第一学期高三数学第一轮测试新课标人教VIP

用心 爱心 专心 122 号编辑 1 2006 20072006 2007 学年度第一学期高三数学第一轮复习专题测试学年度第一学期高三数学第一轮复习专题测试 http www DearEDU comhttp www DearEDU com 1 集合与函数 2 数列 3 三角函数 4 平面向量 5 不等式 1 集合与函数 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 设集合 则满足的集合 B 的个数是 1 2 A 1 2 3 AB A 1 B 3 C 4 D 8 2 已知集合M x N y y 3x2 1 x R 则M N 0 1 3 x x A B x x 1 C x x 1 D x x 1 或x 0 3 有限集合中元素个数记作 card 设 都为有限集合 给出下列命题 S SAB 的充要条件是 card card card BA BA A B 的必要条件是 cardcard BA A B 的充分条件是 cardcard BA A B 的充要条件是 cardcard BA A B 其中真命题的序号是 A B C D 4 已知集合M x x 3 N x log2x 1 则M N A B x 0 x 3 C x 1 x 3 D x 2 x 3 5 函数的反函数是 2 log 1 1 x yx x A B 2 0 21 x x yx 2 0 21 x x yx C D 21 0 2 x x yx 21 0 2 x x yx 6 函数的定义域是 13lg 1 3 2 x x x xf A B C D 3 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 用心 爱心 专心 122 号编辑 2 7 下列函数中 在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A B Rxxy 3 Rxxy sin C D Rxxy Rx x y 2 1 8 函数的反函数的图象与y轴交于点 xfy 1 xfy 如图 2 所示 则方程的根是 2 0 P0 xf x A 4 B 3 C 2 D 1 9 已知函数若 2 24 03 f xaxaxa 则 1212 1 xx xxa A B 12 f xf x 12 f xf x C D 与的大小不能确定 12 f xf x 1 f x 2 f x 10 为确保信息安全 信息需加密传输 发送方由明文密文 加密 接收方由密文明 文 解密 已知加密规则为 明文对应密文例如 a b c d2 2 23 4 abbccdd 明文对应密文当接收方收到密文时 则解密得到的明文为1 2 3 45 7 18 16 14 9 23 28 A B C D 7 6 1 46 4 1 74 6 1 71 6 4 7 11 如图所示 单位圆中弧 AB 的长为x f x 表示弧 AB 与弦 AB 所 围成的弓形面积的 2 倍 则函数y f x 的图象是 12 关于的方程 给出下列四个命题 x 011 2 2 2 kxx 存在实数 使得方程恰有 2 个不同的实根 k 存在实数 使得方程恰有 4 个不同的实根 k 存在实数 使得方程恰有 5 个不同的实根 k 存在实数 使得方程恰有 8 个不同的实根 k 其中假命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 13 函数对于任意实数满足条件 若则 f xx 1 2f x f x 15 f 5ff 用心 爱心 专心 122 号编辑 3 14 设f x log3 x 6 的反函数为f 1 x 若 f 1 m 6 f 1 n 6 27 则f m n 15 设则 0 0 x ex g x lnx x 1 2 g g 16 设 则的定义域为 x x xf 2 2 lg x f x f 2 2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知函数满足且对于任意 恒有bxaxxflg 2 lg 2 2 1 fRx 成立 xxf2 1 求实数的值 ba 2 解不等式 5 xxf 18 本小题满分 12 分 20 个下岗职工开了 50 亩荒地 这些地可以种蔬菜 棉花 水稻 如果种这些农作物 每亩地所需的劳力和预计的产值如下 每亩需劳力每亩预计产值 蔬 菜 2 1 1100 元 棉 花 3 1 750 元 水 稻 4 1 600 元 问怎样安排 才能使每亩地都种上作物 所有职工都有工作 而且农作物的预计总产 值达到最高 19 本小题满分 12 分 已知函数 1 2 Rxbabxaxxf 为实数 0 0 xxf xxf xF 1 若且函数的值域为 求的表达式 0 1 f x f 0 xF 2 在 1 的条件下 当时 是单调函数 求实数k的取 2 2 xkxxfxg 值范围 3 设 且为偶函数 判断 能否大于零 0 nm 0 nm0 a xf mF nF 用心 爱心 专心 122 号编辑 4 20 满分 12 分 已知定义域为 R 的函数f x 满足f f x x2 y f x x2 x 1 若f 2 3 求f 1 又若f 0 a 求f a 2 设有且仅有一个实数x0 使得f x0 x0 求函数f x 的解析表达式 21 本小题满分 12 分 设函数 54 2 xxxf 1 在区间上画出函数的图像 6 2 xf 2 设集合 试判断集合和 6 4 0 2 5 BxfxAAB 之间的关系 并给出证明 3 当时 求证 在区间上 的图像位于函数图像的2 k 5 1 3ykxk xf 上方 22 本小题满分 14 分 设a为实数 记函数的最大值为 g a xxxaxf 111 2 1 设t 求t的取值范围 并把f x 表示为t的函数m t xx 11 2 求 g a 2 试求满足的所有实数a 1 a gag 用心 爱心 专心 122 号编辑 5 参考答案参考答案 1 C 则集合B中必含有元素 3 即此题可转化为求集合 1 2 A 1 2 3 AB 的子集 1 2 A 个数问题 所以满足题目条件的集合B共有个 故选择答案 C 2 24 2 C M x x 1 或x 0 N y y 1 故选 C 3 B 选由card card card card知card card BA A B AB BA A cardcard 0 由的定义知cardcard B AB BA BA A B 4 D 用数轴表示可得答案D 2 log12Nxxx x 5 A 即 2 log 1 x y x 2 1 y x x 2 21 x x y 即1x 1 11 11 x xx 2 log0 1 x y x 函数的反函数为 2 log 1 1 x yx x 2 0 21 x x yx 6 B 由 故选B 1 3 1 013 01 x x x 7 B 在其定义域内是奇函数但不是减函数 C在其定义域内既是奇函数又是增函数 D在其定 义域内不是奇 函数 是减函数 故选 A 8 C 利用互为反函数的图象关于直线y x对称 得点 2 0 在原函数的图象上 xfy 即 0 2 f 所以根为x 2 故选C 9 B 取特值 选B 或二次函数其函数值的大小关系 分类 22 2 2 1 21 ffxxa 研究对 成轴和区间的关系的方法 易知函数的对成轴为 开口向上的抛物线 由 1 x 12 xx x1 x2 0 需 分类研究和对成轴的关系 用单调性和离对成轴的远近作判断 故选B 12 xx 10 B 理解明文密文 加密 密文明文 解密 为一种变换或为一种对应关系 构建 方程组求解 依提意用明文表示密文的变换公式为 于是密文 14 9 23 28 dm dcz cby bax 4 32 2 2 满足 即有 选B 6 4 1 7 428 3223 29 214 a b c d d dc cb ba 11 D 当x 时 阴影部分面积为个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积 故此 2 1 4 时 即点 在直线y x的下方 故应在C D中选 而当 12 2 24222 f 2 22 用心 爱心 专心 122 号编辑 6 x 时 阴影部分面积为个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积 即 3 2 3 4 即点 在直线y x的上方 故选D 32 2 2 22 f 3 2 3 2 2 12 B 本题考查换元法及方程根的讨论 要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力 据题意可令 则方程化为 作出函数的图 2 1xt 0 t 2 0ttk 2 1yx 象 结合函数的图象可知 1 当t 0 或t 1 时方程 有 2 个不等的根 2 当 0 t 1 时方程 有 4 个根 3 当t 1 时 方程 有 3 个根 故当t 0 时 代入方程 解得 k 0 此时方程 有两个不等根t 0 或t 1 故此时原方程 有 5 个根 当方程 有两个不等正根时 即此时方程 有两根且均小于 1 大于 0 1 0 4 k 故相应的满足方程的解有 8 个 即原方程的解有 8 个 当时 方程 有两个 2 1xt 1 4 k 相等正根t 相应的原方程的解有 4 个 故选B 1 2 13 由得 所以 则 1 2f x f x 1 4 2 f xf x f x 5 1 5ff 11 5 5 1 12 5 ffff f 14 f 1 x 3x 6 故 f 1 m 6 f 1 x 6 3m 3n 3m n 27 m n 3 f m n log3 3 6 2 15 1 ln2 111 ln 222 g gge 16 由得 的定义域为 故 解得 2 0 2 x x f x22x 22 2 2 22 x x 4 11 4x 故的定义域为 x f x f 2 2 4 11 4 17 1 由知 又恒成立 2 1 f 01lglg ab 10 b a xxf2 有恒成立 故 0lglg 2 baxx0lg4 lg 2 ba 将 式代入上式得 即故 01lg2 lg 2 ba 0 1 lg 2 b1blg 即 代入 得 10 b100 a 2 即 14 2 xxxf 5 xxf 514 2 xxx 043 2 xx 解得 不等式的解集为 14 x 14 xx 18 设种蔬菜 棉花 水稻分别为x亩 y亩 z 亩 总产值为 u 依题意得x y z 50 则 u 1100 x 750y 600z 43500 50 x 20 4 1 3 1 2 1 zyx x0 y 90 3x0 z wx 400 得 20 x30 当x 30 时 u 取得大值 43500 此时 y 0 z 20 安排 15 个职工种 30 亩蔬菜 5 个职工种 20 亩水稻 可使产值高达 45000 元 19 1 又恒成立 0 1 f 01ba 0 xfRx 用心 爱心 专心 122 号编辑 7 04 0 2 ab a 0 1 4 2 bb1a 2b 22 1 12 xxxxf 0 1 0 1 2 2 xx xx xF 2 则1 2 12 22 xkxkxxxkxxfxg 4 2 1 2 2 2 2 kk x 当或时 即或时 是单调函数 2 2 2k 2 2 2k 6k 2k x g 3 是偶函数 xf 1 2 axxf 0 1 0 1 2 2 xax xax xF 设则 又 0nm nm 0n 0 0 nmnm n m mF nF 能大于零 0 1 1 2222 nmaanamnfmf m F n F 20 1 因为对任意x R 有f f x x2 x f x x2 x 所以f f 2 22 2 f 2 22 2 又由f 2 3 得f 3 22 2 3 22 2 即f 1 1 若f 0 a 则f a 02 0 a 02 0 即f a A 2 因为对任意x R 有f f x x2 x f x x2 x 又因为有且只有一个实数x0 使得f x0 x0 所以对任意x R 有f x x2 x x0 在上式中令x x0 有f x0 x x0 x0 又因为f x0 x0 所以x0 2 0 x 0 故x0 0 或x0 1 2 0 若x0 0 则f x x2 x 0 即f x x2 x 但方程x2 x x有两上不同实根 与题设条件矛质 故x2 0 若x2 1 则有f x x2 x 1 即f x x2 x 1 易验证该函数满 足题设条件 综上 所求函数为f x x2 x 1 xR 21 1 2 方程的解分别是和5 xf 4 0 142 142 由于在和上单调递减 xf 1 5 2 在和上单调递增 因此 2 1 5 142 4 0 142 A 由于 AB 2142 6142 3 解法一 当时 5 1 x54 2 xxxf 用心 爱心 专心 122 号编辑 8 54 3 2 xxxkxg 53 4 2 kxkx 4 3620 2 4 2 2 kkk x 又 2k 1 2 4 k 51 x 当 即时 取 1 2 4 1 k 62 k 2 4k x min xg 6410 4 1 4 3620 2 2 k kk 则 064 10 64 10 16 22 kk 0 min xg 当 即时 取 1 2 4 k 6 k1 x min xg02 k 由 可知 当时 2 k0 xg 5 1 x 因此 在区间上 的图像位于函数图像的上方 5 1 3 xky xf 解法二 当时 5 1 x54 2 xxxf 由 得 54 3 2 xxy xky 0 53 4 2 kxkx 令 解得 或 0 53 4 4 2 kk2 k18 k 在区间上 当时 的图像与函数的图像只交于一点 5 1 2 k 3 2 xy xf 8 1 当时 的图像与函数的图像没有交点 18 k 3 18 xy xf 如图可知 由于直线过点 当时 直线是由直线 3 xky 0 3 2 k 3 xky 绕点逆时针方向旋转得到 因此 在区间上 3 2 xy 0 3 5 1 的图像 3 xky 位于函数图像的上方 xf 22 1 要使 有意义 必须且 即xxt 11t01 x01 x11 x 且 的取值范围是 4 2 122 22 xt0 tt 2 2 由 得 1 2 1 1 22 txttatm 1 2 1 2 atat 2 2 1 2 2 t 2 由题意知即为函数 的最大值 ag tm atat 2 2 1 2 2 t 用心 爱心 专心 122 号编辑 9 直线是抛物线的对称轴 可分以下几种情况进行讨 a t 1 tmatat 2 2 1 论 1 当时 函数 的图象是开口向上的抛物线的一段 0 a tmy 2 2 t 由知在上单调递增 故 0 1 a t tm 2 2 t ag 2 m 2 a 2 当时 有 2 0 attm 2 2 t ag 3 当时 函数 的图象是开口向下的抛物线的一段 0 a tmy 2 2 t 若即时 a t 1 2 0 2 2 a ag2 2 m 若即时 a t 1 2 2 2 1 2 2 a ag a a a m 2 1 1 若即时 a t 1 2 0 2 1 a ag 2 m 2 a 综上所述 有 ag 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 a a a a aa 3 当时 2 1 a ag2 a2 2 3 当时 2 1 2 2 a 2 2 2 1 a 1 2 2 2 1 aa a 2 1 故当时 ag 2 2 1 2 2 1 a a a a 2 2 a ag2 当时 由知 故 0 a0 1 a ag 1 a g 2 a2 1 a 1 a 当时 故或 从而有或 0 a1 1 a a1 a1 1 a 2 ag2 1 a g 要使 必须有 即 ag 1 a g 2 2 a 2 21 a2 2 2 a 此时 2 ag 1 a g 综上所述 满足的所有实数a为 或 1 a gag 2 2 2 a1 a 2 数列 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 用心 爱心 专心 122 号编辑 10 1 若互不相等的实数 成等差数列 成等比数列 且 abccab103 cba 则 a A 4 B 2 C 2 D 4 2 已知等差数列共有 10 项 其中奇数项之和 15 偶数项之和为 30 则其公差是 A 5 B 4 C 3 D 2 3 在等差数列中 已知则等于 n a 123 2 13 aaa 456 aaa A 40 B 42 C 43 D 45 4 在等差数列 an 中 若aa ab 12 SN是数列 an 的前n项和 则SN的值为 A 48 B 54 C 60 D 66 5 设Sn是等差数列 an 的前n项和 若 则 S 3 S 6 1 3 S 6 S 12 A B C D 3 10 1 3 1 8 1 9 6 设是公差为正数的等差数列 若 则 n a 123 15aaa 123 80a a a 111213 aaa A B C D 1201059075 7 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 若 且A B C三点共线OCaOAaOB 2001 该直线不过原点 O 则 S200 A 100 B 101 C 200 D 201 8 在等比数列中 前项和为 若数列也是等比数列 则等于 n a 1 2a n n S 1 n a n S A B C D 1 22 n 3n2n31 n 9 设 则等于 4710310 22222 n f nnN f n A B C D 2 81 7 n 1 2 81 7 n 3 2 81 7 n 4 2 81 7 n 10 弹子跳棋共有 60 棵大小相同的球形弹子 现在棋盘上将它叠成正四面体球垛 使剩下的 弹子尽可能的少 那么剩下的弹子有 A 3 B 4 C 8 D 9 11 设数列的前 n 项和为 令 称为数列 n a n S 12n n SSS T n n T 1 a 2 a 的 理想数 已知数列 的 理想数 为 2004 那么数列 2 n a 1 a 2 a 500 a 的 理想数 为 1 a 2 a 500 a A 2002 B 2004 C 2006 D 2008 12 一给定函数的图象在下列图中 并且对任意 由关系式 xfy 1 0 1 a 得到的数列满足 则该函数的图象是 1nn afa n a 1 Nnaa nn 用心 爱心 专心 122 号编辑 11 A B C D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 13 数列 an 中 若a1 1 an 1 2an 3 n 1 则该数列的通项an 14 11 10 11 3 11 2 11 1 24 4 ffffxf x x 则设 15 在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间 某 商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准 正 三棱锥 形的展品 其中第一堆只有一层 就一个乒乓球 第 2 3 4 堆最底层 第 一层 分别按图 4 所示方式固定摆放 从第一 层开始 每层的小球自然垒放在下一层之上 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球 以表示第 n 堆的乒乓球总数 则 nf 答案用 n 表示 3 f nf 16 已知整数对排列如下 4 2 5 1 1 4 2 3 3 2 4 1 1 3 2 23 1 1 2 2 1 1 1 则第 60 个整数对是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 数列 an 的前n项和记为Sn 11 1 211 nn aaSn 1 求 an 的通项公式 2 等差数列 bn 的各项为正 其前n项和为Tn 且 又成等 3 15T 112233 ab ab ab 比数列 求Tn 18 本小题满分 12 分 设数列 满足 n a n b n c n 1 2 3 2 nnn aab 21 32 nnnn aaac 证明 为等差数列的充分必要条件是为等差数列且 n 1 2 3 n a n c 1 nn bb 19 本小题满分 12 分 已知数列 其中是首项为 1 公差为 1 的等差数列 3021 aaa 1021 aaa 是公差为的等差数列 是公差为的等差数列 201110 aaa d 302120 aaa 2 d 0 d 1 若 求 40 20 ad 2 试写出关于的关系式 并求的取值范围 30 ad 30 a 用心 爱心 专心 122 号编辑 12 3 续写已知数列 使得是公差为的等差数列 依次类推 把 403130 aaa 3 d 已知数列推广为无穷数列 提出同 2 类似的问题 2 应当作为特例 并进行 研究 你能得到什么样的结论 20 本小题满分 12 分 某市去年 11 份曾发生流感 据统计 11 月 1 日该市新的流感病毒感染者有 20 人 此后 每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加 50 人 由于该市医疗部门采取措施 使该种病毒的传播得到控制 从某天起 每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少 30 人 到 11 月 30 日止 该市在这 30 日内感染该病毒的患者总共 8670 人 问 11 月几日 该市感染此病毒的新患者人数最多 并求这一天的新患者人数 21 本小题满分 12 分 等差数列中 公差是自然数 等比数列中 n a 1 2a d n b 1122 ba ba 试找出一个的值 使的所有项都是中的项 再找出一个的值 使 d n b n ad n b 的项不都是中的项 不必证明 n a 判断时 是否所有的项都是中的项 并证明你的结论 4d n b n a 探索当且仅当取怎样的自然数时 的所有项都是中的项 并说明理由 d n b n a 22 本小题满分 14 分 已知数列 中 n 2 n a 1 1 2 n n a a Nn 1 若 数列满足 求证数列 是等差数列 5 3 1 a n b 1 1 n n a b Nn n b 2 若 求数列 中的最大项与最小项 并说明理由 5 3 1 a n a 3 理做文不做 若 试证明 21 1 a21 1 nn aa 参考答案 2 1 D 依题意有 2 2 310 acb bca abc 4 2 8 a b c 用心 爱心 专心 122 号编辑 13 2 C 故选 C 3 30255 15205 1 1 d da da 3 B 等差数列中 公差 n a 1 2a 23 13aa 3d 42 4561 3345aaaaddd 1 312ad 4 B 因为 所以 54 故选 B 4619 12aaaa 19 9 9 2 aa S 5 A 由等差数列的求和公式可得且 31 1 61 331 2 6153 Sad ad Sad 可得0d 所以 故选 A 61 121 615273 12669010 Sadd Sadd 6 B 12322 153155aaaaa 123222 8080a a aad aad 将2 5a 代入 得 3d 从而 111213122 33103530105aaaaad 选 B 7 A 依题意 a1 a200 1 故选 A 8 C 因数列为等比 则 因数列也是等比数列 则 n a 1 2 n n aq 1 n a 22 12112221 2 1 1 1 22 12 01 nnnnnnnnnnnn n aaaaaa aaaaaa aqqq 即 所以 故选择答案 C 2 n a 2 n Sn 9 D f n 选 D 3 1 4 3 2 12 2 81 127 n n 10 B 正四面体的特征和题设构造过程 第 k 层为 k 个连续自然数的和 化简通项再裂项 用公式求和 依题设第 k 层正四面体为则前 k 层共有 kkkk k 22 1 321 2 k 最大为 6 剩 4 选 B 60 6 21 21 2 1 21 2 1 222 kkk kkL 11 A 认识信息 理解理想数的意义有 选 A 2002 501 4984995002501 500 498499500 2004 500321500321 aaaaaaaa 12 A 函数认识数列 则函数在上为凸函数 选 xyNnaafa nnn 1 1 0 A 13 由 即 2 所以数列 3 是以 3 为 11 2332 3 nnnn aaaa 1 3 3 n n a a n a 1 a 首项 以 2 为公比的等比数列 故 3 3 3 n a 1 a 1 2n n a 1 2n 14 由 整体求和所求值为 5 11 xfxf 15 2 1 1 11211 nn aaaaaanaa nnnnn 的规律由 所以 nf 2 2 1 1 n nn anfnf n 用心 爱心 专心 122 号编辑 14 2 2 1 2 23 2 3 2 22 1 2 1 1 2 2 2 n nfnf ff ff f 所以 321 321 2 1 222 nnnf 6 2 1 2 1 6 12 1 2 1 nnnnnnnn 16 观察整数对的特点 整数对和为 2 的 1 个 和为 3 的 2 个 和为 4 的 3 个 和为 5 的 4 个 和n为的 n 1 个 于是 借助估算 取 n 10 则第 55 个整数对为 2 1 321 nn n 1 11 注意横 坐标递增 纵坐标递减的特点 第 60 个整数对为 7 5 17 1 由可得 两式相减得 1 21 nn aS 1 212 nn aSn 11 2 32 nnnnn aaa aan 又 故 an 是首项为 1 公比为 3 得等比数列 21 213aS 21 3aa 1 3n n a 2 设 bn 的公差为d 由得 可得 可得 3 15T 123 15bbb 2 5b 故可设 13 5 5bd bd 又由题意可得解得 123 1 3 9aaa 2 51 5953dd 12 2 10dd 等差数列 bn 的各项为正 0d 2d 2 1 322 2 n n n Tnnn 18 必要性 设数列是公差为的等差数列 则 1 n a 1 d 0 311nnnn aabb 2 nn aa 1nn aa 23 nn aa 1 d 1 d n 1 2 3 成立 1 nn bb 又 6 常数 2 11 nnnn aacc 12 nn aa 3 23 nn aa 1 d n 1 2 3 数列为等差数列 n c 充分性 设数列是公差为的等差数列 且 n 1 2 3 2 n c 2 d 1 nn bb 21 32 nnnn aaac 4322 32 nnnn aaac 得 22 nnnn aacc 2 31 nn aa 3 42 nn aa 21 32 nnn bbb 12nnnn cccc 221 2 dcc nn 从而有 21 32 nnn bbb 2 2d 321 32 nnn bbb 2 2d 得 0 3 2 23121 nnnnnn bbbbbb 0 1 nn bb0 12 nn bb0 23 nn bb 由 得 n 1 2 3 0 1 nn bb 用心 爱心 专心 122 号编辑 15 由此 不妨设 n 1 2 3 则 常数 3 dbn 2 nn aa 3 d 故 3121 32432daaaaac nnnnnn 从而 3211 324daac nnn 31 524daa nn 得 311 2 2daacc nnnn 故 常数 n 1 2 3 311 2 1 dccaa nnnn 32 2 1 dd 数列为等差数列 n a 综上所述 为等差数列的充分必要条件是为等差数列且 n a n c n 1 2 3 1 nn bb 19 1 3 401010 10 2010 ddaa 2 0 11010 22 2030 ddddaa 4 3 2 1 10 2 30 da 当时 0 0 d 30 7 5 a 3 所给数列可推广为无穷数列 其中是首项为 1 公差为 1 的等差数 n a 1021 aaa 列 当 时 数列是公差为的等差数列 1 n 1 1011010 nnn aaa n d 研究的问题可以是 试写出关于的关系式 并求的取值范围 1 10 n ad 1 10 n a 研究的结论可以是 由 323 3040 11010ddddaa 依次类推可得 1 1 10 1 1 1 10 110 1 1 10 dn d d d dda n n n 当时 的取值范围为等 0 d 1 10 n a 10 20 设第 n 天新患者人数最多 则从 n 1 天起该市医疗部门采取措施 于是 前 n 天流感病毒 感染者总人数 构成一个首项为 20 公差为 50 的等差数列的 n 项和 而后 30 n天的流感病毒感染者总人数 构 Nn nnn nn nSn 30152550 2 1 20 2 成一个首项为 公差为 30 项数为 30 n的等差数列的 60503050120 nn 和 依题设构建方程有 nn nn nnTn1485024456530 2 605030 605030 2 化简 nnnn TS nn 8670148502445655258670 22 或 舍 第 12 天的新的患者人数为 12058861 2 n nn49 n 20 12 1 50 570 人 故 11 月 12 日 该市感染此病毒的新患者人数最多 新患者人 数为 570 人 21 1 时 的项都是中的项 任一非负偶数均可 0d n a n b 时 的项不都是中的项 任一正奇数均可 1d n a n b 2 时 4d 422 21 n ann 用心 爱心 专心 122 号编辑 16 的项一定都是中的 1 2 3n n b 1 31 2 21 2 n m a 1 31 2 n m 为正整数 n b n a 项 3 当且仅当取 即非负偶数 时 的项都是中的项 d2 k k N n b n a 理由是 当时 时 2 dk k N2 1 22 1 1 n anknk 2n 其中 11122 11 2 1 2 CC1 nnnn nnn bkkkk 1122 11 CC nnn nn kkk 是的非负整数倍 设为 只要取即 为正整数 即可得kAk A N1mA m nm ba 即的项都是中的项 当时 不是整数 也不 n b n a21 dkk N 2 3 23 2 k b 可能 是的项 n a 22 1 而 1 1 1 11 1 11 21 n n nn n a b aa a 1 1 1 1 n n a b1 1 1 1 11 1 1 nn n nn aa a bb Nn 是首项为 公差为 1 的等差数列 n b 2 5 1 1 1 1 a b 2 依题意有 而 n n b a 1 1 5 31 1 2 5 nnbn 对于函数 在 x 3 5 时 y 0 在 5 3 1 1 n an 5 3 1 x y 0 5 3 1 2 x y 3 5 上为减函数 故当 n 4 时 取最大值 3 而函数在 x 3 5 5 3 1 1 n an 5 3 1 x y 时 y 0 在 3 5 上也为减函数 故当 n 3 时 取最小值 0 5 3 1 2 x y 1 3 a 3 先用数学归纳法证明 再证明 当时 成立 21 n a nn aa 1 1 n21 1 a 假设当时命题成立 即 当时 kn 21 k a1 kn 故当时也成立 1 1 2 1 k a 2 3 1 1 2 1 k k a a 21 1 k a1 kn 综合 有 命题对任意时成立 即 Nn21 n a 也可设 1 2 则 x xf 1 2 x0 1 2 x xf 用心 爱心 专心 122 号编辑 17 故 1 1 f2 2 3 2 1 fafa kk 下证 nn aa 1 0 1 22 1 2 1 k k k knn a a a aaa nn aa 1 3 三角函数 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 已知则等于 3 sin 25 tan 4 A B C D 1 7 7 1 7 7 用心 爱心 专心 122 号编辑 18 2 将函数的图象按向量平移 平移后的图象如图所示 则平sin 0 yx 0 6 a 移后的图象所对应函数的解析式是 A sin 6 yx B sin 6 yx C sin 2 3 yx D sin 2 3 yx 3 已知函数在区间上的最小值是 则的最小值等于 2sin 0 f xx 3 4 2 A B C 2 D 3 2 3 3 2 4 设 对于函数 下列结论正确的是 0a sin 0 sin xa f xx x A 有最大值而无最小值 B 有最小值而无最大值 C 有最大值且有最小值 D 既无最大值又无最小值 5 已知非零向量与满足且则为 AB AC 0 ABAC BC ABAC 1 2 ABAC ABAC ABC A 等边三角形 B 直角三角形 C 等腰非等边三角形 D 三边均不相等的三角形 6 下列函数中 图像的一部分如右图所示的是 A y sin x 6 p B y sin 2x 6 p C y cos 4x 3 p D y cos 2x 6 p 7 若 的内角满足 则 ABCA 3 2 2sin A sincosAA A B C D 3 15 3 15 3 5 3 5 8 ABC的三内角所对边的长分别为设向量 若 A B C a b c pac b qba ca 则角的大小为 pq C A B C D 6 3 2 2 3 9 函数的最小正周期是 sin2 cos2yxx 用心 爱心 专心 122 号编辑 19 A B C D 2 4 4 2 10 设a b c分别是 ABC 的三个内角ABC所对的边 则a2 b b c 是A 2B的 A 充要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 11 等式成立 是成等差数列 的 sin sin2 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 12 如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值 则 111 ABC 222 A B C A 和都是锐角三角形 111 ABC 222 A B C B 和都是钝角三角形 111 ABC 222 A B C C 是钝角三角形 是锐角三角形 111 ABC 222 A B C D 是锐角三角形 是钝角三角形 111 ABC 222 A B C 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 13 已知 sin 则 4 3 5 3 13 12 4 sin 4 cos 14 给出下面的 3 个命题 1 函数的最小正周期是 2 函数 3 2sin xy 2 在区间上单调递增 3 是函数的图 2 3 sin xy 2 3 4 5 x 2 5 2sin xy 象的一条对称轴 其中正确命题的序号是 15 的值为 cos43 cos77sin43 cos167 oooo 16 函数的图象如图所示 则 0 0 sin AxAxf 的值等于 2006321ffff 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 2006 年四川卷 已知是三角形三内角 向量 A B CABC 且 1 3 cos sinmnAA 1m n 1 求角 A 2 若 求 22 1 sin2 3 cossin B BB tan B 2 02 6x y 用心 爱心 专心 122 号编辑 20 18 本小题满分 12 分 2006 年上海春卷 已知函数 2 cos2 6 sin2 xxxxf 1 若 求函数的值 5 4 sin x xf 2 求函数的值域 xf 19 本小题满分 12 分 2006 年安徽卷 已知 310 tancot 43 求的值 tan 求的值 22 5sin8sincos11cos8 2222 2sin 2 20 本小题满分 12 分 有一块半径为 R 中心角为 45 的扇形铁皮材料 为了获取面积最大 的矩形铁皮 工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上 然后作其最大内接矩形 试问 工人师傅是怎样选择矩形的四点的 并求出最大面积值 21 本小题满分 12 分 设 函数的定义域为 且 2 0 xf 1 0 0 0 f 对定义域内任意的 满足 求 1 1 f x y sin1 sin 2 yfxf yx f 1 及的值 2 1 f 4 1 f 2 函数的单调递增区间 sin 2 g xx 3 时 求 并猜测时 的表达式 Nn 1 2 n n a n af x 1 0 xf 22 本小题满分 14 分 2006 年福建卷 已知函数 22 sin3sincos2cos f xxxxx xR 1 求函数的最小正周期和单调增区间 f x 2 函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到 f xsin2 yx xR 用心 爱心 专心 122 号编辑 21 参考答案 3 1 B 2 3 sin 5 4 cos 5 3 tan 4 3 1 tan1 4 tan 7 3 41tan 1 4 2 C 将函数的图象按向量平移 平移后的图象所对应的解sin 0 yx 0 6 a 析式为 由图象知 所以 因此选 C sin 6 yx 73 1262 2 3 B 的最小值是时 2sin 0 f xx 2 2 2 k xkZ ww 且 2 324 k ww 3 6 2 wk 82wk 故本题的答案为 B min 3 2 w 4 B 令 则函数的值域为函数sin 0 1 tx t sin 0 sin xa f xx x 的值域 又 所以是一个减函减 故选 B 1 0 1 a yt t 0a 1 0 1 a yt t 5 A 向量和三角形之间的依赖关系 认识角平分线和高及夹角用两向量数量积包装的意义 注意 知 角 A 的平分线和 BC 的高重合 则 由 0 ABAC BC ABAC A ACAB 知 夹角 A 为 600 则为等边三角形 选 A 2 1 AC AC AB AB ABC 6 D 由图像可知 所求函数的周期为排除 A C 对于 B 其图像不过 0 点 所以应选 D p 6 p 7 A sin22sincos0AAA cos0A sincos0AA 应sincosAA 2 sincos AA 12sincos1 sin2AAA 215 1 33 选 A 8 B 利用余弦定理可得 222 pqac cab babacab 即 故选择答案 B 2cos1C 1 cos 23 CC 9 D 所以最小正周期为 故选 D 1 sin2 cos2sin4 2 yxxx 2 42 T 10 A 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA 所以a2 b b c c2 bc 2bccosA中 c2 bc 2bccosA c c b bcosA 2Rc sinC sinB 2sinBcosA Rc sin A B sinB 2sinBcosA Rc sin A B sinB 因为A 2B 所以 0 即得a2 b b c 而 当由余弦定理和a2 b b c 得bc c2 2bccosA l 两边同时除以c后再用正弦定理代换得 用心 爱心 专心 122 号编辑 22 sinB sinC 2sinBcosA 又在三角形中C A B 所以 sinB sin A B 2sinBcosA 展 开整理得 sinB sin A B 所以B A B或A 舍去 即得A 2B 所以应选 A 11 B 若 则 成等差数列 不一定成立 反之必成立 选 B sinsin2 12 D 的三个内角的余弦值均大于 0 则是锐角三角形 若是锐 111 ABC 111 ABC 222 A B C 角三角形 由 得 那么 211 211 211 sincossin 2 sincossin 2 sincossin 2 AAA BBB CCC 21 21 21 2 2 2 AA BB CC 所以是钝角三角形 故选 D 222 2 ABC 222 A B C 13 由于 所以 故 56 65 3 4 3 2 2 24 4 cos 5 5 cos 413 cos cos 44 45123 513135 56 65 14 中是的对称中心 4 5 x 2 5 2sin xy 15 诱导公式变角 再逆用三角公式切入 1 2 cos43 cos77sin43 cos167 2 1 120cos77sin43sin77cos43cos 00000 16 由图象知 其图象关于点对2 4 sin2 4 2 0 x xf T 6 2 0 4 xx 称知 2006321 682502006 8 08321ffffTffff 2 4 6 sin 4 5 sin 4 4 sin 4 3 sin 4 2 sin 4 sin2 6543212006200320022001 ffffffffff 17 1 即1m n 1 3cos sin1AA 3sincos1AA 31 2 sincos1 22 AA 1 sin 62 A 5 0 666 AA 66 A 3 A 2 由题知 整理得 22 12sincos 3 cossin BB BB 22 sinsincos2cos0BBBB cos0B 2 tantan20BB 或 tan2B tan1B 而使 舍去 tan1B 22 cossin0BB tan2B tantanCAB tan AB tantan 1tantan AB AB 23 1 2 3 85 3 11 18 1 5 3 cos 2 5 4 sin xxx 用心 爱心 专心 122 号编辑 23 xxxxfcos2cos 2 1 sin 2 3 2 xxcossin3 5 3 3 5 4 2 6 sin2 xxf x 2 6 5 63 x1 6 sin 2 1 x 函数的值域为 xf 2 1 19 1 由得 即 10 tancot 3 2 3tan10tan30 1 tan3tan 3 或 又 所以为所求 3 4 1 tan 3 2 22 5sin8sincos11cos8 2222 2sin 2 1 cos1 cos 54sin118 22 2cos 55cos8sin11 11cos16 2 2cos 8sin6cos8tan6 2 2cos2 2 5 2 6 20 如下图 扇形AOB的内接矩形是MNPQ 连OP 则OP R 设 AOP 则 QOP 45 NP Rsin 在 PQO中 135sin 45sin RPQ PQ Rsin 45 2 S矩形 MNPQ QP NP R2sin sin 45 R2 cos 2 45 2 2 2 2 2 R2 当且仅当 cos 2 45 1 即 22 5 时 S矩形 MNPQ的值最大且最大值 2 12 为R2 2 12 工人师傅是这样选点的 记扇形为AOB 以扇形一半径OA为一边 在扇形上作角AOP且 使 AOP 22 5 P为边与扇形弧的交点 自P作PN OA于N PQ OA交OB于Q 并作 OM OA于M 则矩形MNPQ为面积最大的矩形 面积最大值为R2 2 12 21 1 sin 0 sin1 sin 1 2 01 2 1 ffff 1 2 2 011 sin 1sin 0 sin 422 ffffaaa 22 1 sinsin2 2 1 sin1 sin 1