D122导数2.doc

第三章 微分中值定理与导数的应用 第一节 中值定理一 中值定理1 费马引理 定理 设函数在点可导, 且对于任意，有（或），则.证 用极限的保号性定理的推论.左导数 , 右导数 .由, 得.2 罗尔定理 定理 设函数在区间上连续, 在内可导, 且, 则存在, 使得.证 分情况讨论. 函数在区间上连续, 则取到它的最大值和最小值.如果, 即是常值函数, 则任取, 都有.不妨假设存在, 则有, 使,. 由费马引理, . 几何意义 水平切线.3 拉格朗日定理定理 设函数在区间上连续, 在内可导, 则存在, 使得.证 辅助函数. 令, 则在区间上连续. 且有.由罗尔定理, 存在, 使. 即.注意 当时, 就是罗尔定理.方法 与微分近似式比较, 以在区间可导的条件以及点无法确定为代价, 换得等式. 几何意义 切线与割线平行. 等价形式 记,. 因为, 有, 其中. 则定理可以写作 推论 如果函数在区间上的导数恒等于零, 则在区间上是一个常数.证 取, 由拉格朗日定理, 有. 即.4 柯西定理 定理 设函数与在区间上连续, 在内可导, 且在内每一点处都不等于零, 则存在, 使得. 证 辅助函数. 已知在内每一点处都不等于零, 由罗尔定理, 有. 令, 则在区间上连续. 且有.由罗尔定理, 存在, 使. 即.注意 当时, 就是拉格朗日定理. 二 中值定理的应用1 罗尔定理的应用 例1 设, 求证: 方程在区间内至少有一个根.证 罗尔定理. 辅助函数. 令. 例2 设函数在区间上连续, 在内可导, 且, 则存在, 使得.证 罗尔定理. 辅助函数. 令.方法 (1) 证明方程有根的两种方法: 用闭区间连续函数的零点定理证明函数有零点; 用罗尔定理证明导函数有零点. (2) 用罗尔定理证明存在零点, 需要寻找一个函数, 它的导函数是方程的左边. 这样的问题将在积分学中解决.2 拉格朗日定理的应用例3 设函数在区间上可导, 求证: 存在, 使得.证 证明中值等式.在中值定理中取. 例4 求证: 当时, 有.证 证明不等式.在区间上对函数用拉格朗日定理. 方法 拉格朗日中值定理建立了函数与其导数之间的联系. 当对一方有所了解时, 可以推导另一方的一些性质. 例5 求证: 对于任意的, 有. 证 证明恒等式.拉格朗日定理的推论. 考虑.3 科西定理的应用 例6 设函数在区间上连续, 在内可导, 其中, 则存在, 使得. 证 证明中值等式. 令, 在区间上对函数和用科西中值定理. 方法 在证明中值等式时, 首先将与分开, 然后再将与分开, 即可判断对什么函数用哪个定理. 注意 在闭区间连续函数的最大最小值定理、介值定理(零点定理), 以及这里的罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理中，都有“存在”的说法. 其中存在的意思是：至少有一个. 于是有两个不确定：（1）的数量：一个，或者多个（但不能是0个）； （2）的位置：在开区间内部, 由函数和区间决定, 但一般不知道确切位置.作业（134页） 4. 5. 6. 8. 10. 11(2). 12. 14. 第二节 洛必达法则一 型的未定式.1 问题计算商的极限. 如果分母不趋向于零: 用极限的四则运算(或连续). 如果分母趋向于零, 分子不趋向于零: 无穷大. 如果分子, 分母都趋向于零: 不同问题, 不同方法. 例如约分, 有理化, 等价无穷小代换等等.上述情况称为一个型的未定式.问题 对于型的未定式, 有没有一个比较通用的方法?2 洛必达法则1 定理1 设(1) 当时, 函数,都趋向于零;(2) 在点的一个去心邻域内, 与都存在, 且;(3) 存在(或为无穷大),则. 证 首先, 补充定义, 则它们在闭区间上连续.用柯西定理, 有, 其中.取极限得 . 由于, 即.注意 逆定理不成立.反例1 方法 使用洛必达法则, 将求函数的商的极限的问题, 变成求导函数的商的极限的问题. 有时, 后者容易计算. 例1 求. 例2 求. 例3 求.解 先做等价无穷小代换, 再用两次洛必达法则. 1/63 步骤(1) 判断是否未定式;(2) 用等价无穷小代换和部分取极限化简;(3) 用洛必达法则;(4) 整理所得结果, 转回(1).4 数列极限 例4 求. 解 先变成函数极限, 再换元得. =.方法 因为有更多的工具计算函数的极限, 经常将数列的极限问题换成相应的函数极限问题. 5 洛必达法则2 定理2 设(1) 当时, 函数,都趋于零;(2) 当时, 与都存在, 且;(3) 存在(或为无穷大),则. 二 型的未定式.如果分子, 分母都趋向于无穷大时, 称为一个型的未定式.对于型的未定式, 也有类似的法则1与法则2. 例如： 定理3 设（1）当时, 函数,都是无穷大量;（2）在点的一个去心邻域内, 与都存在, 且;（3）存在(或为无穷大),则. 注意 逆定理仍不成立.反例2 . 例5 求,. 0 例6 求,是正整数,. 0注意 是低阶的无穷大, 是高阶的无穷大, 幂函数在中间.三 其它类型的未定式1 问题与方法此外, 还有, ,型的未定式, 都必须改写成商, 再用洛必达法则.2 型未定式 例7 求,. 解 改写，= 例8 求. 解 改写, =3 型未定式 例9 求. 解 通分. =例10 求.解 通分. 等价无穷小代换. 4 ,型的未定式例11 求.解 改写, 例12 求 解 改写, . 例13 求 解 计算.5 证明题例14 设函数在点二次可导, 则.证 洛必达法则与导数定义. 例15 设函数可导, 且, 则. 证 方法 型未定式与型的未定式不同, 只需分母是无穷大, 即可使用.作业（138页） 1奇数. 2. 4. 第三节 泰勒公式1 问题从微分公式出发, 可得用一次函数作为函数的近似. 优点是形式简单, 缺点是仅在一点的一个很小的邻域内可以保证误差比较小. 由此产生用多项式作为函数的近似的想法.2 泰勒公式 定理1 如果函数在包含点的一个开区间内具有直到阶的导数, 则当时, 有 称为函数在点处的阶泰勒公式. 其中称为泰勒公式的拉格朗日型余项. 证 用柯西定理.注意 当时, 就是拉格朗日定理.函数在点处的阶泰勒公式，也可以说成:“按照的幂展开的阶泰勒公式”. 用次多项式代替函数时, 误差就是余项的绝对值. 例1 求的近似值.解 已知.取, 则. 当时, 近似值为 当时, 近似值为 当时, 近似值为3 麦克劳林公式 取, 得称为麦克劳林公式. 余项可以写作, 其中. 例2 写出函数的麦克劳林公式. 解 当时, 可计算出. 误差不超过. 例3 写出函数的麦克劳林公式. 解 4 证明不等式 例4 设函数在区间上二次可导, 且, , 则. 证 在点展开到一阶.5 求极限 定理2 如果函数在包含点的一个开区间内具有直到阶的导数, 则当时, 有 称为函数在点处的阶泰勒公式. 其中称为泰勒公式的佩阿诺型余项. 证 用洛必达法则. 注意 当时, 就是微分公式. 麦克劳林公式还可以写作, 余项是一个比高阶的无穷小. 例5 求. 解 1/3 例6 求, 使得当时, 函数是的同阶无穷小. 解 泰勒公式. 作业（145页） 3. 6. 9. 10(3). 第四节 函数的单调性与凹凸性一 单调性1 函数的单调定义 设函数的定义域为, 区间. 如果对于区间内任意两点, 有(或者, 则称函数在区间内单调增加(或者单调减少).2 充分条件 定理1 设函数在区间上连续, 在区间内可导, (1) 如果在内, 则在上单调增加;(2) 如果在内, 则在上单调减少.证 任取, 由拉格朗日定理, 有. 即.同样证(2).3 单调区间 有的函数在几个区间上单调增加, 在另外几个区间上单调减少. 这样的区间称为这个函数的单调区间. 例1 判定函数在区间上的单调性.解 判定定理.例2 判定函数的单调性.解 分两个区间讨论.方法 用分区间的方法可以得到: 如果函数的导数仅在若干孤立点等于0, 其它点保持同号, 则仍具有单调性. 这个例题也说明定理1中的条件不是必要的. 注意 单调判定定理不是必要条件. 例2就是反例. 问题 现在有了一个必要条件, 也有了一个充分条件, 有没有充分必要条件? 例3 确定函数的单调区间. 解 在和上单调增加.例4 确定函数的单调区间.解 在和上单调减少. 方法 函数的单调区间的分界点是: 函数无定义的点、导数等于零的点，以及导数不存在的点. 4 证明不等式 例5 求证: 如果, 则. 证 改写, 得. 令, 则. 例6 求证: 当时, 证1 令, 则, . 证2 改写, 令. 例7 求证: , 其中. 证 用单调性证明不等式. 令, 则.求导, 得, 有.再求导, 得. 于是, , . 5 证明方程的根唯一命题 如果函数在区间内单调, 则方程在内至多有一个根.例8 设可导, 且, 则方程至多有一个实根.证1 用单调性. 令, 则单调增加. 证2 用反证法与罗尔定理. 假定有两个不同实根. 则也有两个不同实根. 用罗尔定理即得矛盾. 方法 证明方程的根唯一的两种方法. 单调函数至多有一个零点. 如果导函数没有零点, 用罗尔定理(反证法)证明函数至多有一个零点. 例9 求证: 方程在区间内恰有一个根.证 令.方法 用闭区间连续函数的零点定理证明方程至少有一个根; 用单调或罗尔定理证明方程至多有一个根.二 函数的凸凹与曲线的拐点1 函数的凸凹 单调函数的图形的形态.定义 设函数在区间上连续, 如果对于上的任意两点, 恒有 (或),则称函数在区间上是凹函数(或凸函数).2 充分条件 定理2(一阶充分条件) 设函数在区间上连续, 在内可导. (1) 如果在内单调增加, 则在区间上是凹函数. (2) 如果在内单调减少, 则在区间上是凸函数. 证 任取区间上的两点, 由拉格朗日中值定理, 有, 其中., 其中.由于, 则. 于是. 即.同样证(2). 定理3(二阶充分条件) 设函数在区间上连续, 在内二次可导. (1) 如果在内, 则在区间上是凹函数. (2) 如果在内, 则在区间上是凸函数.证 定理1和单调判定定理.注意 这个条件不是必要的.反例1 . 例10 判定函数的凸凹性. 解 凸函数.例11 当满足什么条件时, 多项式是凹函数.解 二阶充分条件. 例12 设函数二次可导, 且有, 则函数是凹函数.证 二阶充分条件. 例13 确定函数的凸凹区间.解 在上是凸函数. 注意 当判定函数的增减区间，或凸凹区间时，总是在开区间上研究导数的符号. 然而如果函数在区间端点连续，则增减区间，或凸凹区间应写作闭区间.3 证明不等式例14 求证: 当时, . 证 判定定理. 4 拐点 连续函数的凸凹区间的分界点称为曲线的拐点.可以证明: 在拐点处, 或者二阶导数等于0, 或者二阶导数不存在. 根据函数的凸凹性的判定定理判定拐点. 例15 求曲线的拐点与凸凹区间.解 拐点,. 在区间上是凸函数.注意 拐点是曲线上的点, 必须写出它的完全的坐标. 例16 求曲线的拐点.解 作业（152页） 2. 3(1)(6)(7). 4. 5(2)(3)(5). 8(1). 9(1)(4)(5). 10(3). 11. 13. 第五节 函数的极值与最值一 极值1 极值 定义 设函数在区间内连续, 点. 如果存在, 使得当时, 有(或), 则称点是函数的极大(小)值点, 而是函数的极大(小)值.极大值 极小值统称为极值.2 必要条件 定理1 设函数在点可导, 且在点取得极值, 则. 这就是费马引理.注意 定理1只是可导函数的极值的必要条件. 反例1 在点取得极小值，但在该点不可导. 反例2 在点有, 但该点不是极值点. 推论 设函数在点取得极值, 则或者点不可导, 或者. 导数等于0的点称为函数的驻点. 于是推论也可以说：函数的极值点或者是驻点，或者是不可导点. 3 一阶充分条件 定理2 设函数在点的一个邻域内可导, 且.(1) 如果在点的左侧, 在点的右侧, 则点是极大值点;(2) 如果在点的左侧, 在点的右侧, 则点是极小值点;(3) 如果在点的两侧都是正、或都是负, 则点不是极值点.证 单调判定定理与极值定义. 定理2的条件可以减弱, 以判断不可导点是否为极值点. 定理2* 设函数在点连续, 在点的一个去心邻域内可导,(1) 如果在点的左侧, 在点的右侧, 则点是极大值点;(2) 如果在点的左侧, 在点的右侧, 则点是极小值点;(3) 如果在点的两侧都是正、或都是负, 则点不是极值点.4 二阶充分条件 定理3 设函数在点二次可导, 且, (1) 如果, 则点是极大值点;(2) 如果, 则点是极小值点;(3) 如果, 则可能是极值点, 也可能不是极值点. 证 极限的保号性定理.左导数 , 于是.右导数 , 于是.再用一阶充分条件. 反例3 与在点都有, 但一个是极值, 另一个不是极值. 例1 求函数的极值.解 在点, 极大值10; 在点, 极小值-22. 例2 求函数的极值.解 二阶条件: 在点, 极小值0; 但不能判断点. 一阶条件: 在点, 不是极值.例3 求函数的极值.解 一阶条件. 在点, 极大值1. 方法 一阶条件无须计算二阶导数, 且应用范围广. 二阶条件只是对某些问题计算简单. 注意 函数的极值点用自变量，而拐点用全坐标. 这是因为: 极值是函数的性质, 而拐点是曲线的性质. 二 最值1 函数的最值定义 设函数在区间上有定义, 如果存在点, 使得对于任意的点, 有(或者), 则称是函数在区间上的最大值(或者最小值). 注意 函数的极值是局部性质, 而最值是整体性质. 极大值未必是最大值, 最大值也未必是极大值.2 闭区间上连续函数的最值函数在闭区间上连续, 则取到其最大值和最小值. 最值点或者是区间端点, 或者是内点. 如果是内点, 则或者是驻点, 或者是导数不存在的点. 例4 求函数在区间上的最值.解 驻点，；，；端点，；，.在点, 最大值142; 在点, 最小值7. 方法 计算函数在区间端点, 驻点和不可导点的函数值, 比较大小, 即得函数在该区间是的最大值和最小值. 例5 铁路与公路 (看书159页)解 建立函数：，. 例6 矩形梁 (看书161页)解 建立函数：，. 例7 生产与销售 (看书162页)解 生产成本函数, 销售收入函数.它们的差是利润. . 注意 极值必要条件可以写作. 经济学上的术语: 边际成本, 边际收入, 边际利润. 于是上述条件: 当边际成本等于边际收入时, 取得最大利润.3 无穷区间上函数的最值 例8 求函数的最小值.解 求导, 得. 由单调性, 当, 最小值.注意 这里的过程与判定极值类似, 但是推理过程不同. 那里实际只考虑点的邻域, 这里是考虑整个定义域.4 证明不等式例9 求证: 当时, 有.证 改写, 得. 函数在区间内的最大值等于1. 作业（162页） 1偶数. 2. 4(1)(3). 7. 8. 10. 16第六节 函数图形的描绘一 曲线的渐近线如果, 则直线是曲线的水平渐近线.如果, 则直线是曲线的竖直渐近线. 如果, 则称直线是曲线的斜渐近线. 计算斜渐近线的方法如下: , .单侧渐近线. 例1 求函数与的渐近线. 解 用公式计算.与.方法 水平渐近线是斜渐近线在时的特例, 与斜渐近线统一考虑. 铅直渐近线往往与分式有关. 当分母趋向于0, 而分子不趋向于0时, 就产生铅直渐近线.二 曲线的描绘1 步骤(1) 确定函数的定义域;(2) 求函数的导数和二阶导数;(3) 用导数和二阶导数等于零的点和不存在的点将定义域分成若干区间;(4) 判定增减, 凸凹, 极值和拐点;(5) 确定曲线的渐近线(6) 作图. 例2 画出函数解 三次抛物线.极值点；，；，.拐点，. 例3 描绘函数的图形. 解 水平渐近线. 例4 描绘函数的图形.解 函数无定义. 水平渐近线, 铅直渐近线.极值点，.