【立体设计】2012届高考数学 第3章 第2节 利用导数判断函数的单调性知识研习（福建版）

1 观察右图 导数f x0 表示函数在点 x0 f x0 处的 在x x0处 f x0 0 切线为 函数f x 在x0附近图象 填 上升 或 下降 在x x1处 f x1 切线为 函数f x 在x1附近图象 填 上升 或 下降 切线的斜率 左下右上 式 上升 左上右下 下降 0 式 2 一般地 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数f x 在这个区间内 如果 那么函数f x 在这个区间内单调递减 单调递增 f x 0 1 函数f x x3 3x2 1是减函数的区间为 A 2 B 2 C 0 D 0 2 解析 由f x 0 即3x2 6x 0 解得0 x 2 答案 D 2 已知函数y xf x 的图象如右图所示 其中f x 是函数f x 的导函数 下面四个图象中y f x 的图象大致是 解析 由图可知 当 11或x0 f x 单调递增 故选C 答案 C 3 函数y 3x2 2lnx的单调增区间为 单调减区间为 答案 增 利用导数的符号判断函数的单调性 是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用 它充分体现了数形结合的基本思想 因此必须重视对数学思想 方法进行归纳提炼 提高应用数学思想 方法解决问题的熟练程度 达到优化解题思维 简化解题过程的目的 依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间 体现了形象思维的直观性和运动性 解决这类问题 如果利用函数单调性的定义来确定函数单调区间 运算显得繁琐 区间难以找准 即时巩固详解为教师用书独有 考点一利用导数确定原函数的图象 案例1 2009 湖南 若函数y f x 的导函数在区间 a b 上是增函数 则函数y f x 在区间 a b 上的图象可能是 解析 本题考查了导数的意义 属于基础知识 基本运算的考查 由导数是切线的斜率知 即函数f x 图象上的切线的斜率依次增大 B选项中曲线上从左到右的点的切线斜率先大后小 C选项斜率是一常数 D选项斜率先增然后又减 只有A选项的曲线从左到右的点的切线斜率是依次增大的 答案 A 即时巩固1 已知f x 是函数f x 的导函数 y f x 的图象如右图所示 则y f x 的图象最可能是 解析 本题考查导函数与原函数之间的关系 由图可知 当x0 则f x 单调递增 当02时 f x 0 则f x 单调递增 并且x 0为极大值点 x 2为极小值点 故选C 答案 C 考点二利用导数求单调区间 案例2 2010 辽宁 已知函数f x a 1 lnx ax2 1 1 讨论函数f x 的单调性 2 设a 2 证明 对任意x1 x2 0 f x1 f x2 4 x1 x2 关键提示 本题第 1 问主要考查导数及其综合应用 以及分类讨论思想 试题类型比较传统 但是含参问题增加了考生的思维强度 可以较好地考查考生的分析能力 第 2 问考查考生的转化化归思想 利用导数的方法研究单调性加以解决不等关系 2 证明 不妨假设x1 x2 由 1 知当a 2时 f x 在 0 上单调减少 所以 f x1 f x2 4 x1 x2 等价于f x2 f x1 4x1 4x2 即f x2 4x2 f x1 4x1 令g x f x 4x 从而g x 在 0 上单调减少 故g x1 g x2 即f x1 4x1 f x2 4x2 故对任意x1 x2 0 f x1 f x2 4 x1 x2 即时巩固2 已知函数f x x3 ax2 2x 3 1 若函数f x 在 1 上单调递增 在 0 1 上单调递减 求实数a的值 解 1 因为f x x3 ax2 2x 3在 1 上单调递增 在 0 1 上单调递减 所以f x 在x 1处取得极值 所以f x 3x2 2ax 2 且f 1 0 考点三求参数的取值范围 案例3 2009 浙江 已知函数f x x3 1 a x2 a a 2 x b a b R 1 若函数f x 的图象过原点 且在原点处的切线斜率是 3 求a b的值 2 若函数f x 在区间 1 1 上不单调 求a的取值范围 解 1 由函数f x 的图象过原点 得b 0 又f x 3x2 2 1 a x a a 2 f x 在原点处的切线斜率是 3 则 a a 2 3 所以a 3或a 1 答案 A 考点四创新应用 案例4 2011届 深圳中学月考 已知函数f x 与g x 均为闭区间 a b 上的可导函数 且f x g x f a g a 求证 当x a b 时 f x g x 关键提示 构造函数 利用函数的单调性