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圆幂定理 1 PA PB分别切 O于A B PA PB OPA OPB 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 切线长定理 几何语言 反思 切线长定理为证明线段相等 角相等提供了新的方法 2 P B A O 3 连结圆心和圆外一点 2 连结两切点 1 分别连结圆心和切点 反思 在解决有关圆的切线长问题时 往往需要我们构建基本图形 3 1 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 并且垂直平分切点弦 小结 PA PB分别切 O于A B PA PB OPA OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等 角相等 弧相等 垂直关系提供了理论依据 必须掌握并能灵活应用 2 圆的外切四边形的两组对边的和相等 4 例 如图所示PA PB分别切圆O于A B 并与圆O的切线分别相交于C D 已知PA 7cm 1 求 PCD的周长 2 如果 P 70 求 COD的度数 E 5 下面我们首先沿用从特殊到一般的思路 学习与圆有关的比例线段的几个定理 希望大家做好记录 探究1 如图1 AB是 O的直径 CD AB AB与CD相交于P 线段PA PB PC PD之间有什么关系 证明 连接AD BC 则由圆周角定理的推论可得 A C Rt APD Rt CPB 6 探究2 将图 中的AB向上 或向下 平移 使AB不再是直径 如图 结论 还成立吗 证明 连接AD BC 则由圆周角定理的推论可得 A C Rt APD Rt CPB 7 证明 连接AD BC 则由圆周角定理的推论可得 A C APD CPB 探究3 上面讨论了CD AB的情形 进一步地 如果CD与AB不垂直 如图 AB CD是圆内的任意两条相交弦 结论 还成立吗 PA PB PC PD 3 综上所述 不论AB CD具有什么样的位置 都有结论 成立 8 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 几何语言 AB CD是圆内的任意两条相交弦 交点为P PA PB PC PD 上面通过考察相交弦交角变化中有关线段的关系 得出相交弦定理 下面从新的角度考察与圆有关的比例线段 9 探究4 使圆的两条弦的交点从圆内 图 运动到圆上 图 再到圆外 图 结论 1 还成立吗 当点P在圆上 PA PC 0 所以PA PB PC PD 0仍成立 当点P在圆外 连接AD BC 容易证明 PAD PCB 所以PA PC PD PB 即PA PB PC PD仍成立 10 如图 已知点P为 O外一点 割线PBA PDC分别交 O于A B和C D 求证 PA PB PC PD 证法2 连接AC BD 四边形ABDC为 O的内接四边形 PDB A 又 P P PBD PCA PD PA PB PC PA PB PC PD 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等 应用格式 几何语言描述 PAB PCD是 O的割线 PA PB PC PD 11 证明 连接AC AD 同样可以证明 PAD PCA 所以PA PC PD PA 即PA2 PC PD仍成立 12 如图 已知点P为 O外一点 PA切 O于点A 割线PCD交 O于C D 求证 PA2 PC PD 证明 连接AC AD PA切 O于点A D PAC 又 P P PAC PDA PA PD PC PA PA2 PC PD 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和条割线 切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项 应用格式 几何语言描述 PA是 O的切线 PCD是 O的割线 PA PC PD O D P C A 探究5 使圆的割线PD绕点P运动到切线位置 可以得出什么结论 13 14 思考 从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点 1 结论都为乘积式 2 几条线段都是从同一点出发 3 都是通过三角形相似来证明 都隐含着三角形相似 另外 从全等角度可以得到 15 2 联系直角三角形中的射影定理 你还能想到什么 说明了 射影定理 是 相交弦定理 和 切割线定理 的特例 16 例1如图 圆内的两条弦AB CD相交于圆内一点P 已知PA PB 4 PC PD 4 求CD的长 解 设CD x 则PD 4 5x PC 1 5x 由相交弦定理 得PA PB PC PD 4 4 1 5x 4 5x 解得x 10 CD 10 17 练习1 如图 割线PAB PCD分别交圆于A B和C D 1 已知PA 5 PB 8 PC 4 则PD PT 2 已知PA 5 PB 8 PO 7 则半径R 10 3 O D P A T B C PA PB 7 R 7 R PAC PDB BED AEC PAD PCB E 18 练习2 如图 A是 O上一点 过A切线交直径CB的延长线于点P AD BC D为垂足 求证 PB PD PO PC 分析 要证明PB PD PO PC 很明显PB PD PO PC在同一直线上无法直接用相似证明 且在圆里的比例线段通常化为乘积式来证明 所以可以通过证明PB PC PD PO 而由切割线定理有PA2 PB PC 只需再证PA2 PD PO 而PA为切线 所以连接OA 由射影定