甘肃兰州三中高三数学函数与导数专项训练人教

2006年甘肃省兰州三中高三数学复习 函数与导数专项训练献给即将高考的2006届高三学生1. 有关集合的问题，首先要弄清集合的元素是什么？是数集还是点集或其他？是函数关系中的自变量的取值？还是因变量的取值？如；，当集合的元素以字母参数的形式给出时，要注意集合元素的互异性与无序性。如对于符号“”与“”的应用要清楚。符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 ，的特殊性使得 注意下列性质：（1）含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集（非空子集）个数为2n1；（2） （3）由于集合语言的简洁性与严谨性，很多题目的条件常用集合的形式给出，对于集合化简（主要是解不等式或解方程）是解题的最基本的步骤（往往也是得分点），在化简的过程中一定不要忘记分析集合是否有可能为空集！另外对于子集关系的一些变化形式要熟悉，如等进行交、并、补运算时，一要尽可能借助数轴、直角坐标系、韦恩图等，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；二要注意空集的特殊性，空集是指不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如：，如果，求的取值。2语句是否为命题，关键看能否判断真假。原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题，当一个命题的真假不易判断时，可判断其逆否命题的真假；若为真，当且仅当p、q均为真, 若为真，当且仅当p、q至少有一个为真,若p为真，则为假。如：“”是“”的 条件。3.充要条件：满足条件，满足条件，若；则是的充分非必要条件；若；则是的必要非充分条件；若，且；则是的充要条件；若 ；则是的既非充分又非必要条件；4.解含绝对值类型的问题的一般思路是去绝对值号。其方式有（1）利用绝对值的定义；（2）平方法，使用平方去绝对值号要谨慎，要注意不等式两边非负，也要考虑平方的升幂作用，幂次升高后是否便于运算！形如之类含两个绝对值的和或差的不等式分析除掌握“零点分段法”去绝对值号外，对其几何意义要熟悉。要研究哪些情况下要反其道而行之，在某些情况下保留绝对值号，甚至有意识地添加绝对值号，却可使问题简化！例如解不等式，相对于分类不如解简单。还记得下题怎样避免分类讨论吗？例：设定义在上的偶函数在上单调递减，若，求实数m的取值范围。5.对二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的“亲缘”关系是否有深刻的认识！解一元二次方程就是分析二次函数函数值为0时的自变量的值，解一元二次不等式就是分析二次函数函数值在一定范围内时自变量的范围。一元二次方程根的分布讨论是函数分析最基本的技能，也是考查数形结合思想的载体，必须熟练掌握。 二次函数在闭区间上有最大值和最小值。其求法要熟练掌握，特别是含参数的两类最值分析：一类是区间固定，对称轴随参数的变化而变化，另一类固定对称轴，区间含参数。解法要点是抓住“三点一轴”分类讨论，即按对称轴与区间的两个端点和中点的位置关系分类。含参数的二次不等式恒成立问题，其实质也是函数的最值二次项系数含参数的函数分析，一定要注意分析二次项系数是否为0。6.解分式不等式一般应遵循“移项通分化成整式不等式”这样的步骤。解高次不等式，采用“序轴标根”时注意的几个要点你清楚吗？解简单的三角不等式（或方程）你会使用单位圆及三角函数线吗？解指对数不等式你记得对底数分类、对定义域进行分析吗？7.映射的概念：映射是“全部射出加一箭一雕”；映射中第一个集合中的元素必有像，但第二个集合中的元素不一定有原像.如：若，；问：到的映射有 个8.函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是像的集合，是的子集”. 如的图象与直线交点的个数为 。注意定义域、对应法则相同的两个函数相同函数, 求定义域主要考虑分式分母不为零，偶次方根有意义、对数、指数的底数、对数的真数，问题的实际意义等。复合函数的定义域的求法(已知的定义域为，则的定义域由解出x的范围即可)。 关于求函数解析式。已知的解析式求的解析式基本方式是换元法，有些可以用“配凑法”，例如已知，求，要注意定义域的变化；解函数方程求解析式。例：已知，求；分段函数已知区间上的解析式，求区间上的解析式，这类问题往往结合了函数的奇偶性或周期性，不论是哪种情况，其基本解法都是一致的，要点是首先令，再利用周期性或奇偶性（或对称性）使或，再将或代入已知段的解析式化简却得；抽象函数利用赋值法。例：设f(x)是定义在（-，+）上的函数，对一切xR均有f(x)+f(x+2)=0，当-1x1时，f(x)=2x-1，求当1x3时，函数f(x)的解析式。解题思路分析：利用化归思想解题 f(x)+f(x+2)=0 f(x)=-f(x+2) 该式对一切xR成立 以x-2代x得：f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x)当1x3时，-1x-21 f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5 f(x)=-f(x-2)=-2x+5 f(x)=-2x+5（1x3） 求函数值域的常用方法 ：直接法，二次函数法（配方法），反解法，数形结合法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法，换元法。 9.关于函数的单调性。证明函数单调性的方式：(1)定义法：取值作差判号，其中作差后如何变形是关键，常用的变形方式要熟悉，如变形成多个因式的积、二次三项式等。(文科生必须熟练掌握这种方法)。抽象函数的单调性分析也只能用这种方法 (2)求导法。 复合函数单调性的判断：“同增异减”。10.关于函数的奇偶性。要熟悉下列一些结论：若为偶函数数，则;对于定义域含零的奇函数有;奇函数在对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在对称的区间上具有相反的单调性;“奇奇=奇”，“偶偶=偶”，“奇奇=偶”，“偶偶=偶”，“奇偶=奇”。复合函数的奇偶性判断口诀“内(层函数)偶则偶，内奇取外(层函数的奇偶性)”;若一个奇函数存在反函数，则其反函数必为奇函数。讨论奇偶性先考查函数定义域是否关于原点对称。在分析与的关系时，不要忘记判断条件的等价形式，即，在讨论对数函数的奇偶性时采用等价形式有可能减少运算量。若所给函数解析式比较复杂，应先化简，再判断其奇偶性。在判断奇偶性时，对于一些非奇非偶的函数的判定，不必拘泥于讨论与的关系，而只须分析几个具体的函数值即可，如广东省2005年的高考题第19 题)对函数f (x)，当x(-,)时，在闭区间0,7上，只有f(1)=f(3)=0; 试判断函数y=f(x)的奇偶性；11.关于函数的周期性。对于函数，若存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，恒成立，则称为周期函数。常用形式：12.关于反函数。反函数存在的条件是函数为一一对应函数。注意在定义域上具有单调性的函数存在反函数，但有反函数的函数不一定有单调函数性(如图象是一些点的函数)。互为反函数的两个函数在对应的区间上具有相同的单调性，它们的图象关于对称求反函数的步骤：将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；将互换，得；写出反函数的定义域（即的值域）。在解与反函数相关的问题时，直接去求解反函数往往不是最佳方式，一定要充分地利用反函数的与原函数之间的关系解题,如，.如已知，函数y=g(x)图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称，求g(11)的值。分析：利用数形对应的关系，可知y=g(x)是y=f-1(x+1)的反函数，从而化g(x)问题为已知f(x)。 y=f-1(x+1) x+1=f(y) x=f(y)-1 y=f-1(x+1)的反函数为y=f(x)-1即 g(x)=f(x)-1 g(11)=f(11)-1=13.关于指数函数与对数函数:符合形式的函数才称之为指数函数，形如之类都是复合函数，同样形如的叫对数函数。单调性的分析是指数函数与对数函数考查的重点，要记住单调性的有关结论，只需要记住下列两个图形，一切尽在其中!XYXY指数、对数运算法要熟练，特别地，。判断的正负的口诀“同正异负”，所谓“同”是指底数a 与真数b均大于1或者均在(0,1)内。14.函数图象函数与函数的图像关于直线（轴）对称. 推广一：如果函数对于一切，都有成立，那么的图像关于直线（由“和的一半确定”）对称；推广二：函数，的图像关于直线（由确定）对称.函数与函数的图像关于直线（轴）对称.推广：函数与函数的图像关于直线对称（由“和的一半确定”）.函数与函数的图像关于坐标原点中心对称.推广：函数与函数的图像关于点中心对称.函数与函数的图像关于直线对称.推广：曲线关于直线的对称曲线是；曲线关于直线的对称曲线是.类比“三角函数图像”得：若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为.若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为.函数图像的平移和伸缩变换应注意哪些问题？函数的图像按向量平移后，得函数的图像；形如的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线(由分母为零确定)、直线(由分子、分母中的系数确定)，双曲线的中心是点L；应重视 “鱼钩函数”及函数等）15.极限（理科） 数列极限：（1）掌握数列极限的直观描述性定义；（2）掌握数列极限的四则运算法则，注意其适用条件：一是数列anbn的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商，对于无限个数列的和（或积），应先求和（或积），再求极限；（3）常用的几个数列极限：（C为常数）；，（1,q为常数）; (4)无穷递缩等比数列各项和公式（0），注意与其前n项各相区别。函数的极限：（1）当x趋向于无穷大时，函数的极限为a ，注意当时函数的极限与数列的极限的不同。（2）当时函数的极限为a，注意函数在处有极限与函数在处是否有定义无关。16.函数的连续性：（1）如果函数f(x)在点x=x0处及其附近有定义，而且还有，就说函数f(x)在点x0处连续；（2）初等函数的连续性：指数函数、对数函数、三角函数等都属于基本初等函数,基本初等函数在定义域内每一点处都连续；基本初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后所得到的函数,都是初等函数。初等函数在定义域内每一点处都连续；注意分段函数不是初等函数。17.关于导数（理科，文科只要求会对多项式求导）导数的定义：（1）f(x)在点x0处的导数记作；注意：定义的形式可有多种写法，关键是明确它是平均变化率的极限，分式的分母表示的是f(x)在x0处产生一个增量（可正可负），而分子是与之相应的函数值的增量。分母既可用表示，亦可用，甚至可以用等各种形式表示，如与或导函数的定义：若f(x)在开区间（a,b）内每一点都可导，即对内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（a,b）内构成了一个新的函数，称之为f(x)在开区间（a,b）内的导数，记为。而是在处的函数值。导数的定义根据导数的定义，求函数的导数步骤为：求函数的增量求平均变化率;取极限,得导数;导数的定义可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处必连续；但是y=f(x)在点x0处连续却不一定可导；如y=|x|在x=0处连续但不可导。导数的几何意义：即曲线yf（x）在点P（x0,f(x0)）处的切线的斜率。相应地，切线方程是导数的求法：复合函数的导数： 导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数yf（x）在某个区间内可导，如果那么f(x)为增函数；如果那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有那么f(x)为常数；（2）求可导函数极值的步骤：求导数；求方程的根；检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值；。（3）求可导函数在闭区间a，b内的最大值与最小值的步骤：求y=f(x)在(a,b)内的极值；将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。要注意与求极值在步骤上的区别。导数的应用专项训练2.(文)函数是定义在R上的可导函数，则为R上的严格单调增函数是的充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件（理)函数在下面哪个区间内是增函数（ ）ABCD3.若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则的取值范围是（.） D4. 函数y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值和最小值分别是 （ ）A.12,-15 B.-4,-15 C.12,-4 D.5,-155下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（ ）A、B、C、D、A、B、C、D、7.已知函数，直线l：9x2yc=0 （）求证：直线l与函数y=f(x)的图像不相切；（）若当时，函数y=f(x)的图像在直线l的下方，求c的范围8.设函数，当时，取极小值。（I）求的解析式；（II）若时，求证：。9.已知函数的图像经过原点O，且在处取得极值，曲线在原点处的切线与直线的夹角为45，且切线的倾斜角为钝角。（I）求的解析式；（II）若函数的图像与函数的图像恰有3个不同交点，求实数m的取值范围。10.设函数（1）求导数; 并证明有两个不同的极值点;（2）若不等式成立，求的取值范围.11.已知函数的定义域为R,且在区间-1，+1上是增函数，(1)求实数a的取值范围(2)若函数f(x)的导函数在区间-1，+1上的最大值为4，试确定函数f(x)的单调区间，(3)若对于一切x，存在，使得恒成立，求的取值范围12.（文）已知函数f(x)=x3-ax2+3x+b，(1)若函数f(x)的图象在x=1处的切线平行于x轴，求a的值；(2)是否存在实数a，使得f(x)在x(-2，-)上必为单调减函数？若存在试求出a的值；若不存在，请说明理由. (理)已知函数（I）若函数在区间（m，2m1）上为增函数，(1)求实数m的取值范围；（II）若P（x0，y0）为图象上的任意一点，直线l与的图象相切于点P，求直线l的斜率的取值范围。 参考答案1. B 2.B 3.B 4.A5.B6.C7.（）证明：方法一 43分根据导数的几何意义知，函数y=f(x) 的图像上任意一点处的切线斜率均不小于4，5分而直线l：9x2yc=0的斜率为，所以直线l与函数y=f(x)的图像不相切7分方法二 假设直线l：9x2yc=0与函数y=f(x)的图像相切，则有实数解，即有实数解因为=20，方程无实数解，所以直