机械控制工程基础时域分析(C班)

第3章时域分析 一 时间响应及其组成 1 时间响应 定义 在输入作用下 系统的输出 响应 在时域的表现形式在数学上 就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解 时间响应能完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程 第一节概述 2时域分析的目的在时间域 研究在一定的输入信号作用下 系统输出随时间变化的情况 以分析和研究系统的控制性能 3时域分析法时域分析法就是根据系统的微分方程 采用拉氏变法直接解出系统的时间响应 再根据响应的表达式及对应曲线来分析系统的性能 用时域分析法分析系统性能具有直接 准确 易于接受等特点 二 典型输入信号 1 在时间域进行分析时 为了比较不同系统的控制性能 需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础 这些信号称为控制系统的典型输入信号 一般 系统可能受到的外加作用有控制输入和扰动 扰动通常是随机的 即使对控制输入 有时其函数形式也不可能事先获得 2 作用 在实际中 输入信号很少是典型输入信号 但由于在系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意输入信号的时间响应之间存在一定的关系 所以 只要知道系统对典型输入信号的响应 再利用关系式 就能求出系统对任何输入的响应 3 常用的典型输入信号 1 能反映系统在工作过程中的大部分实际情况 4 典型输入信号的选择原则 如 若实际系统的输入具有突变性质 则可选阶跃信号 若实际系统的输入随时间逐渐变化 则可选速度信号 2 形式简单 便于解析分析 3 实际中可以实现或近似实现 第二节一阶系统的时间响应 1 一阶系统 惯性环节 极点 特征根 1 T Xi s X0 s 如 弹簧 阻尼器环节 2 一阶系统的单位脉冲响应 一阶系统单位脉冲响应的特点 瞬态响应 1 T e t T 稳态响应 0 xo 0 1 T 随时间的推移 xo t 指数衰减 对于实际系统 通常应用具有较小脉冲宽度 脉冲宽度小于0 1T 和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号 3 一阶系统的单位阶跃响应 一阶系统单位阶跃响应的特点 响应分为两部分 瞬态响应 表示系统输出量从初态到终态的变化过程 动态 过渡过程 稳态响应 1 表示t 时 系统的输出状态 xo 0 0 随时间的推移 xo t 指数增大 且无振荡 xo 1 无稳态误差 4 一阶系统的单位速度响应 一阶系统单位速度响应的特点 瞬态响应 Te t T 稳态响应 t T 经过足够长的时间 稳态时 如t 4T 输出增长速率近似与输入相同 此时输出为 t T 即输出相对于输入滞后时间T 5 不同时间常数下的响应情况 由上图可知 T越大 惯性越大 第三节 二阶系统的时间响应 例如图所示机械系统 解 1 明确系统的输入与输出 输入为f t 输出为x t 2 列写微分方程 受力分析 3 整理可得 4 传递函数 5 单位阶跃响应 若m 1 c 1 k 1 t 0 0 01 20 x 1 exp 0 5 t sin sqrt 3 2 t 1 sqrt 3 exp 0 5 t cos sqrt 3 2 t plot t x Matlab命令 Matlab命令 num1 001 den1 111 sys tf num1 den1 step num1 den1 m 1 c 1 k 1时阶跃响应 若m 1 c 2 k 1 则运动方程为 t 0 0 01 20 x 1 exp t t exp t plot t x Matlab命令 Matlab命令 num1 001 den1 121 sys tf num1 den1 step num1 den1 m 1 c 2 k 1时阶跃响应 Matlab计算 若m 1 c 5 k 4 则运动方程为 t 0 0 01 20 x 1 4 3 exp t 1 3 exp 4 t plot t x Matlab命令 Matlab命令 num1 004 den1 154 sys tf num1 den1 step num1 den1 m 1 c 5 k 4时阶跃响应 若m 1 c 0 k 1 则运动方程为 Matlab命令 num1 001 den1 101 sys tf num1 den1 step num1 den1 m 1 c 0 k 1时阶跃响应 二阶系统 其中 T为时间常数 也称为无阻尼自由振荡周期 为阻尼比 为系统的无阻尼固有频率 二阶系统的特征方程 极点 特征根 欠阻尼二阶系统 振荡环节 0 1 具有一对共轭复数极点 称为阻尼振荡频率 临界阻尼二阶系统 1 具有两个相等的负实数极点 过阻尼二阶系统 1 具有两个不相等的负实数极点 零阻尼二阶系统 0 具有一对共轭虚极点 负阻尼二阶系统 0 极点实部大于零 响应发散 系统不稳定 2 二阶系统的单位脉冲响应 0 1 num1 001 den1 111 sys tf num1 den1 impulse sys 0 num1 001 den1 101 sys tf num1 den1 t 0 0 01 50 impulse sys t 1 num1 001 den1 121 sys tf num1 den1 t 0 0 01 20 impulse sys t 1 num1 001 den1 131 sys tf num1 den1 t 0 0 01 20 impulse sys t 3 二阶系统的单位阶跃响应 欠阻尼 0 1 状态 其中 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点 xo 1 稳态 瞬态分量为振幅等于的阻尼正弦振荡 其振幅衰减的快慢由 和 n决定 振荡幅值随 减小而加大 特点 单调上升 无振荡 无超调 c 1 无稳态误差 临界阻尼 1 状态 过阻尼 1 状态 特点 单调上升 无振荡 过渡过程时间长 c 1 无稳态误差 其中 几点结论 二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性 0时 阶跃响应发散 系统不稳定 1时 无振荡 无超调 过渡过程长 0 1时 有振荡 愈小 振荡愈严重 但响应愈快 0时 出现等幅振荡 工程中除了一些不允许产生振荡的应用 如指示和记录仪表系统等 通常采用欠阻尼系统 且阻尼比通常选择在0 4 0 8之间 以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡 5 二阶系统的性能指标 控制系统的时域性能指标 控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标 是定量分析的基础 系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义 常见的性能指标有 上升时间tr 峰值时间tp 调整时间ts 最大超调量Mp 振荡次数N 评价系统快速性的性能指标 上升时间tr 响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间 对无超调系统 上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10 上升到90 所需的时间 峰值时间tp 响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间 调整时间ts 响应曲线到达并保持在允许误差范围 稳态值的 2 或 5 内所需的时间 最大超调量Mp 响应曲线的最大峰值与稳态值之差 通常用百分数表示 评价系统平稳性的性能指标 若xo tp xo 则响应无超调 振荡次数N 在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数 实测时 可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数 欠阻尼二阶系统的时域性能指标 上升时间tr 根据上升时间的定义有 欠阻尼二阶系统的阶跃响应为 从而 即 显然 一定时 n越大 tr越小 n一定时 越大 tr越大 峰值时间tp 即 根据tp的定义解上方程可得 一定 n越大 tp越小 n一定 越大 tp越大 最大超调量Mp 显然 Mp仅与阻尼比 有关 最大超调量直接说明了系统的阻尼特性 越大 Mp越小 系统的平稳性越好 当 0 4 0 8时 可以求得相应的Mp 25 4 1 5 调整时间ts 对于欠阻尼二阶系统 其单位阶跃响应的包络线为一对对称于响应稳态分量1的指数曲线 当包络线进入允许误差范围之内时 阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内 因此利用 可以求得 由上式求得的ts包通常偏保守 当 一定时 n越大 ts越小 系统响应越快 当0 0 7时 振荡次数N N仅与 有关 与Mp一样直接说明了系统的阻尼特性 越大 N越小 系统平稳性越好 对欠阻尼二阶系统 振荡周期 重要公式小结 其中 其中 例题 1 某数控机床的位置随动系统为单位反馈系统 其开环传递函数为G s 9 s s 1 试计算系统的Mp tp ts和N 解 系统的闭环传递函数为 峰值时间 例2控制系统框图所示 若要求系统单位阶跃响应超调量Mp 20 调节时间ts 1 5s 试确定K与的值 K s s 1 1 ts K s s 1 1 ts 例3 图a 所示机械系统 当在质量块M上施加f t 8 9N的阶跃力后 M的位移时间响应如图b 试求系统的质量M 弹性系数K和粘性阻尼系数C的值 解 根据牛顿定律 其中 系统的传递函数为 由于F s L f t L 8 9 8 9 s 因此 根据拉氏变换的终值定理 由图b 知xo 0 03m 因此 K 8 9 0 03 297N m 又由图b 知 解得 0 6 又由 代入 可得 n 1 96rad s 根据 解得M 77 3Kg C 181 8Nm s 例4 解 系统闭环传递函数为 1 K 200时 n 31 6rad s 0 545 2 K 1500时 n 86 2rad s 0 2 同样可计算得 tr 0 021s tp 0 037s Mp 52 7 ts 0 174s N 2 34 可见 增大K 减小 n提高 引起tp减小 Mp增大 而ts无变化 即系统可以视为由两个时间常数不同的一阶系统串联组成 其中T1 0 481s T2 0 0308s 3 K 13 5时 n 8 22rad s 2 1 系统工作于过阻尼状态 传递函数可以改写为 五 高阶系统的时间响应 1 高阶系统的单位阶跃响应 考虑系统 若在系统极点中包含q个实数极点和r对共轭复数极点可以求得高阶系统的时间响应 其包含有指数函数分量和衰减正弦函数分量 主导极点 距离虚轴很近的极点 对系统时间起主导作用 六 误差分析和计算 1 控制系统的误差 考虑反馈控制系统 偏差信号E s 即输入R s 与反馈信号B s 之差E s R s B s R s H s C s 误差传递函数 闭环传递函数 开环传递函数 偏差信号 误差与偏差 动态误差 误差随时间变化的过程值稳态误差 系统进入稳态后其实际输出量与希望输出量之间的相差程度 2 稳态偏差及其计算 稳态偏差ess 误差是时间的函数e t 稳态偏差 若误差信号在 t 存在 即e t 的稳态分量为稳态误差 根据拉氏变换的终值定理 有 稳态偏差的计算 利用拉氏变换的终值定理 系统稳态误差为 例题 已知单位反馈系统的开环传递函数为 G s 1 Ts求其在单位阶跃输入 单位单位速度输入 单位加速度输入下的稳态偏差 解 该单位反馈系统在输入作用下的误差传递函数为 在单位阶跃输入下的稳态偏差为 在单位速度输入下的稳态偏差为 在单位加速度输入下的稳态偏差为 例 一系统的开环传递函数求 r t 1 t 及t时的稳态误差解 r t 1 t 时 R s 1 s r t t时 R s 1 s2 3 稳态误差系数 稳态偏差系数的概念 稳态位置误差系数 单位阶跃输入时系统的稳态偏差 位置误差 称为稳态位置偏差系数 其中 稳态速度误差系数 单位速度输入时系统的稳态偏差 称为稳态速度偏差系数 其中 稳态加速度偏差系数 单位加速度输入时系统的稳态偏差 加速度偏差 称为稳态加速度偏差系数 其中 系统类型 将系统的开环传递函数写成如下形式 根据系统开环传递函数中积分环节的多少 当v 0 1 2 时 系统分别称为0型 I型 型 系统 不同类型系统的稳态误差系数及稳态误差 0型系统 I型系统 型系统 不同类型的输入信号作用于同一控制系统 其稳态误差不同 相同的输入信号作用于不同类型的控制系统 其稳态误差也不同 七扰动引起的稳态偏差和系统总误差 扰动作用下的传递函数 扰动单独作用时即R s 0 输入信号单独作用时 总误差 扰动引起的稳态误差 扰动误差传递函数为 所以 扰动引