知数列中，在直线y=x上，