第十三章导数

2006年普通高等学校招生全国统一考试数学第十三章导数题目汇编一、选择题（共6题）1（安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 A BC D解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A2（江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）0，则必有（ C ）A f（0）f（2）2f（1）解：依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，）上是增函数；当x1时，f（x）0，f（x）在（，1）上是减函数，故f（x）当x1时取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故选C3（全国II）过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为 （A） （B） （C） （D）解：，设切点坐标为，则切线的斜率为2，且于是切线方程为，因为点（1，0）在切线上，可解得0或4，代入可验正D正确。选D4.（四川卷）曲线在点处的切线方程是（A） （B） （C） （D）解：曲线，导数，在点处的切线的斜率为，所以切线方程是，选D.5.（天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A1个 B2个 C3个 D 4个解析：函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.6.（浙江卷）在区间上的最大值是(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4解：，令可得x0或2（2舍去），当1x0，当0x1时，0，所以当x0时，f（x）取得最大值为2。选C二、填空题（共3题）7.（福建卷）已知直线与抛物线相切，则解析：直线与抛物线相切，将y=x1代入抛物线方程得， ，a=。8.（湖北卷）半径为r的圆的面积S(r)r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子： 式可以用语言叙述为： 。解：V球，又 故式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”9.（湖南卷）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 .解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它们与轴所围成的三角形的面积是.三、解答题（共31题）10（安徽卷）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有（）证明；（）证明 其中和均为常数；（）当（）中的时，设，讨论在内的单调性并求极值。证明（）令，则，。（）令，则。假设时，则，而，即成立。令，假设时，则，而，即成立。成立。（）当时，令，得；当时，是单调递减函数；当时，是单调递增函数；所以当时，函数在内取得极小值，极小值为11.（安徽卷）设函数，已知是奇函数。（）求、的值。（）求的单调区间与极值。解析：（），。从而是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（）由（）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。12（北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，如图所示.求：（）的值；（）的值.解析：解法一： （）由图象可知，在（，1）上,在(1,2)上,在上, 故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以.()由得解得解法二:()同解法一.()设又所以 由,即得,所以.13（福建卷）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。解：（I）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为14（福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0x120).已知甲、乙两地相距100千米。（）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。满分12分。解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗没（升）。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数。当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。15.（福建卷）已知函数f(x)=x+8x,g(x)=6lnx+m（）求f(x)在区间t,t+1上的最大值h(t);（）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。解：（I）是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是由已知，得（II）方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数。方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。16（广东卷）设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求(I)求点的坐标；(II)求动点的轨迹方程.解: ()令解得当时, 当时, ,当时,所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,，所以, 点A、B的坐标为.() 设，所以，又PQ的中点在上，所以消去得17（湖北卷）设是函数的一个极值点。（）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）、设，。若存在使得成立，求的取值范围。点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。解：（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，则f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是极值点，所以x+a+10，那么a4.当a3x1，则在区间（，3）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（a1，）上，f (x)4时，x23x1，则在区间（，a1）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（3，）上，f (x)0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e30，f (3)a6，那么f (x)在区间0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是a2，（a2）e4，由于（a2）（a6）a2a（）20，所以只须仅须（a2）（a6）0，解得0a.故a的取值范围是（0，）。18（湖北卷）设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x1处取得极值2，试用c表示a和b，并求f(x)的单调区间。解：依题意有而故 解得 从而。令，得或。由于在处取得极值，故，即。（1） 若，即，则当时，；当时，；当时，；从而的单调增区间为；单调减区间为（2） 若，即，同上可得，的单调增区间为；单调减区间为19（湖南卷）已知函数,数列满足:证明:(); ().证明: （I）先用数学归纳法证明，1,2,3, (i).当n=1时,由已知显然结论成立. (ii).假设当n=k时结论成立,即.因为0x0成立.于是故20（湖南卷）已知函数.（）讨论函数的单调性；（）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.解（）由题设知.令.当（i）a0时，若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；（i i）当a0时，若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数.（）由（）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.因为线段AB与x轴有公共点，所以.即.所以.故.解得1a0或3a4.即所求实数a的取值范围是-1，0)3，4.O121（江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1x2时，,V(x)为增函数；当2x4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答当OO1为2m时，帐篷的体积最大。22（江西卷）已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值（1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2） 若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由f（），f（1）32ab0得a，b2f（x）3x2x2（3x2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，）f（x）00f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）与（1，），递减区间是（，1）（2）f（x）x3x22xc，x1，2，当x时，f（x）c为极大值，而f（2）2c，则f（2）2c为最大值。要使f（x）f（2）2c，解得c223（辽宁卷）已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，且a0,d0.设1-上，在，将点A， B， C (I)求(II)若ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值【解析】(I): 令,得 当时, ; 当时, 所以f(x)在x=-1处取得最小值即(II) 的图像的开口向上,对称轴方程为由知在上的最大值为即又由当时, 取得最小值为由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=a+d,c=a+2d,得联立(1)(2)可得.解法2: 又c0知在上的最大值为即: 又由当时, 取得最小值为由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以又由三角形ABC的面积为得利用b=a+d,c=a+2d,得联立(1)(2)可得【点评】本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力24（辽宁卷）已知函数，其中，设为的极小值点，为的极值点，并且，将点依次记为（1）求的值；（2）若四边形为梯形且面积为1，求的值本小题考查多项式函数的导数，函数极值的判定，二次函数与二次方程等基础知识的的综合运用，考查用数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.满分12分.解：() ,令，由得或.当时，当时,所以处取极小值，即.（II）处取得极小值，即由即.9分由四边形ABCD是梯形及BC与AD不平行，得.有即由四边形ABCD的面积为1，得即得d1，从而得25（全国卷I）已知函数。（）设，讨论的单调性；（）若对任意恒有，求的取值范围。解()f(x)的定义域为(,1)(1,+).对f(x)求导数得 f (x)= eax. ()当a=2时, f (x)= e2x, f (x)在(,0), (0,1)和(1,+ )均大于0, 所以f(x)在(,1), (1,+).为增函数.()当0a0, f(x)在(,1), (1,+)为增函数. ()当a2时, 01, 令f (x)=0 ,解得x1= , x2= .当x变化时, f (x)和f(x)的变化情况如下表: x(, )(,)(,1)(1,+)f (x)f(x)f(x)在(, ), (,1), (1,+)为增函数, f(x)在(,)为减函数.()()当0f(0)=1.()当a2时, 取x0= (0,1),则由()知 f(x0)1且eax1,得 f(x)= eax 1. 综上当且仅当a(,2时,对任意x(0,1)恒有f(x)1.26（全国卷I）设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围。解:f(x)=3x22ax+(a21),其判别式=4a212a2+12=128a2.()若=128a2=0,即a=,当x(,),或x(,+)时,f(x)0,f(x)在(,+)为增函数.所以a=.()若=128a20,f(x)在(,+)为增函数,所以a2,即a(,)(,+)()若128a20,即a0,f(x)为增函数;当x(x1,x2)时,f(x)0,f(x)为减函数.依题意x10且x21.由x10得a,解得1a由x21得3a,解得a,从而a1,)综上,a的取值范围为(,+)1,),即a(,1,).27（全国II）设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 5分(i)当a1时，对所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数，又g(0)0，所以对x0，都有g(x)g(0)，即当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax 9分(ii)当a1时，对于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函数，又g(0)0，所以对0xea11，都有g(x)g(0)，即当a1时，不是对所有的x0，都有f(x)ax成立综上，a的取值范围是（，1 12分解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立3分对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 6分当x ea11时，g(x)0，g(x)为增函数，当1xea11，g(x)0，g(x)为减函数， 9分所以要对所有x0都有g(x)g(0)充要条件为ea110由此得a1，即a的取值范围是（，1 28（山东卷）设函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。解：由已知得函数的定义域为，且（1）当时，函数在上单调递减，（2）当时，由解得、随的变化情况如下表0+极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.29（山东卷）设函数f(x)= ()求f(x)的单调区间；() 讨论f(x)的极值.解：由已知得 ，令，解得 .（）当时，在上单调递增 当时，随的变化情况如下表：0+00极大值极小值从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增.（）由（）知， 当时，函数没有极值. 当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值.30。(陕西卷)已知函数f(x)=x3x2+ + , 且存在x0(0, ) ,使f(x0)=x0. （I）证明：f(x)是R上的单调增函数；设x1=0, xn+1=f(xn); y1=, yn+1=f(yn), 其中n=1,2,（II）证明：xnxn+1x0yn+1yn; （III）证明： 0 ， f(x)是R上的单调增函数（II）0x0 ， 即x1x0y1又f(x)是增函数， f(x1)f(x0)f(y1)即x2x00 =x1， y2=f(y1)=f()=y1，综上， x1x2x0y2y1用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时，上面已证明成立(2)假设当n=k(k1)时有xkxk+1x0yk+1yk 当n=k+1时，由f(x)是单调增函数，有f(xk)f(xk+1)f(x0)f(yk+1)f(yk)，xk+1xk+2x0yk+2yk+1由(1)(2)知对一切n=1，2，都有xnxn+1x0yn+1yn（III） = = yn2+xnyn+xn2(yn+xn)+ (yn+xn)2(yn+xn)+ =(yn+xn)2+ 由()知 0yn+xn1 yn+xn ， 0时 ， f (x)=3kx26x=3kx(x)f(x)的单调增区间为(，0 ， ， +)， 单调减区间为0， （II）当k=0时， 函数f(x)不存在最小值 当k0时， 依题意 f()= +10 ， 即k24 ， 由条件k0， 所以k的取值范围为(2，+)32(上海卷)已知函数有如下性质：如果常数0，那么该函数在0，上是减函数，在，上是增函数（1）如果函数（0）的值域为6，求的值；（2）研究函数（常数0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数和（常数0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）解（1）函数y=x+(x0)的最小值是2，则2=6, b=log29. (2) 设0x1x2,y2y1=. 当x1y1, 函数y=在,+)上是增函数； 当0x1x2时y20),其中n是正整数. 当n是奇数时,函数y=在(0,上是减函数,在,+) 上是增函数, 在(,上是增函数, 在,0)上是减函数； 当n是偶数时,函数y=在(0,上是减函数,在,+) 上是增函数,在(,上是减函数, 在,0)上是增函数；F(x)=+ = 因此F(x) 在 ,1上是减函数,在1,2上是增函数. 所以，当x=或x=2时，F(x)取得最大值()n+()n；当x=1时F(x)取得最小值2n+1；33(上海卷)已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数。（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值。（2）设常数，求函数的最大值和最小值；（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由。.解(1) 由已知得=4, b=4. (2) c1,4, 1,2,于是,当x=时, 函数f(x)=x+取得最小值2.f(1)f(2)=,当1c2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+；当2c4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.(3)设0x1x2,g(x2)g(x1)=. 当x1g(x1), 函数g(x)在,+)上是增函数； 当0x1x2g(x1), 函数g(x)在(0, 上是减函数. 当n是奇数时,g(x)是奇函数,函数g(x) 在(,上是增函数, 在,0)上是减函数. 当n是偶数时, g(x)是偶函数, 函数g(x)在(,)上是减函数, 在,0上是增函数.34（四川卷）已知函数，的导数是。对任意两个不等的正数、，证明：（）当时，；（）当时，。本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力。 证明：（）由得 而 又 由、得即（）证法一：由，得下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立即证成立设，则令得，列表如下：极小值 对任意两个不相等的正数，恒有证法二：由，得是两个不相等的正数设，则，列表：极小值 即 即对任意两个不相等的正数，恒有35（四川卷）已知函数，其中是的导函数（）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点。本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运输能力和综合应用数学知识的能力。满分12分。解：（）由题意， 令，对，恒有，即 即，解得故时，对满足的一切的值，都有（）当时，的图象与直线只有一个公共点当时，列表： 极大极小又的值域是，且在上单调递增当时函数的图象与直线只有一个公共点。当时，恒有由题意得，即，解得综上，的取值范围是36（天津卷）已知函数，其中为参数，且（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.满分12分.解：（）当时，则在内是增函数，故无极值.（），令，得由（），只需分下面两种情况讨论.当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：x0+0-0+极大值极小值因此，函数在处取得极小值，且要使，必有，可得由于，故当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：+0-0+极大值极小值因此，函数处取得极小值，且若，则。矛盾。所以当时，的极小值不会大于零。综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为。37（天津卷）已知函数，其中，为参数，且（）当时，判断函数是否有极值；（）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（）若对（）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内