高三数学一轮练习8.7课后限时作业VIP

一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1. 抛物线yx2的准线方程是 ()A2x10 B2y10C4x10 D4y10解析：2p1，所以y，所以准线方程为4y10，选D.答案：D2. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2y21的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为 ()A2 B. C. D.解析：4x2y21化为标准方程为y21，焦点坐标为，所以焦点到准线的距离为，所以选B.答案：B3.直线l过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F，且交抛物线C于A，B两点，分别从A，B两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A1,B1，则A1FB1是 ( )A.锐角 B.直角C.钝角 D.直角或钝角解析：由|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|易得.答案：B4.（2011届沈阳质检）抛物线y24x的焦点为F，过F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长为 ()A2 B4 C6 D8解析：方法一：(数形结合法)过点A作抛物线的准线x1的垂线，垂足为B，由抛物线定义，有|AB|AF|，易知AB平行于x轴，AFx，BAF，ABF是等边三角形，过F作FC垂直于AB于点C，则|CA|BC|p2，故|AF|AB|4.方法二：(代数法)焦点F(1,0)，AF的直线方程为y0tan (x1)，即y(x1)，代入抛物线方程y24x，得(x1)24x，即3x210x30，解得x3或(舍去)，故点A的坐标为(3,2)，|AF|4.答案：B5.已知点P（x,y）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q（x+y,xy）的轨迹是 ( )A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线解析：点P的轨迹方程是x2+y2=1,令a=x+y，b=xy,将式两边平方得a2=x2+y2+2xy,将x2+y2=1及式代入得a2=1+2b，所以点Q的轨迹是抛物线.答案：B6.（2011届合肥质检）已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，并且2x2x1x3，则有 ()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|FP3|解析：抛物线的准线方程为x，根据抛物线的定义，得|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3.因为2x2x1x3，所以2，即2|FP2|FP1|FP3|.答案：C二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7.线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦，且|AB|=4，则线段AB的中点C到直线x+=0的距离是 .解析：线段AB的中点C到准线x=-的距离为|AB|长的一半，则点C到直线x+=0的距离为.答案：8. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是 米解析：如图，设抛物线方程为yax2.将(4，2)代入方程得a.则抛物线方程为yx2.令y1，则x2.则水面宽度为4.答案：49.已知Q(4,0),P为y2=x+1上任一点，则PQ的最小值为 .答案：10.已知抛物线y2=4x，过点P（4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则y21+y22的最小值是 .解析：设直线方程x=my+4,代入y2=4x消去x得关于y的一元二次方程，y2-4my-16=0,=16m2+640.y1+y2=4m,y1y2=-16,y21+y22=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+3232,当m=0时，y21+y22取得最小值32.答案：32三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11.抛物线y2=2px(p0)上有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程是y=2x,斜边长是5，求此抛物线方程.解：设AOB的抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O，AO边的方程是y=2x,则OB边的方程为y=-x.由y=2x, y2=2px得点A坐标为（,p）.由y=-x, y2=2px得点B坐标为（8p,-4p）.因为|AB|=5,12. 已知动圆过定点A(1,0)，且与直线x1相切(1)求动圆的圆心轨迹C的方程；(2)是否存在直线l，使l过点B(0,1)，并与轨迹C交于P、Q两点，且满足0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解：(1)设M为动圆圆心，由题意知：|MA|等于M到定直线x1的距离，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中A(1,0)为焦点，x1为准线所以动圆的圆心M的轨迹C的方程为：y24x.(2)由题意可设直线l的方程为xk(y1)(k0)，由得y24ky4k0.所以16k216k0k1或k0.又y1y24k，y1y24k.由0x1x2y1y20k2(y11)(y21)y1y20(k21)y1y2k2(y1y2)k204k(k21)k24kk20k4或k0(舍去)又k40)交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是 ()A. B. C2 D3解析：由题意易知，抛物线的准线方程为x1，焦点为F(1,0)，直线x1与双曲线的交点坐标为，若FAB为直角三角形，则只能AFB为直角，FAB为等腰直角三角形，所以2a，从而可得c，所以双曲线的离心率e，选B.答案：B二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3. 若点(3,1)是抛物线y22px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p_ _.解析：直线的方程为y2(x3)12x5，将联立得4x2(202p)x250.则x1x26，解得p2.答案：24.已知抛物线y=2px2(p0)的焦点为F，点P(1, )在抛物线上，过P作PQ垂直抛物线的准线，垂足为Q.若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为 .解析：由P(1, )在抛物线上，得p=，故抛物线的标准方程为x2=4y,点F(0,1)，准线为y=-1,所以|FM|=2，|PQ|=1+=，|MQ|=1，则直角梯形PQMF的面积为(+2)1=.答案：三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5.（2011届江苏无锡模拟）已知点P（1，3），圆C：（x-m）2+y2=过点A(1，-)，F点为抛物线y2=2px(p0)的焦点，直线PF与圆相切.(1)求m的值与抛物线的方程；（2）设点B（2,5），点Q为抛物线上的一个动点，求的取值范围.解：（1）点A代入圆C的方程,得(1-m)2+(-)2=.所以m=1，圆C：（x-1）2+y2=.当直线PF的斜率不存在时不合题意.当直线PF的斜率存在时，设为k，则PF:y=k(x-1)+3,即kx-y-k+3=0.因为直线PF与圆C相切，所以,解得k=1或k=-1.当k=1时，直线PF与x轴的交点横坐标为-2，不合题意，舍去.当k=-1时，直线PF与x轴的交点横坐标为4，符合题意.所以p2=4,所以抛物线方程为y2=16x.(2) =(-1,-2),设Q（x,y）, =(x-2,y-5),=-（x-2)+(-2)(y-5)=-x-2y+12=-2y+12=- (y+16)2+2828.所以的取值范围为（-,28.6. 设抛物线的方程为y24x，过点P(2,0)的直线l与抛物线交于A、B两点，点Q满足(R)(1)当1时，求点Q的轨迹方程；(2)若点Q在x轴上，且13，求直线l的斜率k的取值范围解：方法一：设直线l的方程为myx2，代入y24x得：y24my80.设A、B点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)则y1y24m，y1y28.(1)设Q(x，y)，因为，所以yy1y24m.所以xx1x2m(y1y2)44m24.消去m得：x4，即点Q的轨迹方程为：y24(x4)(2)因为(x1x2，y1y2)且点Q在x轴上，所以y1y20，即y1y2.消去y2得：28.2m22.设f()2，当10恒成立所以02，即0m2.所以k即为直线l的斜率k的取值范围方法二：(1)因为，当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性得Q点坐标为(4,0)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)，代入y24x得k2x2(4k24)x4k20，所以k0.设A、B、Q点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)、Q(x，y)因为，所以解得消去k得：x4.又点(4,0)的坐标也满足方程，所以点Q的轨迹方程为：y24(x4)(2)因为(x1x2，y1y2)且点Q在x轴上，所以y1y20，即k(x12)k(x22)