高三数学一轮9.2算法案例精品学案

2012版高三数学一轮精品复习学案：第九章 算法初步第二节 算法案例【高考目标导航】一、考纲点击1.了解几个古代算法案例，能利用辗转相除法及更相减损术求最大公约数；2.用秦九韶算法求多项式的值;3.了解进位制,会不同进位制间的相互转化.二、热点提示1.通过案例分析,加深对算法思想以及对程序框图三种基本逻辑结构的理解;2.命题时会以简单的小题出现,考查典型案例所体现的算法原理,如求两数最大公约数的方法,进位制的转换等.【考纲知识梳理】1.辗转相除法是用于求两个数的最大公约数的一种方法,这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的,因而又叫欧几里得算法.2.更相减损术的定义任给两个正整数(若是偶数,先用2约简),以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.注:辗转相除法和更相减损术的区别和联系是:更相减损术与辗转相除法算法不同,但二者的算法理论是相似的,主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算,而更相减损术进行的是减法运算,实质都是一个递归的过程.3.秦九韶算法秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作数学书九章中提出的一种用于计算一元n次多项式的值的方法。注：秦九韶算法的特点是：（1）化高次多项式求值为一次多项式求值；（2）减少了运算次数，提高了效率；（3）步骤重复执行，容易用计算机实现。4.进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,“满几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.5.排序排序的算法很多，课本主要介绍里两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序（1）直接插入排序在日常生活中，经常碰到这样一类排序问题：把新的数据插入到已经排好顺序的数据列中。例如：一组从小到大排好顺序的数据列1，3，5，7，9，11，13，通常称之为有序列，我们用序号1，2，3，表示数据的位置，欲把一个新的数据8插入到上述序列中。完成这个工作要考虑两个问题：（1）确定数据“8”在原有序列中应该占有的位置序号。数据“8”所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据，大于其左边位置上所有的数据。（2）将这个位置空出来，将数据“8”插进去。对于一列无序的数据列，例如：49，38，65，97，76，13，27，49，如何使用这种方法进行排序呢？基本思想很简单，即反复使用上述方法排序，由序列的长度不断增加，一直到完成整个无序列就有序了首先，49是有序列，我们将38插入到有序列49中，得到两个数据的有序列：38，49，然后，将第三个数据65插入到上述序列中，得到有序列：38，49，65按照这种方法，直到将最后一个数据65插入到上述有序列中，得到13，27，38，49，49，65，76，97这样，就完成了整个数据列的排序工作。注意到无序列“插入排序算法”成为了解决这类问题的平台（2）冒泡法排序所谓冒泡法排序，形象地说，就是将一组数据按照从小到大的顺序排列时，小的数据视为质量轻的，大的数据视为质量沉的。一个小的数据就好比水中的气泡，往上移动，一个较大的数据就好比石头，往下移动。显然最终会沉到水底，最轻的会浮到顶，反复进行，直到数据列排成为有序列。以上过程反映了这种排序方法的基本思路。我们先对一组数据进行分析。设待排序的数据为：49，38，65，97，76，13，27，49排序的具体操作步骤如下：1将第1个数与右边相邻的数38进行比较，因为3849，所以顺序不变，得到新的数据列：38，49，65，97，76，13，27，493将新数据列中的第3个数65与右边相邻的数97进行比较，因为9765，所以顺序不变，得到新的数据列：38，49，65，97，76，13，27，494将新数据列中的第4个数97与右边相邻的数76进行比较，因为7697，97应下沉，所以顺序不变，得到新的数据列：38，49，65， 76，97，13，27，495将新数据列中的第5个数97与右边相邻的数13进行比较，因为1397，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：38，49，65， 76， 13，97，27，496将新数据列中的第6个数97与右边相邻的数27进行比较，因为2797，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：38，49，65， 76， 13，97，27，497将新数据列中的第7个数97与右边相邻的数49进行比较，因为49b,则a=a-b;否则b=b-a,返回第二步;第四步:输出a.(2)程序框图如图所示:注:更相减损术的步骤较多,而辗转相除法的步骤较少,解题时应灵活运用.例题解析例(1)用辗转相除法求840与1760的最大公约数;(2)用更相减损术求440与556的最大公约数.思路解析:比较明确的用两种方法求最大公约数,严格按辗转相除法与更相减损术的操作步骤来求,计算时要仔细.解答:(1)利用辗转相除法1764=8402+84,840=8410,所以840与1764的最大公约数为84.(2)利用更相减损术556-440=116,440-116=324,324-116=208,208-116=92,116-92=24,92-24=68,68-24=44,44-24=20,24-20=4,20-4=16,16-4=12,12-4=8,8-4=4,所以440与556的最大公约数为4.(二)利用秦九韶算法求一元多项式的值相关链接1.秦九韶算法用程序框图和程序表示(1)程序框图(2)程序注:用秦九韶算法求n次多项式当(是任意实数)时的值,需要n次乘法运算,n次加法运算.2.利用秦九韶算法计算多项式的值,关键是能正确地将所给多项式改写,然后由内向处逐次计算,由于每步计算都是相关联的,因此计算一定要细心准确,更不能漏项.例题解析例用秦九韶算法求多项式在时的值.思路解析:(1)该多项式有七项,注意没有常数项;(2)首先把多项式改写成含有多个一次多项式的格式.解答:（三）进位制的转换例（1）把十进制数168化为八进制数；（2）把五进制数33（5）化为二进制数。思路解析：（1）由十进制数转化为八进制数除8取余数；（2）把五进制转化为二进制数，先把五进制数转化为十进制数，再由十进制数转化为二进制数。解答：（1）168=（2）18=，=注：（1）将进制数化为十进制数的方法：先把进制数写成用各位上的数字与的幂的乘积的形式，再按照十进制的运算计算出结果。（2）将十进制的数化为进制的数的方法是，除取余数，即用连续去除十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把各步得到的余数从下到上写出，就是相应的进制的数。（3）进制之间的转化，先化成十进制，再转化为进制。【感悟高考真题】1（2011.天津高考理科.T3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【思路点拨】逐次循环计算，验证输出。【精讲精析】选B。第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：，跳出循环。2（2011天津高考文科3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为-4，则输出的值为（ ）（A）0.5 （B）1 （C）2 （D）4【思路点拨】逐次循环判断计算输出.【精讲精析】选C.第一次循环结果x=7；同理第二次循环得x=4;第三次循环的结果x=1；第四次循环：.3（2011安徽高考理科11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是_【思路点拨】本题考查算法框图的识别，通过循环执行，求等差数列的前n项和.【精讲精析】答案：15.由程序框图可知，若T=105,则k=14,继续执行循环体，这时k=15，T105,所以输出的k值为15.【考点精题精练】1. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）A B C D 【解析】对于，而对于，则 ，后面是，不 符合条件时输出的答案 A2. 如果执行右面的程序框图，那么输出的（）A22B46CD190 答案 C3. 程序框图上（右）（即算法流程图）如图所示，其输入结果是_【解析】根据流程图可得的取值依次为1、3、7、15、31、63答案 127点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达，加法最多n次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次。4. 早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5 min）、刷水壶（2 min）、烧水（8 min）、泡面（3 min）、吃饭（10 min）、听广播（8 min）几个步骤.下列选项中最好的一种算法是（ ）（A）洗脸刷牙、刷水壶、烧水、泡面、吃饭、听广播（B）刷水壶、烧水同时洗脸刷牙、泡面、吃饭、听广播（C）刷水壶、烧水同时洗脸刷牙、泡面、听广播、吃饭（D）吃饭同时听广播、泡面、烧水同时洗脸刷牙、刷水壶【解析】选B.根据日常经验及时间分配可知结果.5. 下列对算法特征的认识正确的是( )(A)任何算法都能解决所有计算问题(B)算法是一种计算的方法(C)任何算法都是可以重复使用的(D)特殊算法可以没有确定结果【解析】选C.因为算法具有普遍性，它可以解决某一类问题.6. 294与84的最大公因数为（ ）(A)42 (B)21 (C)14 (D)588【解析】选A.294=427,84=422.7. 计算下列各式中的S值，能设计算法求解是（ ）S=1+2+3+100；S=1+2+3+100+；S=1+2+3+n(n1且nN).（A） （B） （C） （D）【解析】选B.由算法的有限性知.8. 与二进制数110（2）对应的十进制数是（ ）（A）110 （B）4 （C）5 （D）6【解析】选D.110（2）=122+121+0=6.9.三位七进制的数表示的最大的十进制的数是（ ）（A）322 （B）402 （C）342 （D）365【解析】选C.三位七进制表示的最大数为666，则转化为十进制为666（7）=672+671+670=294+42+6=342.10. 二进制数101 110（2）转化为八进制数为( )（A）45（8） （B）56（8） （C）67（8） （D）78（8）【解析】选B.先化成十进制，再化成八进制101 110（2）=125+024+123+122+12+0=46.11. 用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法次数为( )（A）4 （B）3 （C）5 （D）6【解析】选B.用辗转相除法：120=721+48，72=481+24，48=242.12. 以下是利用秦九韶算法求当x=23时，多项式7x3+3x2-5x+11的值的算法.第一步，x=23.第二步，y=7x3+3x2-5x+11.第三步,输出y.第一步，x=23.第二步，y=(7x+3)x-5)x+11.第三步，输出y.算6次乘法3次加法.算3次乘法3次加法.以上正确描述为( )(A) (B) (C) (D)【解析】选C.算法不是秦九韶算法；秦九韶算法要进行3次乘法运算和3次加法运算.二、填空题13. 一个求解任意二次函数y=ax2+bx+c(a0)的最值的算法是：1.计算m= ;2._ 3._【解析】由于二次函数y=ax2+bx+c(a0)的最值与a的正负性有关，当a0时y有最小值，当a0，输出最小值m若a0，输出最大值m14. 下面给出一个算法，第1步，输入i的值，第2步，令m=2、n=3；第3步，若i4则输出的值，否则，输出的值.试问（1）当输入的i的值为5时,结果为_.（2）当输入的i的值为0时,结果为_.【解析】由题意得，当i4时，输出，当i4时，输出.答案：(1) (2) 15. 已知三个数12（16），25（7），33（4），将它们按由小到大的顺序排列为_.【解析】将三个数都化为十进制数.12（16）=116+2=18,25(7)=27+5=19,33(4)=34+3=15,33（4）12(16)25(7).答案：33（4）12(16)25(7)16. 用秦九韶算法计算f(x)=3x4+2x2+x+4当x=10时的值的过程中，v1的值为_.【解析】根据秦九韶算法，原多项式改写为f(x)=(3x+0)x+2)x+1)x+4v0=3,v1=310+0=30.答案：30三、解答题17. 已知多项式函数f(x)=2x55x44x3+3x26x+7，求当x=5时的函数的值。解析：把多项式变形为：f(x)= 2x55x44x3+3x26x+7=(2x5)x4)x+3)x6)x+7算法过程：v0=2v1=255=5v2=554=21v3=215+3=108v4=10856=534v5=5345+7=2677当x=5时的函数的值为2677点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算18. 试用两种排序方法将以下8个数：7,1,3,12,8,4,9,10。按照从大到小的顺序进行排序。解析：可以按照直接插入排序和冒泡排序这两种方法的要求，结合图形，分析写出。直接插入法排序：7 1 3 12 8 4 9 107 1 3 12 8 4 9 107 3 1 12 8 4 9 1012 7 3 1 8 4 9 1012 8 7 3 1 4 9 1012 8 7 4 3 1 9