立几一平行与垂直

立几专题一 平行与垂直问题一、复习目标（1）熟练掌握平行与垂直的有关概念及基本定理；（2）灵活运用基本定理（或向量方法）解决平行与垂直的有关问题；（3）培养空间想象能力及向量的代数推理能力。二、考题聚焦1（03北京）已知是平面，是直线。下列命题不正确的是：（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则2（98北京）在正方体中，是异面直线的公垂线，则和的关系是（ ）PBAQCDA相交垂直 B相交但不垂直 C异面垂直 D互相平行3（2000天津）如图，已知矩形中，若，若点在边上，要使，则的取值范围是三、例题探究B1EFBACA1DC1D1例1 在正方体中，分别是的中点，试问在棱上能否找到一点，使？若能，确定点的位置；若不能，说明理由。NPMDCBA例2已知P是正方形平面外一点，分别为和上的点，且。求证：直线。BAFCDGEHR例3如图所示的几何体中，底面是边长为6的正方形，是以为顶点的等腰直角的三角形，且垂直于底面。若边上的中点，上的两个三等分。求证：。并求二面角的大小。 四、小结反思垂直和平行是立体几何中的两个基本问题。线面、面面之间的平行与垂直关系往往化归为线线之间的平行与垂直关系加以解决。同时对两条直线平行与垂直也可接借助于向量的数量积等于零及共面向量的途径加以处理。冲刺强化训练（1）班级 姓名 学号 成绩 日期 月 日1已知直线及平面，其中，那么在平面内到直线距离相等的点的集合可能是一条直线；一个平面；一个点；空集。其中正确的可能是（ ）A B C D AD1MBPPPC1NBPPPA1B1BCD2 在正方体中，棱长为，分别为和上的点，则与平面的位置关系是（ ）A平行 B相交但不垂直C垂直 D不能确定CBC1B1EDA1A3在正方体中，点P在侧面及边界上运动，并且保持，则动点的轨迹是（ ）A线段 B线段 C的中点与的中点连成的线段D的中点与的中点连成的线段 4如图所示，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角的三角形，D是的中点，点E在棱上，要使，则A5在空间四边形中，和对角线的中点，则与的位置关系是 6在正三棱柱中，是互相垂直的异面直线，则此正棱柱的体积为 7在正三棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，的重心，上的点，且APPPPBBPPPGBPPPEGBPPPFEGBPPPCBPPP（1）求证：；（2）求证：。 PBBPPPAPBBPPPBAPBBPPPMBAPBBPPPCDAPBBPPP8 如图所示，在四棱锥中在四边形中，点。求证：。 立几专题一 平行与垂直问题参考答案考题聚焦1B 2D 3a| 例题探究例1：解法一 作法：B作BG交于G； 过G作GM / AD交于M；连BM，则BM即为所求作 证明： 连BD 正方体ABCD-中，E,F为AB和BC的中点 ，又面ABCD EFBM又GM / AD 面 而 又 面解法二 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则, 设M，于是, 恒成立，要使BM平面，只需,即,而故当M是的中点时，BM。例2：证法一 证明：在面AC中，过N作BC的平行线交AB于Q，则NQ / BC,连结MQ. 在面AC中，在面APB中， MQ / PB又 NQ / BC, 面MNQ / 面PBC直线MN面MNQ MN / 面PBC证法二证明： 在BC上取一点E，使，MN/PE，MN/平面PBC。例3：解法一解：过E作于M,连MR交AC于O,连FO. 面EAD面ABCD EM面ABCD 又为等腰三角形 AM=MD O为正方形ABCD的中心，且MR面EAD 而EF面EAD EF / MR , EF=MO=3四边形EMOF为平行四边形 FO / EM FO面ABCD 又OB=OC FB=FC在直角梯形ABFE中：EF=3, AB=6, AE=FB=FC 在中：BH= ,BR=3, BHRH 即RHFB 连CG CG / RH CGFB 又 , FO面ABCD FBAC 而ACCG=C FB面ACG FBAG 由证明过程得：在直角三角形中： 又中： =120又为二面角A-FB-C的平面角 二面角A-FB-C的大小为120解法二解：设AD的中点为O，以O为原点，OA为x轴，OR为y轴，OE为z轴建立空间直角坐标系，据题设，F（0，3，3），B（3，6，0），A（3，0，0），R（0，6，0）。设则由， ，于是，从而所成的角即为二面角AFBC的大小。设为，则为120，故二面角AFBC的大小为120强化训练1B 2A 3A 4 5垂直 6 7解法一（1） 证明：延长PG交AB于D，过D作DM于M。由G是三角形APB的重心 D是AB中点。又APPB DM / AP M是PB的中点 GF / DM GFPB又CPPA, CPPB CP面APB CPGF又PB交CP于P GF面PBC又GF面GEF 面GEF面PBC(2) 解：P-ABC是正三棱锥 PC=PB= aBC=a BE= , BF= EFBC,又GF面PBC GE BC过G点作GH / AB 交PB于H, 连EH: EH / Pc EH面APB又PGAB GH EGPGEG是PG和BC的公垂线。解法二证明：（1）将正三棱锥如图放置在坐标系中，使点为坐标原点，并假定,则,.由于平面，平面，于是平面平面。（2） 是和的公垂线。8解法一证：过M作MN / AB 交AP 于N, 连ND在三角形PAB中： MN / AB AB=4 MN=1在四边形ABCD中 CD / AB, 又 MN / ABMN / CD, 又