第十四章导数

第十四章 导数1（2006年安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A B C D解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A2 ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2y2 4x2y+=0相切的直线的方程为 (A)（A）y=-3x或y=x (B) y=-3x或y=-x （C）y=-3x或y=-x (B) y=3x或y=x 3（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（A ）A1个 B2个 C3个D 4个4（2006年全国卷I）设函数。若是奇函数，则_。4要使为奇函数，需且仅需，即：。又，所以k只能取0，从而。5（2006年江苏卷）对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是解：，令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前n项和点评：本题主要考查利用导数求切线方程，再与数列知识结合起来，解决相关问题。6（2006年江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）0，则必有（ C ）A f（0）f（2）2f（1）解：依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，）上是增函数；当x0, 减,增.11（2006年北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，如图所示.求：（）的值；（）的值.11. （）=1; （）.12（2006年辽宁卷）已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，且a0,d0.设1-上，在，将点A， B， C (I)求(II)若ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值【解析】(I)解: 令,得当时, ;当时, 所以f(x)在x=-1处取得最小值即(II) 的图像的开口向上,对称轴方程为由知在上的最大值为即又由当时, 取得最小值为由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=a+d,c=a+2d,得联立(1)(2)可得.解法2: 又c0知在上的最大值为即: 又由当时, 取得最小值为由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=a+d,c=a+2d,得联立(1)(2)可得【点评】本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力13（2006年江西卷）已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值（1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2） 若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。13解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由f（），f（1）32ab0得a，b2f（x）3x2x2（3x2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，）f（x）00f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）与（1，）递减区间是（，1）（2）f（x）x3x22xc，x1，2，当x时，f（x）c为极大值，而f（2）2c，则f（2）2c为最大值。要使f（x）f（2）2c解得c214（2006年天津卷）已知函数，其中为参数，且（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围14无极值；15（2006年全国卷I）已知函数。（）设，讨论的单调性；（）若对任意恒有，求的取值范围。15解：（I） 的定义域为（，1）（1，） 因为（其中）恒成立，所以 当时，在（，0）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数； 当时，在（，0）（0，1）（1，）上恒成立，所以在（，1）（1，）上为增函数； 当时，的解为：（，）（t，1）（1，+）（其中）所以在各区间内的增减性如下表：区间（，）（，t）（t，1）（1，+）的符号+的单调性增函数减函数增函数增函数（II）显然 当时，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有； 当时，是在区间 0，1上的最小值，即，这与题目要求矛盾； 若，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有。综合、 ，a的取值范围为（，2）OO116（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为，则由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）故底面正六边形的面积为：=，（单位：）帐篷的体积为：（单位：）求导得。令，解得（不合题意，舍去），当时，为增函数；当时，为减函数。当时，最大。答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力17（2006年湖北卷）设是函数的一个极值点.（）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）设，.若存在使得成立，求的取值范围.17 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。解：（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，则 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是极值点，所以x+a+10，那么a4.当a3x1，则在区间（，3）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（a1，）上，f (x)4时，x23x1，则在区间（，a1）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（3，）上，f (x)0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e30，f (3)a6，那么f (x)在区间0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是a2，（a2）e4，由于（a2）（a6）a2a（）20，所以只须仅须（a2）（a6）0，解得0a0 , f(x)是R上的单调增函数.（II）0x0 , 即x1x0y1.又f(x)是增函数, f(x1)f(x0)f(y1).即x2x00 =x1, y2=f(y1)=f()=y1,综上, x1x2x0y2y1.用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,上面已证明成立.(2)假设当n=k(k1)时有xkxk+1x0yk+1yk . 当n=k+1时,由f(x)是单调增函数,有f(xk)f(xk+1)f(x0)f(yk+1)f(yk),xk+1xk+2x0yk+2yk+1由(1)(2)知对一切n=1,2,都有xnxn+1x0yn+1yn.（III） = = yn2+xnyn+xn2(yn+xn)+ (yn+xn)2(yn+xn)+ =(yn+xn)2+ . 由()知 0yn+xn1. yn+xn , ()2+ = 22（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？22本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。满分12分。解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗没（升）。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数。当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。23（2006年福建卷）已知函数（I）求在区间上的最大值（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。23本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。解：（I）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为24（2006年广东卷）设函数分别在、处取得极小值、极大值.平面上点A、B的坐标分别为、,该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线的对称点.求()点A、B的坐标 ；()动点Q的轨迹方程24解: ()令解得当时, 当时, ,当时,所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,所以,