第十讲综合性问题

第十讲 综合性问题l 高考风向标高考数学跨章节的综合性问题的命题方向一般是：三角函数与向量，解析几何与向量，函数与向量，函数与不等式，概率与实际应用性问题，递推数列与不等式证明，解析几何与数列等等l 典型题选讲例1已知向量，其中（）当时，求值的集合；（）求的最大值讲解（）由，得，即则，得 为所求（），所以有最大值为3点评向量与三角函数的结合是高考命题的一个亮点，年的高考当中已经有类似的考题例2 已知函数的定义域为，且. 设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为 （1）求的值； （2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由； （3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值 讲解（1） ， . （2）设点的坐标为，则有， 由点到直线的距离公式可知：， 故有，即为定值，这个值为1. （3）由题意可设，可知. 与直线垂直， ，即 ，解得 ，又， . ， ， 当且仅当时，等号成立 此时四边形面积有最小值点评本题是年上海市春季高考试题，它将函数、解析几何与不等式综合，题目新颖，但并不是难题对号函数是历年高考命题的热门话题例已知，奇函数在上单调（1）求的值及的范围；（2）设，且满足，求证：讲解（1）因为，为奇函数，恒成立，又在上单调，若在上单调递减，则恒成立但在上不恒成立；若在上单调递增，则恒成立在上最小值为，故只要，即综上可知，（2）假设，若，由（1）知在上单调递增，则且有，与矛盾；若，同理有且有，与矛盾；所以假设错误因此点评第（2）小题也可以给出下面的证明：由（1）知设，由有于是两式相减，得，即 即请你思考：哪一个证法比较简单呢？例M(互相垂直的弦MP、MQ，求证：PQ恒过定点M（ （2）直线点M，使得MPQ为以PQ为斜边的直角三角形？讲解（1）设PQ的方程为，得 ，于是其中 ， 即， ，直线PQ的方程为即 （2）设M（上，所以的解，消去x得 点评消元思想是解答解析几何试题的基本方法，它的程序是：代入消元，产生一元二次方程，韦达定理，判别式等例已知正项数列中，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上（）求数列的通项公式；（）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；（）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围讲解（）将点代入中得（）（）由，点评解析几何中曲线上的点列是高考的命题的一个新的亮点，而这种题型已经是上海高考命题的一个热点针对性演练1. 某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金 ( )A大于 B小于 C大于等于 D小于等于2. 在数列中，如果存在非零常数，使得对于任意的非零自然数均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫数列的周期。已知数列满足，如果，当数列的周期最小时，该数列前2005项的和是 ( )A668 B669 C1336 D1337EABCD3. 如图，在ABC中，CABCBA300，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ( )A. B. 1 C. 2 D. 24. 在空间直角坐标系Oxyz中，有一个平面多边形，它在xOy平面的正射影的面积为8，在yOz平面和zOx平面的正射影的面积都为6，则这个多边形的面积为 ( )A. B. 2 C. D. 25. 如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 ( ) A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线6. 某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436根据表中的数据，将各行业按就业形势由差到好排列，其中排列正确的是 （ ） A. 计算机，营销，物流 B. 机械，计算机，化工 C. 营销，贸易，建筑 D. 机械，营销，建筑，化工7. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和 已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_，且这个数列的前21项和的值为_8. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解）糖水变甜了，试根据这一事实提炼一个不等式 _ 9. 已知命题“已知函数与其反函数的图像有交点，且交点的横坐标是，则，且”是假命题，请说明理由 _ 直角坐标平面内，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点。现有一系列顶点都为整点的等腰直角三角形，其中点是坐标原点，直角顶点的坐标为，点在轴正半轴上，则第个等腰直角三角形内（不包括边界）整点的个数为 _ 椭圆C1：（b0）的左、右焦点分别为F1、F2右顶点为A，M为椭圆C1上任意一点，且的最大值为(1)求椭圆C1得离心率；(2)设双曲线C2以椭圆C1的焦点为定点，顶点为焦点；在第一象限内任取双曲线C2上一点P，试问是否存在常数()，使得PAF1 =PF1A恒成立？证明你的结论如图，直三棱柱中，为棱的中点B1C1（）求异面直线与所成的角；A1（）求证：平面平面DBCA设、是函数（a0）的两个极值点，且（）证明：；（）证明：；（）若函数，证明：当且时，函数的定义域为R，且 （1）求证：a0,b0； （2）若上的最小值为，试求f(x)的解析式； （3）在（2）的条件下记试比较 的大小并证明你的结论参考答案A. D. A. D. D. B. 3, 2. .(1)作出椭圆的左准线l，作MNl交l于点N，设M(x，y)，椭圆的离心率是e，椭圆的半焦距是c，根据椭圆的定义得，所以 ，同理可得，所以 ，其中由得最小值为，得，解得：(2)依题意得双曲线C2的离心率为2，设C2的方程是，假设存在适合题意得常数(0)先来考查特殊情形下的值：当PAx轴时，将x=2c代入双曲线方程，解得| y|=3c，因为| AF1|=3c，所以PAF1是等腰直角三角形，PAF1=90o，PF1A=45o，此时=2以下证明当PA与x轴不垂直时，PAF1=2PF1A恒成立。设P(x1，y1)，由于点P在第一象限内，所以直线PF1斜率也存在，因为PA与x轴不垂直，所以直线PA斜率也存在，因为，所以，将其代入上式并化简，得因为PAF1=PA=180o，所以，即tg2PF1A=tgP A F1 因为，所以，所以恒成立综合、的：存在常数=2，使得对位于双曲线C2在第一象限内的任意一点P，恒成立解法（）建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，于是，异面直线与所成的角为（），. 则平面 又平面，平面平面解法（）连结交于点，取中点，连结，则B1DFE2直线与所成的角就是异面直线与所成的角设，则 ， 中，直三棱柱中，则，异面直线与所成的角为（）直三棱柱中，平面 则又，则， 于是平面 又平面，平面平面（）ax2bxa2， x1，x2是f (x)的两个极值点， x1，x2是方程0的两个实数根 a0， x1x2a0，x1x2 | x1|x2| x1x2| | x1|x2|2， 4a4，即 b24a24a3 b20， 0a1（）设g(a)4a24a3，则 g (a)8a12a24a(23a) 由g (a)00a，g (a)0a1，得 g(a)在区间（0，）上是增函数，在区间（，1上是减函数， g(a)maxg() |b|（） x1，x2是方程f (x)0的两个实数根， f (x)a(xx1)(xx2) h(x)a(xx1)(xx2)2a(xx1)a(xx1)