二轮考点透析8解析几何

2009年二轮考点透析8解析几何考点: 1.直线与圆的方程及其位置关系(重点是特殊直角三角形的考查,一道小题或是在大题中渗透)2.圆锥曲线的方程求法及方程所含参数的几何意义与特点(考查形式必考一小题) 3.解析几何的基本方法- 一元二次方程组法(中点对称问题可用点差法) 4.重点考型-中点对称问题、定值定点问题、最值问题、组合问题、参数问题、面积问题.一.直线与圆的方程及其位置关系(重点是特殊直角三角形的考查,一道小题或是在大题中渗透)1(上海卷)已知两条直线若，则_.解：两条直线若，则2.2（天津卷）设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则_解析：设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则圆心(1，2)到直线的距离等于1，0 3若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4 若、两点分别在圆上运动，则的最大值为（ ）A13 B19 C32 D385. 两个圆的有两条公切线，则r的取值范围是 6、极坐标系下，直线 与圆的公共点个数为 1例1（2008东莞竞赛题）已知以点为圆心的圆与轴交于两点，与轴交于、两点，其中为坐标原点.（1）求证：的面积为定值；（2）设直线与圆交于点，若，求圆的方程.解：（1），设圆的方程是 令，得；令，得. 2分 ，即：的面积为定值. 4分 （2）垂直平分线段. ，直线的方程是. 6分 ，解得：. 8分 当时，圆心的坐标为， 此时到直线的距离，圆与直线相交于两点 10分当时，圆心的坐标为，此时到直线的距离圆与直线不相交，不符合题意舍去 13分圆的方程为. 14分例2（2008江苏）在平面直角坐标系中，二次函数（）与两坐标轴有三个交点记过三个交点的圆为圆（1）求实数b的取值范围；（2）求圆的方程；（3）圆是否经过定点（与的取值无关）？证明你的结论【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法解：（）令0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，由题意b0 且0，解得b1 且b0（）设所求圆的一般方程为令0 得这与0 是同一个方程，故D2，F令0 得0，此方程有一个根为b，代入得出Eb1所以圆C 的方程为.（）圆C 必过定点（0，1）和（2，1）证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边0120（b1）b0，右边0，所以圆C 必过定点（0，1）同理可证圆C 必过定点（2，1）例3、（2008海南）已知mR，直线l：和圆C：。（1）求直线l斜率的取值范围；（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？解：（）直线的方程可化为，此时斜率因为，所以，当且仅当时等号成立所以，斜率k的取值范围是；（）不能.由（知的方程为，其中；圆的圆心为，半径；圆心到直线的距离由，得，即，从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于，所以不能将圆分割成弧长的比值为的两端弧；【高考考点】直线与圆及不等式知识的综合应用【易错点】：对有关公式掌握不到位而出错。【全品备考提示】：本题不是很难，但需要大家有扎实的功底，对相关知识都要受熟练掌握；二. .圆锥曲线的方程求法及方程所含参数的几何意义与特点(考查形式必考一小题)1（广东卷）已知双曲线，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于 A. B. C. 2 D. 4解析：依题意可知 ，故选C.2（安徽卷）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为A B C D解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D。3. （江苏卷）点P(-3,1)在椭圆的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A ) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 4（山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 (A) (B) (C) (D)解：不妨设椭圆方程为（ab0），则有，据此求出e，选B5（2008江苏）在平面直角坐标系中，椭圆（ab0）的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，若过作圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率是【答案】【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以OAP 是等腰直角三角形，故，解得6、（2008海南）双曲线的焦距为（ ）A. 3B. 4C. 3D. 4【标准答案】 【试题解析】由双曲线方程得，于是，选【高考考点】双曲线的标准方程及几何性质【易错提醒】将双曲线中三个量的关系与椭圆混淆，而错选7、（2008海南）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_【标准答案】：【试题解析】：将椭圆与直线方程联立：，得交点；故；【高考考点】直线与椭圆的位置关系【易错点】：不会灵活地将三角形面积分解而导致运算较繁。7. (重庆卷)已知，B是圆F：(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为。例4（江苏卷）已知三点P（5，2）、（6，0）、（6，0）. （）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（）设点P、关于直线yx的对称点分别为、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为(ab0),其半焦距c=6,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为（2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为三.重点考型-中点对称问题、定值定点问题、最值问题、组合问题、参数问题、面积问题.例5（2008年广州市高二竞赛）已知点，是椭圆：上不同的两点，线段的中点为.（1）求直线的方程；（2）若线段的垂直平分线与椭圆交于点、，试问四点、是否在同一个圆上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.（中点对称问题巧用点差法可化难为易，同时又是椭圆与圆的组合问题，为了能有效地体现高考的知识考查功能，组合是近年高考题的一个新的发展形式）解一：（1）点，是椭圆上不同的两点，.以上两式相减得：， 即，线段的中点为，. ，当，由上式知， 则重合，与已知矛盾，因此，. 直线的方程为，即. 由 消去，得，解得或.所求直线的方程为. 解二: 当直线的不存在时, 的中点在轴上, 不符合题意.故可设直线的方程为, .由 消去，得 (*). 的中点为,.解得. 此时方程(*)为,其判别式.所求直线的方程为. （2）由于直线的方程为，则线段的垂直平分线的方程为，即. 由 得， 由消去得，设则. 线段的中点的横坐标为，纵坐标. .， 四点、在同一个圆上，此圆的圆心为点，半径为，其方程为例6设F1、F2为椭圆 的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1PF2，求的值.(解析几何的分类讨论问题能很好地体现数形结合的考查)分析：由已知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.解法1：由已知，PF1PF2，PF1PF26，F1F2，若PF2F1为直角，则PF12PF22F1F22，可解得：PF1，PF2，这时.若F2PF1为直角，则PF12PF22F1F22，可解得：PF14，PF22，这时.解法2：由椭圆的对称性，不妨设P(x，y)（其中x0，y0），.若PF2F1为直角，则P（），这时PF1，PF2，这时.若PF2F1为直角，则由，解得：.于是PF14，PF22，这时.点评：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用PF1aex，PF2aex来求解.例7 (本小题满分13分)设椭圆过点，且左焦点为（）求椭圆C的方程；（）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足证明：点Q总在某定直线上解 (1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 (2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为。由题设知均不为零，记,则且又A，P，B，Q四点共线，从而于是 ， ， 从而 ，（1） ，（2）又点A、B在椭圆C上，即 （1）+（2）2并结合（3），（4）得即点总在定直线上方法二设点，由题设，均不为零。且 又 四点共线，可设,于是 （1） （2）由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得 （3） (4)(4)(3) 得 即点总在定直线上例8.(2008山东考题)如图，设抛物线方程为x2=2py(p0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，求此时抛物线的方程；（）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.（对于切线，切点问题的考查能有效地将导数问题引入解析几何的中考查当中，2008年广东题也是这样的考查形式，单独考查导数似乎意义并不大，只有容入其他传统知识才会有新意，与解几有关的面积函数求导问题应是2009高考的一个新方向）（）证明：由题意设由得，则所以因此直线MA的方程为直线MB的方程为所以 由、得 因此，即所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.（）解：由（）知，当x0=2时， 将其代入、并整理得：所以x1、x2是方程的两根，因此又所以由弦长公式得又，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为或（）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),则CD的中点坐标为设直线AB的方程为由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，代入得若D（x3,y3）在抛物线上，则因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或（1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.（2）当，对于D(0，0)，此时又ABCD，所以即矛盾.对于因为此时直线CD平行于y轴，又所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的M点. 综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.yxABMFNlO例9（本小题满分14分）如图，椭圆：的一个焦点为F（1，0），且过点（）求椭圆的方程；（）若为垂直于轴的动弦，直线：与轴交于点，直线与交于点（）求证：点恒在椭圆上；（）求面积的最大值22本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力满分14分解法一：（）由题设，从而所以椭圆的方程为（）（）由题意得，设，则，与的方程分别为：， 设，则有由，得，由于yxABMFNO所以点恒在椭圆上（）设的方程为，代入得设，则有：，令，则，因为，所以当，即，时，有最大值，此时过点的面积有最大值解法二：（）同解法一（）（）由题意得，设，则，与的方程分别为：，由，得：当时，由代入，得当时，由，得：解得与矛盾所以点的轨迹方程为，即点恒在椭圆上（）同解法一yxlAFBO例10如图，椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点F的直线l交椭圆于A，B两点若直线l绕点F任意转动，恒有，求a的取值范围（解析几何中参数求值范围问题，也是考查的一个方向）解法一：（）设M，N为短轴的两个三等分点，因为MNF为正三角形，所以，即1，解得，因此，椭圆方程为yxlAFBONM（）设()当直线 AB与x轴重合时，因此，恒有（）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：，代入，整理得，所以因为恒有，所以AOB恒为钝角即恒成立又a2+b2m20，所以对恒成立，即对恒成立当时，最小值为0，所以，因为a0，b0，所以ab2，即，解得或(舍去)，即，综合（i）（ii），a的取值范围为解法二：（）同解法一，（）解：（i）当直线l垂直于x轴时，x=1代入因为恒有|OA|2+|OB|21，解得或 (舍去)，即（ii）当直线l不垂直于轴时，设，设直线AB的方程为y=k(x1)代入，得(b2+a2k2)x22a2k2x+ a2 k2a2 b2=0，故因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2，所以x21+y21+ x22+ y22( x2x1)2+(y2y1)2，得x1x2+ y1y20恒成立x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x11) (x21)=(1+k2) x1x2k2(x1+x2)+ k2由题意得（a2a2 b2+b2）k2a2 b20时，不合题意；当a2a2 b2+b2=0时，a=；当a2a2 b2+b20时，a2a2(a21)+ (a21)0，解得a2或a2（舍去），a，因此综合（i）（ii），a的取值范围为四创新试题例11.如图，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点、，点是弦的中点（）若，求点的轨迹方程；（）求的取值范围解：（）若直线轴，则点为； 设直线，并设点的坐标分别是，由消去，得 ， 由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，即，所以 由及方程，得，即由于（否则，直线与椭圆无公共点），将上方程组两式相除得，代入到方程，得，整理，得（综上所述，点的轨迹方程为（ （）当轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，所以，所以，； 由方程，得所以，所以 因为，所以，所以，所以综上所述，例12.（全国二21）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点（）若，求的值；（）求四边形面积的最大值（）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，2分如图，设，其中，DFByxAOE且满足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化简得，解得或6分（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为，9分又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号所以的最大值为12分解法二：由题设，设，由得，故四边形的面积为9分，当时，上式取等号所以的最大值为12分例1.设函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。【试题解析】）方程可化为，当时，；又，于是，解得，故（）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为，即令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为；故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值，此定值为；【高考考点】导数及直线方程的相关知识【易