二轮考点透析9立体几何

2009年二轮考点透析9立体几何（文科）考点: 1.空间元素的关系的判定.2.识图（斜二侧直观图与三视图） 3.简单几何体的特征与几何度量 4.重点考型-体积与面积的求法。简单几何体的组合问题，展拚问题、折叠问题一空间元素的关系的判定.1【广东韶关文】已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题 若，则若若若其中正确命题的个数是 A0个B1个C2个D3个2【潮州理科】设、是空间不同的直线或平面，对下列四种情形： 、均为直线； 、是直线，是平面； 是直线，、是平面； 、均为平面。其中使“且”为真命题的是 A B C D 3【揭阳文】3已知直线、,平面，则下列命题中假命题是 A若，,则 B若，,则C若，,则 D若，,则4【汕头澄海区文】设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若m，n，则mn；若，则其中正确命题的序号是 A和 B和 C和 D和5【中山文】已知直线a、b、c和平面M，则a/b的一个充分条件是 Aa/M ，b/MBac ，bc Ca、b与平面M成等角 DaM ，bM6（2008安徽卷4）已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）ABC D例1.（2008年广州市高二竞赛题）如图所示, 在三棱柱中, 底面，.（1）若点分别为棱的中点，求证：平面；(2) 请根据下列要求设计切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一条侧棱的平面去截此三棱柱,切开后的两个几何体再拼接成一个长方体. 简单地写出一种切割和拼接方法，并写出拼接后的长方体的表面积（不必计算过程）. 例2、已知直角梯形中, ,过作,垂足为,的中点,现将沿折叠,使得.ABCDEGFABCDEGF（1）求证：；（5分）（2）求证：；（5分）（3）在线段上找一点,使得面面,并说明理由. （5分）例3：已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将PAD沿AD折起，使面PAD面ABCD（如图2）.（1）证明：平面PADPCD；（2）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分；（3）在M满足（2）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.二识图（斜二侧直观图与三视图）7(08广东卷)将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是CHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED8【珠海理】已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）A B C D9(07山东)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）正方形圆锥三棱台正四棱锥ABCD10.（北京卷8）如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO11.（海南卷12）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（ ）A. B. C. 4D. 12、如图是利用斜二测画法画出的的直观图,已知=4,且的面积为16,过作轴,则的长为 . 13【汕头澄海区文】右图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形都是边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 17【珠海文】13. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为的等腰三角形俯视图是半径为的半圆，则该几何体的表面积是 例4(08宁夏卷)如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）（）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（）在所给直观图中连结，证明：面46422EDABCFG2例5 如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1A1BC1后得到的几何体（1） 画出该几何体的正视图；（2） 若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D1O平面A1BC1；（3） 求证：平面A1BC1平面BD1D BCA主视图左视图俯视图C1A1CACAC1A1BB1例6已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形且AA13，俯视图中C、C1分别是所在边的中点，设D为AA1的中点（1）作出该几何体的直观图并求其体积；（2）求证：平面BB1C1C平面BDC1；（3）BC边上是否存在点P，使AP/平面BDC1？若不存在，说明理由；若存在，请证明你的结论例7.已知一四棱锥PABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）是否不论点E在何位置，都有BDAE？证明你的结论;（3）求四棱锥PABCD的侧面积.3.简单几何体的特征与几何度量15（重庆卷文11）如题（11）图，模块均由4个棱长为1的小正方体构成，模块由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为(A)模块， (B)模块，(C)模块，(D)模块，16一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则（）俯视图正(主)视图侧(左)视图2322 17已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，则球的体积与三棱锥体积之比是（） 18右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A BC D19.（海南卷15）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _20.（天津卷13）若一个球的体积为，则它的表面积为_ 21.（福建卷15）若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是. 22 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形则该几何体的体积V ；该几何体的侧面积S 正视图 左视图 俯视图23.如图是一个几何体的三视图，其中正视图与左视图都是全等的腰为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此几何体的表面积 ，体积 在三视图中高、斜高、侧棱的区分要清楚，由视图产生的错觉是常见错误，也是一定要避免的。CPAB图5D例9.(08广东卷)（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，ABD=60,BDC=45,ADPBAD.(1)求线段PD的长；(2)若PC=R，求三棱锥P-ABC的体积. ABCMPD例10.（2008年山东）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，（）设是上的一点，证明：平面平面；（）求四棱锥的体积例11.在直三棱柱中，是的中点，是上一点，且（1）求证： 平面；（2）求三棱锥的体积；（3）试在上找一点，使得平面MABCDA1B1C1D1例12如图所示,在直四棱柱中, ,点是棱上一点.()求证：面；(5分)()求证：；(5分)()试确定点的位置,使得平面平面. 2009年二轮考点透析9立体几何（文科）考点: 1.空间元素的关系的判定.2.识图（斜二侧直观图与三视图） 3.简单几何体的特征与几何度量 4.重点考型-体积与面积的求法。简单几何体的组合问题，展拚问题、折叠问题一空间元素的关系的判定.1【广东韶关文】已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题 若，则若若若其中正确命题的个数是 A0个B1个C2个D3个2【潮州理科】设、是空间不同的直线或平面，对下列四种情形： 、均为直线； 、是直线，是平面； 是直线，、是平面； 、均为平面。其中使“且”为真命题的是 A B C D 3【揭阳文】3已知直线、,平面，则下列命题中假命题是 A若，,则 B若，,则C若，,则 D若，,则4【汕头澄海区文】设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若m，n，则mn；若，则其中正确命题的序号是 A和 B和 C和 D和5【中山文】已知直线a、b、c和平面M，则a/b的一个充分条件是 Aa/M ，b/MBac ，bc Ca、b与平面M成等角 DaM ，bM6（2008安徽卷4）已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）ABC D例1.（2008年广州市高二竞赛题）如图所示, 在三棱柱中, 底面，.（1）若点分别为棱的中点，求证：平面；(2) 请根据下列要求设计切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一条侧棱的平面去截此三棱柱,切开后的两个几何体再拼接成一个长方体. 简单地写出一种切割和拼接方法，并写出拼接后的长方体的表面积（不必计算过程）.证：连结，底面，平面，. ，分别为棱的中点，.，Rt Rt.,. ，平面.，平面. 平面，. 同理可证. ，平面.（2）切割拼接方法一：如图甲所示，分别以的中点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为长方形如图所示，），此时所拼接成的长方体的表面积为16. 图甲 图切割拼接方法二：如图乙所示，设的中点分别为，以四点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为正方形），此时所拼接成的长方体的表面积为. 图乙 图 例2、已知直角梯形中, ,过作,垂足为,的中点,现将沿折叠,使得.（1）求证：；（5分）（2）求证：；（5分）（3）在线段上找一点,使得面面,并说明理由. （5分）ABCDEGFABCDEGF解：（1）证明：由已知得：, （2分） , ,（5分）（2）证明：取中点，连接, ， , ， （7分） , （10分）（3）分析可知，点满足时， （11分） 证明：取中点，连结、 容易计算, 在中,可知, 在中, ,（13分） 又在中, （15分）（说明:若设,通过分析,利用推算出,亦可,不必再作证明）例3：已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将PAD沿AD折起，使面PAD面ABCD（如图2）.（1）证明：平面PADPCD；（2）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分；（3）在M满足（2）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.（1）证明：依题意知：2分4分 （2）由（1）知平面ABCD 平面PAB平面ABCD.5分 在PB上取一点M，作MNAB，则MN平面ABCD，设MN=h则8分要使即M为PB的中点.10分 （3）连接BD交AC于O，因为AB/CD，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2ODO不是BD的中心10分又M为PB的中点在PBD中，OM与PD不平行OM所以直线与PD所在直线相交 又OM平面AMC直线PD与平面AMC不平行.15分【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。二识图（斜二侧直观图与三视图）7(08广东卷)将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是CHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED8【珠海理】已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ C ）A B C D9(07山东)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ D ）正方形圆锥三棱台正四棱锥ABCD10.（北京卷8）如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO11.（海南卷12）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（ C ）A. B. C. 4D. 12、如图是利用斜二测画法画出的的直观图,已知=4,且的面积为16,过作轴,则的长为 . 13【汕头澄海区文】12右图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形都是边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 17【珠海文】如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为的等腰三角形俯视图是半径为的半圆，则该几何体的表面积是 例4(08宁夏卷)如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）（）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（）在所给直观图中连结，证明：面46422EDABCFG2解：（）如图4642224622（俯视图）（正视图）（侧视图） 3分ABCDEFG（）所求多面体体积7分（）证明：在长方体中，连结，则因为分别为，中点，所以，从而又平面，所以面12分例5 如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1A1BC1后得到的几何体（1） 画出该几何体的正视图；（2） 若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D1O平面A1BC1；（3） 求证：平面A1BC1平面BD1D解：（1）该几何体的正视图为：-3分（2）将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，依题意可知，D1O1OB，且D1O1=OB，即四边形D1OB O1为平行四边形，-6分 则D1OO1B，因为BO1平面BA1C1，D1O平面BA1C1， 所以有直线D1O平面BA1C1；-8分（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1平面A1B1C1D1， 则DD1A1C1，-10分 另一方面，B1D1A1C1，-12分 又DD1B1D1= D1，A1C1平面BD1D，A1C1平面A1BC1，则平面A1BC1平面BD1D-14分BCA主视图左视图俯视图C1A1CACAC1A1BB1例6已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形且AA13，俯视图中C、C1分别是所在边的中点，设D为AA1的中点（1）作出该几何体的直观图并求其体积；（2）求证：平面BB1C1C平面BDC1；（3）BC边上是否存在点P，使AP/平面BDC1？若不存在，说明理由；若存在，请证明你的结论说明：本题综合考查了作图、计算、证明、探究等能力，这种类型的试题也应引起重视三视图内容也很可能在大题中采用本题的方式进行考查，关键要求学生先能够准确“复图”，再进行其他常规解答基本策略：证明或探究空间中线线、线面与面面平行与垂直的位置关系，一要熟练掌握所有判定与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行；二要掌握解题时由已知想性质、由求证想判定，即分析法与综合法相结合来寻找证明的思路；三要严格要求学生注意表述规范，推理严谨，避免使用一些正确但不能作为推理依据的结论此外，要特别注重培养学生的空间想象能力，会分析一些非常规放置的空间几何体（如例6、例7中侧面水平放置的棱锥、棱柱等），会画空间图形的三视图与直观图，且会把三视图、直观图还原成空间图形例7.已知一四棱锥PABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）是否不论点E在何位置，都有BDAE？证明你的结论;（3）求四棱锥PABCD的侧面积.18.（1）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC底面ABCD，且PC=2. -2分-4分(2) 不论点E在何位置，都有BDAE-5分证明如下：连结AC，ABCD是正方形BDAC PC底面ABCD 且平面BDPC-7分又 BD平面PAC不论点E在何位置，都有AE平面PAC 不论点E在何位置，都有BDAE -9分(3) 由（）知PCCD,PCBC,CD=CB, RPCDRPCBABBC,ABPC,AB平面PCBPB平面PBC，ABPB同理ADPD -12分四棱锥PABCD的侧面积=2+-14分3.简单几何体的特征与几何度量15（重庆卷文11）如题（11）图，模块均由4个棱长为1的小正方体构成，模块由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为(A)模块， (B)模块，(C)模块，(D)模块，【答案】A【解析】本小题主要考查空间想象能力。先补齐中间一层，只能用模块或，且如果补则后续两块无法补齐，所以只能先用补中间一层，然后再补齐其它两块。16一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则（）【答案】：B【分析】：如图，设正三棱锥的各棱长为，则四棱锥的各棱长也为， 于是 17已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，则球的体积与三棱锥体积之比是（） 【答案】：D【分析】：如图， 俯视图正(主)视图侧(左)视图232218右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A BC D19.（海南卷15）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _20.（天津卷13）若一个球的体积为，则它的表面积为_1221.（福建卷15）若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是. 922 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形则该几何体的体积V ；该几何体的侧面积S 解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD ;(1) (2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为 , 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为 因此 正视图 左视图 俯视图23.如图是一个几何体的三视图，其中正视图与左视图都是全等的腰为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此几何体的表面积 ，体积 答案：此几何体是正四棱锥，它的底为边长为2的正方形，侧面斜高为4分面积为4+8分体积为.12分在三视图中高、斜高、侧棱的区分要清楚，由视图产生的错觉是