高三数学一轮练习第八章章末强化训练

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.下列说法正确的是 ( )A.ABC中，已知A（1，1），B（4，1），C（2，3）,则AB边上的高的方程是x=2B.方程y=x2(x0)的曲线是抛物线C.已知平面上两定点A、B，动点P满足|PA|-|PB|= |AB|，则P点的轨迹是双曲线D.第一、三象限角平分线的方程是y=x解析：高为线段，A错,B、C均只是曲线的一部分.答案：D2.已知直线mx+4y-2=0，2x-5y+n=0互相垂直，垂足为P(1,p)，则m-n+p的值为 ( )A.24 B.20 C.0 D.-4解析：直线2x-5y+n=0的斜率为，由两条直线垂直，得到直线mx+4y-2=0的斜率为- ，所以- =- ，得m=10.又因为点P（1,p）在直线mx+4y-2=0和2x-5y+n=0上，代入得到p=-2,n=-12.所以m-n+p=20.答案：B3.由直线y=x+1上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为 ( )A. B.3 C. D.2解析：设直线上的点到圆心的距离为d，切线长为l，因为圆的半径为1，所以l2+12=d2,所以当d最小时，切线长l最短，此时d的长是圆心到直线的距离，即=3，此时切线长为.答案：A4.已知椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于( )A. B. C. D. 解析：由题意可得b=3,a+c=9或a-c=9，解得a=5,b=3,c=4,所以椭圆E的离心率等于.答案：B5.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )A. B. C. D.0解析：M到焦点的距离为1，则其到准线距离也为1.又因为抛物线的准线为y=-,所以M点的纵坐标为.答案：B6. 双曲线1的两条渐近线互相垂直，则它的离心率是 ()A. B. C2 D.解析：由题意知，双曲线的渐近线为yx，所以1，所以a2b2，所以c2a2b22a2，所以ca，所以e.故应选A.答案：A7. 圆心在抛物线y22x(y0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是()Ax2y2x2y10 Bx2y2x2y10Cx2y2x2y0 Dx2y2x2y0解析：因为圆与抛物线y22x的准线及x轴都相切，所以圆心到焦点F的距离就是圆心到x轴的距离，故圆心的坐标可设为，半径为y0(y00)因为圆心在y22x上(且y0)，得y2，即y01.所以圆的圆心坐标为，半径为1，故圆的方程为2(y1)21，即：x2y2x2y0，故应选D.答案： D8.（2011届沈阳质检）已知方程ax2by2ab和axbyc0(其中ab0，ab，c0)，它们所表示的曲线可能是 ()解析：B中由双曲线知，a、b异号，直线的斜率为0，符合故应选B.答案：B9.（2011届滨州质检）平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么 ()A甲是乙成立的充分不必要条件B甲是乙成立的必要不充分条件C甲是乙成立的充要条件D甲是乙成立的非充分非必要条件解析：当|PA|PB|是定值，且|PA|PB|AB|时才是椭圆，故充分性不成立若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则必有|PA|PB|为定值，故必要性成立，故应选B.答案：B10.（2011届青岛质检）椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c，则椭圆的离心率e的取值范围是 ()A. B. C. D.解析：设F1(c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，则x2y2c2，由1，得y2b2，0x2a2.所以x2b2c2x2b2c2，x20，a2，当x2a2时，()maxb2，c2b23c2，所以e，故选B.答案：B二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.（2011届龙岩质检）已知方程1的图象是双曲线，那么k的取值范围是 .解析：由(2k)(k1)0可得答案：k212. 顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y2x1截得的弦长为，则此抛物线的方程为 .解析：设直线与抛物线交于两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，设抛物线为y2mx，则(2x1)2mx，整理，得：4x2(4m)x10，x1x2，x1x2， |AB|，将代入，解得：m12或m4.故所求抛物线为y212x或y24x.答案：y212x或y24x13.（2009北京）椭圆=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4,则|PF2|=;F1PF2的大小为 .解析：本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算答案：2 12014.（2011届合肥质检）已知动点P(x，y)在椭圆1上，若A点的坐标为(3,0)，|1，且0，则|的最小值是 .解析：因为0，所以，在直角三角形PAM中，|2|2|2|21，而A点为椭圆的右焦点，由椭圆的几何性质可知，当P为椭圆的右顶点时，|取得最小值ac532，故|的最小值为.答案：15.（2008江西）过抛物线x22py(p0)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则 .解析：由已知条件可得直线AB的方程为yx，代入抛物线方程x22py可得x2pxp20.设两交点的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，解方程可得xAp，xBp，则yA，yB，所以.解析：如右图，作AA1x轴,BB1x轴.则AA1FOBB1,答案：三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）16.（13分）根据下列条件，求出抛物线的标准方程(1)过点(2,3)；(2)与抛物线y212x关于直线yx对称解：(1)设抛物线方程为x22py(p0)或y22px(p0)将点(2,3)代入抛物线方程x22py，得2p，所以x2y.将点(2,3)代入抛物线方程y22px，得2p，所以y2x.所以满足条件(1)的抛物线的标准方程为x2y或y2x.(2)抛物线y212x的焦点F (3,0)关于yx的对称点为F1(0,3)所以所求抛物线的标准方程为x212y.17.（2011届泉州质检）(13分）若A、B是抛物线y24x上不同的两点，弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”，已知当x2，点P(x,0)存在无穷多条“相关弦”给定x02.试证明：点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同证明：设AB为点P(x0,0)的任意一条“相关弦”，且点A，B的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，则y4x1，y4x2.两式相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)因为x1x2，所以y1y20.设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M(xM，yM)，则k.从而AB的垂直平分线l的方程为yym(xxM)又点P(x0,0)在直线l上，所以yM(x0xM)而yM0，于是xMx02.故点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x02.18.(13分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x,y）是椭圆+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.解：方法一：转化为求直线y=-x+S的截距的最大值.联立x2+3y2=3, y=-x+S,消去y得4x2-6Sx+3S2-3=0，判别式=36S2-44(3S2-3)=0,得S2=4,S=2，所以S=x+y的最大值为2.方法二：由椭圆+y2=1,即+y2=1，联想到三角函数的平方关系,进行三角换元得x=cos ,y=sin (为参数).故可设动点P的坐标为（cos ,sin ）,其中02.因此S=x+y=cos +sin =2（cos +sin ）=2sin（+）,所以当=时，S取最大值2.19.（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线yx相切于坐标原点O.椭圆1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C的方程(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设圆心坐标为(m,n),则m0,所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.因为圆与椭圆的交点在椭圆上，则2a=10,a=5.所以椭圆的方程为=1.(2)由椭圆=1,所以F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称.直线CF的方程为y-2=- (x+2),即x+3y-4=0,所以存在，Q的坐标为.20.（2009全国）(14分）已知椭圆C：=1（ab0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点.当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为.(1)求a、b的值；（2）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时,有=+成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由.解：(1)设F(c,0),当l的斜率为1时，其方程为x-y-c=0,.(2)C上存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有=+成立.由（1）知C的方程为2x2+3y2=6.设A(x1,y1),B(x2,y2).当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k(x-1).C上的点使=+成立的充要条件是P点的坐标为（x1+x2,y1+y2），且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,故2x1x2+3y1y2+3=0. 将y=k(x-1)代入2x2+3y2=6,并化简得（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0,l的方程为x+y-2=0;当k=2时，,l的方程为x-y-2=0.当l垂直于x轴时,由=（2，0）知，C上不存在点P使=+成立.综上，C上存在点使=+成立，此时l的方程为xy-2=0.21.（14分）已知椭圆C：=1(ab0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0）、B（2，0），离心率e=.(1)求椭圆C的方程；（2）设椭圆的两焦点分别为F1,F2，点P是其上的动点.当PF1F2内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；若直线l：y=k(x-1)(k0)与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上.(1)解：由题意知a=2,e=,所以c=1,b=.故椭圆E的方程为=1.(2)解：|F1F2|=2，设F1F2边上的高为h,则SPF1F2=2h=h.设PF1F2的内切圆的半径为R，因为PF1F2的周长为定值6，所以R6=3R=SPF1F2.当P在椭圆短轴顶