高三总13抽象型函数问题的解题策略

高三总复习抽象型函数问题的解题策略 抽象型函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题。这类问题对发展学生的思维能力，进行数学思维方法的渗透，有较好的作用，但因其比较抽象，学生往往难以入手。本文就这类问题的解题策略谈点看法。 一、通过类比，探索思路方法 例1已知f(x)是定义在实数集R上的函数，且f(x+2)1-f(x)=1+f(x), f(0)=2-, 求f(1996)的值。 分析：由条件知f(x+2)=,利用此式和f(0)=2-，逐步递推求出f(1996)，显然较繁琐，若将此式与进行类比，则结构形式类似，而tanx的周期为，于是便产生一个念头，f(x)也是周期函数，周期为42=8。我们不妨来证明这一猜想。 ， 。 于是猜想成立，从而有 二、运用特殊化，推测问题结论。 例2若对于任意正数x, y，总有f(xy)=f(x)+f(y)，那么下列各式错误的是： A、f(1)=0B、 C、D、f(xn)=nf(x) (nN) 分析：考察满足条件的一个函数y=logax(a0, a1)，显然，A，C，D均成立，B不成立。故选择B。 例3已知函数f(x)满足： （1）是偶函数； （2）图象关于直线x=a(a0)对称； （3）在闭区间0,a上单调递减。 则f(x)是否为周期函数？若是，求出最小正周期；若不是，请说明理由。 分析：由于问题结论的开放性，学生首先感到困难的是没有明确的解题目标。但是，如果我们利用特殊化，注意到cosx符合条件（1）是偶函数，（2）图象关于直线x=对称；（3）在0，上单调递减，而cosx是周期函数，最小正周期是2，于是我们推测f(x)是周期函数，最小正周期是2a。下面只要证明这一结论即可。 首先证明2a是f(x)的一个周期。 由题设条件，知f(-x)=f(x), f(a+x)=f(a-x)，这里x为定义域中任意一个值，于是 从而2a是f(x)的一个周期。 再证2a是f(x)的最小正周期。用反证法。 假设存在b满足0b2a, b也是f(x)的周期，那么对定义域中的任意x，有f(b+x)=f(x)=f(2a+x)。 特别地，当x=-b时， f(0)=f(-b)=f(2a-b)。.(*) 若0f(2a-b),也与（*）式矛盾； 若2a-ba，则有0b0且g(x)是R上的增函数， , f(x)是R上的增函数。 （2）要证：， 只要证：， 即证：， 由于nN且n3, , 故只要证：。 而当n3时，该式显然成立，因此成立。 例9函数y=f(x)定义在R上，当x0时，f(x)1，且对任意m, nR，有当mn时，f(m)f(n)。（1）证明：f(x)是R上的增函数； （2）若f(2)=9,解方程； （3）设，若，求a,b,c满足的条件。 分析：根据题给条件可猜测f(x)的模型函数是y=ax(a1),从而f(0)=1，又由f(2)=9，可见a=3，即f(x)之一为y=3x，要解（2）的方程。需求出f(3)及f(1)。 解：（1）为证f(x)是R上的增函数， 先设m=n=0代入f(m+n)=f(m)f(n), 得f(0)=f2(0), f(0)=0或f(0)=1, 但由题意知f(0)0, 否则, 其次， f(x)0， 设n0, f(m-n)1, , 故为增函数。 （2） f(2)=9， f(1+1)=f(1)f(1)=9, f(1)=3, f(3)=f(2)f(1)=93=27。 原方程变为， , 由f(x)=1, 得x=0。（3）A集中，x2+y21是单位圆内部的点集；B集中，ax+by+c=0是直线上的点集， ， 且。 五、画出函数图象，帮助思考问题： 例10y=f(x)的定义域为实数集R，且有f(3-x)=f(3+x)，已知f(x)=0恰有四个不同的实根，则此四个实根之和是多少？ 解：由f(3-x)=f(3+x)，知道函数f(x)的图象关于直线x=3对称。如图1，画一个符合要求的函数f(x)的图象，设对称轴右侧有两个根分别为a,b，由对称性知另两根分别为6-a, 6-b, 于是四根之和a+b+(6-a)+(6-b)=12。 例11已知f(x)是实数集R上的奇函数且在区间(0,+)上是增函数，若f()=0,解关于x的不等式f(logax)0。 解：f(x)是奇函数， f(-0)=-f(0),即f(0)=-f(0), 于是f(0)=0。 f(x)奇函数，且在(0,+)内是增函数，f(x)在(-,0)内也是增函数。画出一个符合要求的函数f(x)的图象，如图2，借助于图象进行思考，不难由f(logax)0，得到logax-，或0logax。 当0a,或x1时，解集为x|0x,或1x。 六、通过间接法，巧妙解决问题 例12已知f(x)在实数集R上是增函数，a,b都是实数。若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，求证：a+b0。分析：本题若用直接证法显然无从下手，但若考虑用反证法，则问题可以很快解决。 证明：假设a+b0，则a-