高三数学一轮抛物线巩固与练习

巩固1(原创题)抛物线y224ax(a0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为()Ay28x By212xCy216x Dy220x解析：选A.由题意知，36a5，a，抛物线方程为y28x.2经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线的方程是()A6x4y30 B3x2y30C2x3y20 D2x3y10解析：选A.据题意设所求平行直线方程为3x2yc0，又直线过抛物线y22x的焦点(，0)，代入求得c，故直线方程为6x4y30.3(2009年高考山东卷)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay24x By28xCy24x Dy28x解析：选B.y2ax的焦点坐标为(，0)过焦点且斜率为2的直线方程为y2(x)，令x0得：y.4，a264，a8.4过抛物线y24x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A，B两点，则以F为圆心、AB为直径的圆的方程是_解析：由y24x，得p2，F(1,0)，A(1,2)，B(1，2)，所求圆的方程为(x1)2y24.答案：(x1)2y245.设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，则抛物线的方程为_解析：当m0时，准线方程为x2，m8，此时抛物线方程为y28x；当m0时，准线方程为x4，m16，此时抛物线方程为y216x.所求抛物线方程为y28x或y216x.答案：y28x或y216x6设抛物线y22px(p0)的焦点为F，Q是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO交准线于P点，过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点，求证：0.证明：设Q(，y0)，则R(，y0)，直线OQ的方程为yx，将x代入上式，得y，P(，)又F(，0)，(p，)，(p，y0)0.练习1若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()A2 B2C4 D4解析：选D.抛物线的焦点为F(，0)，椭圆中c2624，c2，其右焦点为(2,0)，2，p4.2抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A. B.C. D0解析：选B.M到焦点的距离为1，则其到准线距离也为1.又抛物线的准线为y，M点的纵坐标为.3若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：选D.由题意知，点P到点(2,0)的距离与P到直线x2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x2为准线的抛物线，故选D.4抛物线y24x的焦点为F，过F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长为()A2 B4C6 D8解析：选B.由已知可得直线AF的方程为y(x1)，联立直线与抛物线方程消元得：3x210x30，解之得：x13，x2(据题意应舍去)，由抛物线定义可得：|AF|xA314.5如图过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为()Ay2xBy29xCy2xDy23x解析：选D.如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由定义得：|BD|a，故BCD30，在直角三角形ACE中，|AE|3，|AC|33a，故有2|AE|AC|33a6，从而得a1，再由BDFG，则有p，因此抛物线方程为y23x.6直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点F，且交抛物线C于A，B两点，分别从A，B两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A1，B1，则A1FB1是()A锐角 B直角C钝角 D直角或钝角答案：B7若直线axy10经过抛物线y24x的焦点，则实数a_.解析：y24x的焦点为(1,0)，将点(1,0)代入axy10，得a1.答案：18.过抛物线x22py(p0)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则_.解析：如右图，作AA1x轴，BB1x轴则AA1OFBB1，又已知xA0，直线AB方程为yxtan30即yx，与x22py联立得x2pxp20xAxBp，xAxBp2，xAxBp2()2(xA2xB22xAxB)3xA23xB210xAxB0两边同除以xB2(xB20)得3()210303或.又xAxBp0，xAxB，1，().答案：9对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上焦点在x轴上抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6抛物线的通径的长为5由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)能满足此抛物线方程y210x的条件是_(要求填写合适条件的序号)解析：在两个条件中，应选择，则由题意，可设抛物线方程为y22px(p0)；对于，由焦半径公式r16，p10，此时y220x，不符合条件；对于，2p5，此时y25x，不符合题意；对于，设焦点(，0)，则由题意，满足1.解得p5，此时y210x，所以能使抛物线方程为y210x.答案：10抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(，)，求抛物线与双曲线方程解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，p2c.设抛物线方程为y24cx，抛物线过点(，)，64c.c1，故抛物线方程为y24x.又双曲线1过点(，)，1.又a2b2c21，1.a2或a29(舍)b2，故双曲线方程为：4x21.11.(2009年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程解：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y22px.因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p1.因此，抛物线C的标准方程是y22x.(2)由(1)可得焦点F的坐标是(，0)，又直线OA的斜率为1，故与直线OA垂直的直线的斜率为1.因此，所求直线的方程是xy0.12设抛物线过定点A(2,0)，且以直线x2为准线(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(2)已知点B(0，5)，轨迹C上是否存在满足0的M、N两点？证明你的结论解：(1)设抛物线顶点P(x，y)，则抛物线的焦点F(2x2，y)，由抛物线的定义可得4.1.轨迹C的方程为1(x2)(2)不存在证明如下：过