【解析版】江苏省泗阳中学2013届高三第一次市统测模拟考试数学试题（实验班）.doc

2013年江苏省宿迁市泗阳中学高考数学一模试卷（实验班）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上1（5分）（2011盐城一模）已知集合P=4，2，0，2，4，Q=x|1x3，则PQ=0，2考点：交集及其运算专题：计算题分析：通过理解集合的表示法化简集合P和集合Q，两集合的交集是集合P和Q中的共同的数解答：解：P=4，2，0，2，4，Q=x|1x3，PQ=0，2故答案为：0，2点评：本题考查集合的表示法、集合交集的求法2（5分）若复数z1=ai，z2=1+i（i为虚数单位），且z1z2为纯虚数，则实数a的值为1考点：复数代数形式的乘除运算分析：化简复数z1z2，它是纯虚数，它的实部等于0，虚部不等于0，解出a的值解答：解：因为z1z2=（ai）（1+i）=（a+1）+（a1）i，它是纯虚数，所以a+1=0 且a10 所以a=1故答案为：1点评：复数代数形式的运算，复数的分类，是基础题3（5分）如图所示的流程图中，输出的结果是120考点：循环结构专题：图表型分析：题目首先给循环变量a和累积变量s赋值，先执行一次后判断a与2的大小，a大于等于2进入循环，否则算法结束解答：解：赋值a=5，s=1，执行s=15=5，a=51=4；判断42，执行s=54=20，a=41=3；判断32，执行s=203=60，a=31=2；判断22，执行s=602=120，a=21=1；判断12，输出s的值为120故答案为120点评：本题考查了循环结构，虽然框图先执行了一次运算，但下面是满足条件执行循环，不满足条件算法结束，实则是当型循环4（5分）（2011江苏模拟）为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=30考点：分层抽样方法分析：学生人数比例为2：3：5，用分层抽样方法抽取n名志愿者，每个个体被抽到的概率相等，A高校恰好抽出了6名志愿者，则每份有3人，10份共有30人解答：解：学生人数比例为2：3：5，A高校恰好抽出了6名志愿者，n=30，故答案为：30点评：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本这样使得样本更具有代表性5（5分）若的值为考点：二倍角的余弦；角的变换、收缩变换专题：计算题分析：利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为21，再利用诱导公式化为21，将条件代入运算求得结果解答：解：=cos2（+）=21=21 =21=，故答案为：点评：本题考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，把要求的式子化为21=21，是解题的关键6（5分）（2013黄埔区一模）已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a2）x+3y+2a=0，则l1l2的充要条件是a=1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系专题：计算题分析：由已知中，两条直线的方程，l1：x+ay+6=0和l2：（a2）x+3y+2a=0，我们易求出他们的斜率，再根据两直线平行的充要条件，即斜率相等，截距不相等，我们即可得到答案解答：解：直线l1：x+ay+6=0和l2：（a2）x+3y+2a=0，k1=，k2=若l1l2，则k1=k2即=解得：a=3或a=1又a=3时，两条直线重合故答案为1点评：本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系，其中两个直线平行的充要条件，易忽略截距不相等的限制，而错解为1或37（5分）（2012姜堰市模拟）已知平面区域U=（x，y）|x+y6，x0，y0，A=（x，y）|x4，y0，x2y0，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为 考点：几何概型专题：计算题分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出A=（x，y）|x4，y0，x2y0对应面积的大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解在解题过程中，注意三角形面积的应用解答：解：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域（如图），由图可知SU=18，SA=4，则点P落入区域A的概率为故答案为：点评：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出A=（x，y）|x4，y0，x2y0对应面积的大小，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关8（5分）（2013嘉定区一模）若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数k的值是8考点：双曲线的简单性质专题：计算题分析：先分别求双曲线的渐近线方程，焦点坐标，再利用焦点到渐近线的距离为，可求实数k的值解答：解：双曲线的渐近线方程为；焦点坐标是由焦点到渐近线的距离为，不妨解得k=8故答案为8点评：本题主要考查双曲线的几何形状，考查解方程，考查学生分析解决问题的能力9（5分）（2011上海模拟）如图，在ABC中，BAC=90，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为24考点：平面向量数量积的运算专题：计算题分析：用表示，利用=0，再根据=（+），运算求得结果解答：解：由题意可得 =+=+=+（）=+，=0，=（+）=+=0+36=24，故答案为24点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，两个向量数量积的运算，属于中档题10（5分）若直线y=x是曲线y=x33x2+ax的切线，则a=1或考点：导数的几何意义专题：计算题分析：直线与曲线相切，直线已知，即可得出切线斜率，也就得出曲线的导数的方程，设出切点坐标，切点在曲线上，又得到一个方程，两个方程联立求解即可解答：解：设切点P（x0，x0）直线y=x是曲线y=x33x2+ax的切线切线的斜率为1y=x33x2+axy=3x26x+a=3x026x0+a=1点P在曲线上x033x02+ax0=x0由，联立得或由得，a=1由得x023x0=3x026x0解得x0=0或，把x0的值代入中，得到a=1或综上所述，a的值为1或故答案为：1或点评：本题为直线与曲线相切的试题，此题比较好，设计的计算比较多，要细心才能算对，应熟练掌握方程联立的计算问题等11（5分）（2012浙江）设aR，若x0时均有（a1）x1（x2ax1）0，则a=考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：综合题；压轴题分析：分类讨论，（1）a=1；（2）a1，在x0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论解答：解：（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立（2）a1，构造函数y1=（a1）x1，y2=x 2ax1，它们都过定点P（0，1）考查函数y1=（a1）x1：令y=0，得M（，0），a1；考查函数y2=x 2ax1，显然过点M（，0），代入得：，解之得：a=，或a=0（舍去）故答案为：点评：本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是构造函数，利用函数的性质求解12（5分）设数列an的前n项的和为Sn，已知，设若对一切nN*均有，则实数m的取值范围为m0或m5考点：数列的求和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：依题意，可求得an与bn，从而可求得bk=，），利用，）（，m26m+）即可求得实数m的取值范围解答：解：+=，当n2时，+=，得：=，Sn=n（n+1）（n2）当n=1时，=，a1=2，符合Sn=n（n+1）（n2）Sn=n（n+1）可求得an=2nbn=，b1=，bn是以为首项，为公比的等比数列bk=，），bk（，m26m+），）（，m26m+），即，解得：m0或m5故答案为：m0或m5点评：本题考查求数列的通项与数列求和，突出考查集合间的包含关系与解不等式组的能力，综合性强，难度大，属于难题13（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是1，1）考点：椭圆的简单性质专题：计算题分析：由=e结合椭圆离心率的定义可得+1=e+1，可求得PF2=，而acPF2a+c，从而可求得离心率e的取值范围解答：解：依题意，得+1=e+1，PF2=，又acPF2a+c，aca+c，不等号两端同除以a得，1e1+e，解得e1，又0e1，1e1故答案为：1，1）点评：本题考查椭圆的离心率及椭圆的简单几何性质，求得PF2=，利用acPF2a+c解决问题是关键，也是难点，属于中档题14（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边AB，CD于M，N，则当最小时，CN=考点：向量在几何中的应用专题：压轴题；探究型；平面向量及应用分析：通过三角形的全等，求出x的值，利用方程有解，推出t的范围，然后求解即可求得结论解答：解：易证AOMCON，则AM=CN=x设CN=x，经过点N作NEAB则四边形NEBC为矩形NE=BC=1，BE=CN=x则ME=（1x）x=12x（或2x1）MN2=EM2+EN2=24x+4x2BN2=BC2+CN2=1+x2令24x+4x2=t（1+x2），整理t4x2+4x+t2=0有实根164（t4）（t2）0解得：3t3+当 取最小值时，即t取最小值3，x=即CN=，故答案为：点评：本题考查学生分析解决问题的能力，考查学生的探究能力，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内15（14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列（1）若，且，求a+c的值；（2）若存在实数m，使得2sinAsinC=m成立，求实数m的取值范围考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数专题：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形分析：（1）根据A、B、C成等差数列得到，从而将化简得到ac=3再由余弦定理b2=a2+c22accosB的式子，整理得到3=a2+c2ac，两式联解即可得到；（2）根据C=A，将等式左边展开，化简得到2sinAsinC=，结合A的取值范围并利用正弦函数的图象与性质，算出2sinAsinC（），由此即可得到实数m的取值范围解答：解：（1）A、B、C成等差数列，2B=A+C，结合A+B+C=，可得，得，ac=3 由余弦定理，得，3=a2+c2ac，可得a2+c2=3+ac=6 由此联解、，得（2）2sinAsinC=，由此可得2sinAsinC的取值范围为，即m的取值范围为（）点评：本题给出三角形的边角关系式和向量数量积的值，求三角形角B的大小和a+c的值，着重考查了平面向量数量积运算公式、运用正余弦定理解三角形和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题16（14分）（2011江苏模拟）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPD，E，F分别为PC，BD的中点证明（1）EF平面PAD；（2）EF平面PDC考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定专题：证明题分析：（1）若证明EF平面PAD，关键是要找到平面PAD内一条可能与EF平行的直线，分别图形后发现PA即为所求，故连接AC后，利用中位线的性质，即可临到结论（2）若证明EF平面PDC，我们要证明EF与平面PDC中两条相交直线均垂直，已知中底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPD，结合（1）中结论，易证明出：CDPA且PAPD，根据线面垂直的判定定理即可得到结论解答：证明：（1）连接AC，在CPA中，因为E，F分别为PC，BD的中点，所以EFPA而PA平面PAD，EF平面PAD，所以直线EF平面PAD（2）因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD，且CDAD，所以CDPA又因为PAPD，且CD，PD平面PDC，所以PA平面PDC而EFPA，所以EF平面PDC点评：本题考查的知识眯是直线与平面平等的判定及直线与平面垂直的判定，熟练掌握线面关系的判定定理是解答此类问题的关键17（14分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点已知AB=3米，AD=2米（I）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；（II）若x3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积考点：函数模型的选择与应用专题：应用题分析：先由相似性表示AM，建立四边形AMPN的面积模型，（I）解关于x的不等式；（II）先对面积函数模型求导，用导数法求最值解答：解：由于，则AM=故SAMPN=ANAM=（4分）（1）由SAMPN32得32，因为x2，所以3x232x+640，即（3x8）（x8）0从而即AN长的取值范围是（8分）（2）令y=，则y=（10分）因为当x3，4）时，y0，所以函数y=在3，4）上为单调递减函数，从而当x=3时y=取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，此时AN=3米，AM=9米点评：本题主要考查用相似性构建边的关系，建立平面图形面积函数模型及导数法解模求最值的能力18（16分）（2012盐城二模）已知椭圆的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为A（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求ABC面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2=2，求证：直线DE恒过一个定点考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据椭圆=1（ab0）的离心率为，且过点P（），建立方程，求出几何量，从而可得椭圆C的方程；（2）设B（m，n），C（m，n），则SABC=2|m|n|=|m|n|，利用基本不等式可求ABC面积的最大值；（3）设AB、AC的方程，代入椭圆方程可求B、C的坐标，从而可得直线BC的方程，整理并令y=0，即可证得直线BC恒过定点解答：（1）解：椭圆的离心率为，且过点，解得，所以椭圆C的方程为x2+2y2=14分（2）解：设B（m，n），C（m，n），则SABC=2|m|n|=|m|n|，6分又|m|n|，所以|m|n|，当且仅当时取等号8分从而SABC，即ABC面积的最大值为9分（3）证明：因为A（1，0），所以AD：y=k1（x+1），AE：y=k2（x+1），由，消去y，得，解得x=1或x=，同理E（）k1k2=2，12分直线DE的方程为，即y，即y=14分所以，则由，得直线DE恒过定点16分点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查直线恒过定点，属于中档题19（16分）（2011江苏二模）已知函数（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e）处的切线横过定点，并求出定点的坐标；（2）若f（x）f2（x）在区间（1，+）上恒成立，求a的取值范围；（3）当时，求证：在区间（1，+）上，满足f1（x）g（x）f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用专题：综合题分析：（1）先求出导数，根据导数的几何意义得出f（x）在点（e，f（e）处的切线的斜率为，从而写出切线方程得出切线恒过定点；（2）先令0，对x（1，+）恒成立，利用导数求出p（x）在区间（1，+）上是减函数，从而得出：要使p（x）0在此区间上恒成立，只须满足，由此解得a的范围即可（3）当时，记利用导数研究它的单调性，得出y=f2（x）f1（x）在（1，+）上为增函数，最后得到满足f1（x）g（x）f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个解答：解：（1）因为，所以f（x）在点（e，f（e）处的切线的斜率为，所以f（x）在点（e，f（e）处的切线方程为，整理得，所以切线恒过定点（2）令0，对x（1，+）恒成立，因为（*）令p（x）=0，得极值点x1=1，当时，有x2x1=1，即时，在（x2，+）上有p（x）0，此时p（x）在区间（x2，+）上是增函数，并且在该区间上有p（x）（p（x2），+），不合题意；当a1时，有x2x1=1，同理可知，p（x）在区间（1，+）上，有p（x）（p（1），+），也不合题意；当时，有2a10，此时在区间（1，+）上恒有p（x）0，从而p（x）在区间（1，+）上是减函数；要使p（x）0在此区间上恒成立，只须满足，所以综上可知a的范围是（3）当时，记因为，所以y=f2（x）f1（x）在（1，+）上为增函数，所以，设，则f1（x）R（x）f2（x），所以在区间（1，+）上，满足f1（x）g（x）f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个点评：本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、导函数的正负与原函数的单调性之间的关系等，注意应用导数的性质：当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减20（16分）（2010宝山区一模）已知数列an是首项，公比的等比数列，设bn+15log3an=t，常数tN*，数列cn满足cn=anbn（1）求证：bn是等差数列；（2）若cn是递减数列，求t的最小值；（3）是否存在正整数k，使ck，ck+1，ck+2重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，说明理由考点：数列递推式；数列的函数特性；等差关系的确定；等比数列的性质专题：综合题；压轴题分析：（1）由题意知，再由，得b1=15log3a1+t=t+5，由此能够证明bn是等差数列（2）由bn=5n+t，知，恒成立，再由是递减函数，知当n=1时取最大值，由此能求出t的最小值（3）记5k+t=x，再分情况讨论进行求解解答：解：（1）由题意知，（1分）因为，b1=15log3a1+t=t+5数列bn是首项为b1=t+5，公差d=5的等差数列（4分）（2）由（1）知，bn=5n+t，恒成立，即恒成立，（7分）因为是递减函数，所以，当n=1时取最大值，（9分）因而t6.3，因为tN，所以t=7（10分）（3）记5k+t=x，若ck是等比中项，则由ck+1ck+2=ck2得化简得2x215x50=0，解得x=10或（舍），（11分）所以5n+t=10，因而及又由常数tN*，则舍去，若ck+1是等比中项，则由ckck+2=ck+12得化简得x（x+10）=（x+5）2，显然不成立（16分）若ck+2是等比中项，则由ckck+1=ck+22得化简得2x25x100=0，因为=52+42100=2533不是完全不方数，因而x的值是无理数，显然不成立则符合条件的k、t的值为（18分）点评：本题考查等差数列的证明方法、以递减数列为载体求参数的最小值和利用分类讨论思想在等比数列中的运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件三、选做题在21、22、23、24四小题中只能选做2题，请把答案写在答题纸的指定区域内21（10分）（2012江苏一模）选修41：几何证明选讲如图，PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C求证：BT平分OBA考点：圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段专题：证明题分析：连结OT，说明OTAP证明TBA=BTO再证明OBT=TBA，即可证明BT平分OBA解答：证明：连结OT，因为AT是切线，所以OTAP又因为PAQ是直角，即AQAP，所以ABOT，所以TBA=BTO又OT=OB，所以OTB=OBT，所以OBT=TBA，即BT平分OBA点评：本题考查直线与圆相切的性质的应用，平行线内错角相等等知识，考查逻辑推理能力22（10分）（2012盐城一模）已知矩阵，若矩阵AB对应的变换把直线l：x+y2=0变为直线l，求直线l的方程考点：逆矩阵与投影变换；矩阵与矩阵的乘法的意义专题：计算题分析：先计算矩阵AB对应的变换，再求出在变换下点的坐标之间的对应关系，从而可求直线l的方程解答：解：，=（3分），在直线l上任取一点P（x，y），经矩阵AB变换为点Q（x，y），则，即（8分）代入x+y2=0中得，直线l的方程为4x+y8=0（10分）点评：本题重点考查矩阵变换，考查矩阵变换的运用，解题的关键是求出矩阵AB对应的变换23（2012盐城一模）在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被C截得的弦AB的长度考点：直线的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程专题：计算题分析：先两边同乘以，利用公式即可得到圆的圆心和半径，再将参数方程化为普通方程，结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得解答：解：C的方程化为=4cos+4sin，两边同乘以，得2=4cos+4sin由2=x2+y2，x=cos，y=sin，得x2+y24x4y=0（5分）其圆心C坐标为（2，2），半径，又直线l的普通方程为xy2=0，圆心C到直线l的距离，弦长（10分）点评：考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化属于中等题24已知a1，a2，an均为正数，且a1a2an=1，求证：（2+a1）（2+a2）（2+an）3n考点：不等式的基本性质；基本不等式；数列与不等式的综合专题：计算题；压