高三数学一轮基础导航5.3等比数列

5.3等比数列【考纲要求】 1、理解等差数列、等比数列的概念.2、掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.3、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4、了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.【基础知识】1、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的商都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做这个数列的公差。即2、等比中项若成等比数列，那么叫做的等比中项。两个实数的等比中项有两个，就是这两个数的算数平均数。3、等比数列的性质等比数列的通项公式： 其前项的和公式 或 等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项。 等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即成等比数列。4、等比数列性质的判断和证明方法一：定义法，数列是等比数列方法二：中项法， 数列是等比数列5、等比数列有5个基本量，求解它们，多利用方程组的思想，知三求二。注意要弄准它们的值。6、三个数成等差数列，一般设为，三个数成等比数列，一般设为四个数成等差数列，一般设为，四个数成等比数列一般设为【例题精讲】例1 等比数列an满足：a1a611，a3a4，且公比q(0,1)(1)求数列an的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn21，求n的值解：(1)a3a4a1a6，由条件知：a1，a6是方程x211x0的两根，解得x或x.又0q1，a1，a6，q5，q，从而ana6qn6n6.(2)令21，得n，n6.例2 等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值；（11）当b=2时，记 求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时, 当时,又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以（2）当b=2时，, 则 相减,得所以 5.3等比数列强化训练【基础精练】1.等比数列an的公比为q，则“q1”是“对于任意正整数n，都有an1an”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.已知数列an是首项为a1的等比数列，则能保证4a1，a5，2a3成等差数列的公比q的个数为 ()A.0B.1 C.2 D.3 3.已知等比数列an满足an0，n1,2，且a5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1 ()A.n(2n1) B.(n1)2 C.n2 D.(n1)24.等比数列an中，a1317，q.记f(n)a1a2an，则当f(n)最大时，n的值为 ()A.7 B.8 C.9 D.105.一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A.13项 B.12项 C.11项 D.10项6.已知数列an共有m项，定义an的所有项和为S(1)，第二项及以后所有项和为S(2)，第三项及以后所有项和为S(3)，第n项及以后所有项和为S(n).若S(n)是首项为2，公比为的等比数列的前n项和，则当nm时，an等于 () A. B. C. D. 7.等比数列an中，a1a310，a4a6，则数列an的通项公式为 8.等比数列an的公比q0.已知a21，an2an16an，则an的前4项和S4.9.在所示的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则abc的值为. 10.设Sn为数列an的前n项和，Snkn2n，nN*，其中k是常数.(1)求a1及an；(2)若对于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值.11.已知数列an中，a11，且(n1)an，(n2)an1，n成等差数列. (1)设bn(n1)ann2，求证：数列bn是等比数列；(2)求an的通项公式.12.在数列an中，a1a，且an12Sn2nn2(nN*) (1)若a1，a2，a35成等比数列，求a的值；(2)求通项公式an.【拓展提高】1.已知等比数列an的首项为a1，公比q满足q0且q1.又已知a1,5a3,9a5成等差数列(1)求数列an的通项；(2)令bnlog3，求的值2.已知数列an的前n项和为Sn，a11，且3an12Sn3(n为正整数)(1)求数列an的通项公式；(2)记Sa1a2an，若对任意正整数n，kSSn恒成立，求实数k的最大值【基础精练参考答案】1.D【解析】当a10时，条件与结论均不能由一方推出另一方.2.C【解析】4a1，a5，2a3成等差数列，2a54a1(2a3). 设数列an的公比为q，则a5a1q4，a3a1q2，2a1q44a12a1q2.a10，q4q220，q21或q22(舍去)，q1或q1.3.C【解析】由题知an2n，log2a2n12n1，log2a1log2a3log2a2n113(2n1)n2.4.C【解析】由于an317()n1，易知a93171，a100,0a111，又a1a2a90，故f(9)a1a2a9值最大，此时n9.5.B【解析】设前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn3，a1qn2，a1qn1.所以前三项之积aq32，后三项之积aq3n64 .所以两式相乘，得aq3(n1)8，即aqn12.又a1a1qa1q2a1qn164，aq64，即(aqn1)n642，即2n642.所以n12.6.C【解析】nm，mn1.又S(n)4，S(n1)4，故anS(n)S(n1). 7. an24n【解析】由a4a1q3，a6a3q3得q3，q，又a1(1q2)10， a18.ana1qn18()n124n.8. 【解析】an是等比数列，an2an16an可化为a1qn1a1qn6a1qn1，q2q60.q0，q2.a2a1q1，a1.S4. 9.1【解析】如图： a，2b，b，又3c()2，c，abc1. 10.【解析】(1)由Snkn2n，得a1S1k1，anSnSn12knk1(n2).a1k1也满足上式，所以an2knk1，nN*.(2)由am，a2m，a4m成等比数列，得(4mkk1)2(2kmk1)(8kmk1)，将上式化简，得2km(k1)0，因为mN*，所以m0，故k0，或k1.11.【解析】(1)证明：由已知得(n2)an1(n1)an，b12a1121， .数列bn是等比数列.(2)由(1)得bn ()n1，即(n1)ann2()n1. an()n1.12.【解析】(1)a1a，a22S121122a3，a352(a1a2)222256a19，a1，a2，a35成等比数列，(2a3)2a(6a19)，解得a1或a.(2)an12Sn2nn2(nN*)，an2Sn12n1(n1)2(n2，nN*)，当n2时，得an1an2an2n12n1，即an13an2n12n1.设an1p2n1q(n1)3(anp2nqn)，由4p6p1，得p，由3qnq(n1)2n1，得q1.故n2时，数列an2n1n是以3为公比的等比数列.【拓展提高参考答案】1.【解析】