2019-2020学年玉溪市红塔区第一中学高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年云南省玉溪市红塔区第一中学高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1已知集合， （ ）ABCD【答案】C【解析】根据集合以及补集的定义先求出，再求其与的交集即可.【详解】，则，故选:C.【点睛】本题主要考查了集合间交集和补集的混合运算，主要是概念的理解，属于基础题.2若，则下列不等式不能成立的是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可.【详解】选项A：由于，即，所以，所以，所以成立；选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；选项C：由于，所以，所以，所以成立；选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故选：B.【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.3“”是“”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：时，成立，故是充分的，又当时，即，故是必要的的，因此是充要条件故选A【考点】充分必要条件4等差数列中，则（ ）A1B2C3D4【答案】D【解析】把已知的等式用首项和公差表示，然后进行化简，把要求的式子也用首项和公差表示后即可得到答案.【详解】数列为等差数列，设其公差为，由，得，则，故选:D.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，训练了整体运算思想方法，属于基础题.5周髀算经中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】设大的正方形的边长为1，由已知可求小正方形的边长，可求，且，进而利用两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解.【详解】设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为，可得:小正方形的边长为，可得:，由图可得:，可得:，解得:，故选:A.【点睛】本题主要考查了两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.6，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A，B，C，共面D，共点，共面【答案】B【解析】【详解】解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条选项A，可能相交选项C中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误选B.7直线同时要经过第一、第二、第四象限，则应满足（ ）ABCD【答案】A【解析】根据直线所过的区域得到斜率和纵截距的正负后可得满足的条件.【详解】因为直线过第一、第二、第四象限，故且，故且，故选A.【点睛】直线方程的一般式为，我们可从中得到直线的斜率为（当时，直线的斜率不存在），横截距为（时），纵截距为（时）.8若，则的最小值为A8B6C4D2【答案】C【解析】分析：利用对数运算法则，得，从而有，再利用基本不等式得，化简可得，从而得所求最小值详解：，当且仅当时取等号故选C点睛：在用基本不等式求最值时，要注意其三个条件缺一不可，一正，二定，三相等，在求最值时，如果几次用到不等式进行放缩，那么一定要探索每个不等号中等号成立的条件是否是同一个，否则最后的等号不能取到9三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAPBPC3，PAPB，三棱锥PABC的外接球的体积为（）ABC27D27【答案】B【解析】计算棱锥的高，判断外接球球心位置，利用勾股定理求出外接球的半径，代入体积公式计算【详解】解：PAPB3，PAPB，AB3PAPBPC，P在底面ABC的射影为ABC的中心O，设BC的中点为D，则AD，AOAD，OP，设三棱锥PABC的外接球球心为M，OPOA，M在PO延长线上，设OMh，则MAOP+h，6+h2（h）2，解得h，外接球的半径r外接球的体积V（）3故选：B【点睛】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，考查计算能力，空间想象能力，属于中档题10如果函数在区间上是增函数，且函数在区间上是减函数，那么称函数是区间上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”.若函数是区间上的“缓增函数”，则“缓增区间”为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意求的增区间，再求的减函数，从而求缓增区间.【详解】由二次函数的性质可得的增区间为，令，得或，（或用对勾函数的单调性得单调区间）即函数的减区间为和，综上可得:函数的“缓增区间”为，故选:B.【点睛】本题主要考查了函数的性质应用，充分理解新定义是解题的关键，属于中档题.11若在上是增函数，则的最大值是（ ）ABCD【答案】A【解析】首先把函数的关系式利用辅助角公式变形成正弦型函数，进一步利用正弦函数的单调性即可求出结果.【详解】函数，令，解得:，函数在上是增函数，所以，而的值只能取0，得，即的最大值是，故选:A.【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题.12抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，当为等边三角形时，其面积为（ ）ABC2D【答案】A【解析】利用抛物线的定义得出垂直于抛物线的准线，设，求出的边长，写出有关点的坐标，利用两点距离的公式得到，列出方程求出的值，得到等边三角形的边长，从而求出其面积.【详解】据题意知，为等边三角形，抛物线的准线，设，则，等边三角形边长为，所以由，得，解得，等边三角形边长为，其面积为，故选:A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题，考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力，属于中档题.二、填空题13已知向量，则_.【答案】5【解析】将用坐标表示，再根据模长公式即可得结果.【详解】，则，故答案为:5.【点睛】本题主要考查了向量线性运算的坐标表示，向量模长的坐标表示，属于基础题.14已知约束条件，表示面积为的直角三角形区域，则实数的值为_.【答案】0【解析】作出二元一次不等式组对应的平面区域，当与垂直时，满足题意.当与垂直时，不合题意，进而可得结果.【详解】先作出不等式对应的平面区域，如图:直线恒过定点，又，要使阴影部分为直角三角形，当与垂直，即时，所围成的三角面积为，满足题意;当与垂直时，显然围成的直角三角形小于，舍去;故而可得的值为0，故答案为:0.【点睛】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题.15口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出黄球的概率是0.28.若红球有21个，则蓝球有_个【答案】15【解析】根据红球的概率和个数求出总球数，从而求出篮球的个数.【详解】由题意摸出红球的概率为0.42，并且红球有21个，则总球数为个，所以蓝球的个数为个.所以本题答案为15.【点睛】本题考查概率等基础知识，考查概率的应用，考查运算求解能力，是基础题.16已知点，若圆上恰有两点，使得和的面积均为，则的取值范围是_.【答案】【解析】由题意可得|AB|=2，根据MAB和NAB的面积均为4，可得两点M，N到直线AB的距离为2；由于AB的方程为=，即x+y+3=0；若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则有圆心（2，0）到直线AB的距离为=r+2，解得r=；若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，则有圆心（2，0）到直线AB的距离为=r2，解得r=；综上，r的取值范围是（，）故答案为（，）三、解答题17在数列中，且，1成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，数列的前项和为，求.【答案】（1）（2）【解析】(1)由等差数列的概念化简后可得是等比数列，公比，结合可得，进而可得结果;(2)结合(1)得，将分组求和与公式法相结合即可的结果.【详解】(1)，成等差数列，且，是等比数列，公比，由，得，(2)，.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前项和，属于中档题.18已知中，角的对边分别为，且，的面积为.（1）求的大小；（2）求的值.【答案】（1）；（2）3【解析】(1)通过切化弦的思想结合两角和的余弦公式可得，即，结合的范围即可得的值;(2)通过三角形的面积可计算出，通过余弦定理可计算出，两者相结合即可得的值.【详解】(1)，因为，所以.(2)由(1)知，又因为，所以，所以，由余弦定理得:，即，所以，所以.【点睛】本题主要考查了三角形面积公式的应用，余弦定理的应用，“切化弦”思想是化简求值中常见的方法，属于中档题.19某公司为了解用户对其产品的满意度，从两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到地区用户满意度评分的频率分布直方图和地区用户满意度评分的频数分布表地区用户满意度评分的频率分布直方图如下：地区用户满意度评分的频数分布表如下：（1）在图中作出地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）地区用户满意度评分的频率分布直方图（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：公司负责人为了解用户满意度情况，从B地区调查8户，其中有两户满意度等级是不满意.求从这8户中随机抽取2户检查，抽到不满意用户的概率.【答案】（1）见解析，见解析（2）【解析】(1)根据分布表的数据，画出频率直方图，通过两者的频率分布直方图易得B地区平均值高于地区，地区更集中;(2)分为三种情形:仅第一次抽到不满意用户，仅第二次抽到不满意用户，两次都抽到不满意用户，利用古典概型概率计算公式分别计算出它们的概率，再求事件和的概率即可.【详解】(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.(2)记:仅第一次抽到不满意用户;:仅第二次抽到不满意用户;:两次都抽到不满意用户.;.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率的运用，考查了阅读能力，考查了常见常见概率的计算，属于中档题.20如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，AB=AD=1，AE=BC=2.（1）求证：BF平面ADE；（2）若二面角E-BD-F的余弦值为，求线段CF的长.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】(1)以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，设，然后证明的方向向量和面的法向量数量积为0即可;(2)分别求出平面和平面的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为列式求线段的长.【详解】(1)证明:以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，可得，设，则，则是平面的法向量，又，可得，又直线平面，平面.(2)设为平面的法向量，则，取，可得，设为平面的法向量，则，令，得，由题意，解得，经检验，符合题意.线段的长为.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，属于中档题.21已知函数且.（1）求实数的值；（2）若函数有零点，求实数的取值范围；（3）若存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】(1)通过函数的解析式解求出即可;(2)化简函数的解析式，利用函数的零点，结合函数的值域求解即可;(3)利用换元法，令，则，利用分离参数思想化简可得，结合在上的单调性，转化求解函数的最值即可.【详解】(1)对于函数，由，得.(2)由(1)知，若函数有零点，则函数的图象和直线有交点，求得.(3)存在，使成立，即成立.令，则，且.由于在上单调递减，【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查函数的零点以及函数的最值的求法，函数能成立的应用，考查计算能力，属于中档题.22设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上若（为原点），且，求证：直线的斜率与直线MN的斜率之积为定值【答案】（1）（2）证明见解析【解析】(1)由题意可得，运用离心率公式和，的关系，可得，进而得到所求椭圆方