最优控制结课论文.doc

最优控制结课论文题目：基于最优控制的倒立摆系统建模及仿真学院： 自动化学院 专业： 控制科学与工程 姓名： 常 勇 学号： 133122332 教师： 陈 鹏 12013级自动化学院研究生最优控制结课论文摘 要作为一个典型的不稳定的非线性系统，倒立摆具有成本低，结构简单，便于用各种方法进行控制的特点，因而倒立摆系统常被人们用来检验各种控制方法的优劣。倒立摆难点在控制，当前关于控制的研究已经很多。首先建立了控制对象的数学模型，应用牛顿力学定律的方法实现对系统模型的建立。牛顿力学定律法主要是对系统进行受力分析，通过其水平和竖直方向的受力情况列写方程，经过拉普拉斯变换计算出其状态空间表达式，这一过程也可直接用MATLAB软件编程得到。然后，对系统进行最优控制的分析，并设计出最优控制器。关键词：倒立摆，数学模型，最优控制AbstractAs a typical unstable nonlinear system, inverted pendulum system has the characteristics of low cost and simple structure. It can be controlled by many kinds of methods, so people use it to test the various control methods to know whether they are good or not. The difficulty of it is control. There are many research achievements about it now.This article firstly establishes the mathematical model of the controlled object. Then it uses application law of Newtonian mechanics to achieve the establishment of system model. The Law of Newtonian mechanics method is mainly on stress analysis of the system. Then it shows the equation by anglicizing the force in the direction of horizontal and vertical. Calculating its state space after Laplace transform, this process can also be directly programmed by MATLAB software. Secondly, analyzes the controllability and observability of system, and to the design of optimal controller.Keywords：Inverted pendulum, Mathematical model, Optimal control第一章 绪论1.1 倒立摆系统的研究意义倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。故其研究意义广泛。MATLAB可以对动态系统进行仿真、建模和分析，它不但支持连续、线性系统仿真，而且也支持离散、非线性系统仿真。本课题的目的是运用MATLAB来创建倒立摆模型，并进行分析以达到实现最优控制的目的。1.2 倒立摆系统的研究现状倒立摆的研究起始于20世纪50年代，由麻省理工学院 (Mrr) 的控制理论专家根据火箭发射助推器的原理设计出一级倒立摆实验设备，接着研究人员又参照双足机器人的步行控制问题研制了二级倒立摆，后来又在二级倒立摆上继续铰接一级或二级摆，提出了对三级以及四级倒立摆的控制研究，迸一步提高了检验控制理论或方法的能力，拓宽了控制理论和控制方法的检验范围。1966年 Schaefer 和 Cannon 应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。其后，倒立摆系统作为一个典型的不稳定、严重非线性的系统实例，提出了倒立摆的概念理论，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国众多科学家的重视。倒立摆系统以其自身的不稳定性为系统的平衡提出了难题，也因此成为自动控制理论实验中验证控制算法优劣及好坏的实验装置。在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，倒立摆可为此提供一个控制理论通往实践的桥梁。1.3 倒立摆系统的控制1.3.1倒立摆系统的控制目标倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。1.3.2倒立摆系统的控制特点如图1.1所示，为直线一级小车倒立摆的系统模型，单摆摆杆的一端通过铰链与小车连接，另外一端可以在小车运动平面上自由运动。一般而言，对倒立摆的控制目的就是通过控制力F的作用下，使小车左右运动，从而带动单摆的摆动，将单摆控制在倒立点附近。在这种小车单摆系统中，摆杆的平衡位置有两个，一个是自然下垂位置，另外一个就是竖直向上倒立的位置。单摆的倒立点是其重力势能最大的点，而系统稳定的充要条件是势能为极小值。因而倒立点是一个不稳定的平衡位置，摆杆一旦偏离倒立点，即使是很小的角度，也会导致整个系统失去平衡。图1.1Fig. 1.11.3.3 倒立摆系统的控制方法倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力F平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。第二章 一级倒立摆系统的模型建立方法2.1 牛顿力学法倒立摆的建模是我本科毕设中的一项，而牛顿力学法又是众建模方法的典型代表，故以牛顿力学法对系统进行模型的建立。1、变量设定及参数测量考虑到在数学建模的推导和处理问题的方便性，现作出如下假设：（1）小车在运动过程中，摩擦系数一定；（2）忽略空气阻力；（3）摆杆在运动中是不变形的刚体；（4）齿型带与轮之间无相对滑动，齿型带无拉长现象；基于以上几点，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统(图2.1)，并将倒立摆的数学模型分解为小车的受力分析模型（图2.2）和摆杆的受力分析模型（图2.3）。图2.1Fig. 2.1 图2.2 图2.3 Fig. 2.2 Fig. 2.3图2.1和图2.2中，本实验中定义如下变量：N 小车与摆杆相互作用力的水平方向分量P 小车与摆杆相互作用力的垂直方向分量x 小车位置F 加在小车上的力 M 小车质量 （0.5 Kg）m 摆杆质量 （0.2 Kg）b 小车摩擦系数 （0.1 N/m/sec）l 摆杆转动轴心到杆质心的长度（0.3 m）I 摆杆惯量 （0.006 kg*m*m） 摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图，图示方向为矢量正方向。2、基于牛顿力学的系统建模应用牛顿力学方法来建立系统的动力学方程过程如下：分别对小车和摆杆进行水平和竖直的受力分析：分析小车水平方向所受的合力，可以得到如下方程： （2.1）分析摆杆水平方向所受的合力，可以得到如下方程： 即 （2.2）把这个等式代入小车水平方向受力方程中（即式2代入式1中），就得到系统的第一个运动方程： （2.3）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行受力分析，可以得到如下方程：即 （2.4）由力矩平衡方程得如下方程： （2.5）注意：此方程中力矩的方向，由于 ，故等式前面应有负号。合并这两个方程(式4和式5)，约去和，可得到第二个运动方程： (2.6)假设（其中是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与单位是弧度1相比很小，即，则可以进行近似处理：，。用来代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下： （2.7）对方程组2.7进行拉普拉斯变换，得到： （2.8）假设初始条件为0时，则有：摆杆角度和小车位移之间的传递函数为： （2.9）将摆杆质量m=0.2 Kg, 摆杆转动轴心到杆质心的长度l=0.3 m, 摆杆惯量I=0.006 kg*m*m，重力加速度g=9.8 N/Kg代入式2.9得： （2.10） 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： （2.11）将摆杆质量m=0.2 Kg, 摆杆转动轴心到杆质心的长度l=0.3 m, 摆杆惯量I=0.006 kg*m*m，重力加速度g=9.8 N/Kg代入式2.11得： （2.12）摆杆角度和小车所受外界作用力之间的传递函数： （2.13）又有 （2.14）将摆杆质量m=0.2 Kg, 摆杆转动轴心到杆质心的长度l=0.3 m, 摆杆惯量I=0.006 kg*m*m，小车质量M=0.5 Kg代入2.14得：q=0.0132。将摆杆质量m=0.2 Kg, 摆杆转动轴心到杆质心的长度l=0.3 m, 摆杆惯量I=0.006 kg*m*m，小车质量M=0.5 Kg，重力加速度g=9.8 N/Kg，小车摩擦系数b=0.1 N/m/sec代入式2.13得： (2.15)由式2.7可得到以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为： （2.16）将摆杆质量m=0.2 Kg, 摆杆转动轴心到杆质心的长度l=0.3 m, 摆杆惯量I=0.006 kg*m*m，小车质量M=0.5 Kg，重力加速度g=9.8 N/Kg，小车摩擦系数b=0.1 N/m/sec代入式2.16得： （2.17）由式2.7第一个式子可以得到以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式： （2.18）其中为小车加速度。将摆杆转动轴心到杆质心的长度l=0.3 m，重力加速度g=9.8 N/Kg，代入式2.18得： （2.19）3、系统能控性和能观性的分析（1）条件阐述然后，对系统的能控性和能观性进行分析判断：对于连续时间系统： 系统状态完全可控的条件为： 的秩为n系统状态完全可观的条件为： 的秩为n应用以上原理对输入为加速度、输出为摆杆与竖直方向的角度的夹角时的系统进行可控性和可观性的分析：状态空间表达式参数A、B、C、D分别为： （2）可控性分析： 代入Sc 秩为4等于n，所以系统完全可控。（3）可观性分析： 代入So秩为4等于n，所以系统完全可观。研究表明：倒立摆系统是一个不稳定的能控能观系统，可加外控制器实现系统的稳定。第三章 最优控制方案及控制器设计如果系统是线性的，性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数，这样的最优控制称之为线性二次型最优控制。该方法针对状态方程通过确定最佳控制量的矩阵K，使得控制性能指标 达到极小。式中x是状态向量，u是控制向量，Q是正定或半正定矩阵，R是正定矩阵，Q和R分别表示了误差和能量损耗的相对重要性。针对倒立摆系统的平衡问题，可引入全状态反馈，如图2.4所示，找出满足系统性能要求的反馈增益矩阵K，使在其作用下将系统由初始状态驱动到零平衡状态。图2.4 图2.5Fig. 2.4 Fig. 2.5图中R是加在小车上的阶跃输入。这里四维对角矩阵Q中的各个元素(q11, q22, q33, q44)分别代表小车位移和速度、摆角和摆速的误差指标的相对重要性。取R=1，Q取半正定矩阵(q22=0,q44=0),只需整定Q的两个元素q11和q33，分析系统闭环输出响应曲线，就能寻求最优控制器对应的反馈增益矩阵K。当q11=5000，q33=100时，系统的输出曲线如图2.5所示，显然响应曲线已经非常理想，此时K=-70.7107 -40.6531 125.7702 24.3770就是所设计的最优控制器的增益。第四章、总结与展望本文完成了对一级倒立摆的建模及应用Matlab的仿真控制，并对小车倒立摆系统的最优控制方案设计做了简单的研究，通过引入牛顿定律等概念建立小车单摆系统的系统模型，并通过自动控制理论的方法对系统进行了简单的分析，设计了最优控制器，实现了系统的最优控制。参考文献1郭钊侠 倒立摆系统及其智能控制研究 东华大学学报，2003，29(2)：122-1252徐国林,杨世勇 单级倒立摆系统的仿真研究 四川大学学报，2007.05：38-40 3陈在平，杜太行 控制系统计算机仿真与CADM