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第六章连续系统的振动 6 3轴的扭转振动 14 2 6 3轴的扭转振动 细长圆截面直杆在分布扭矩作用下作扭转振动 假定振动过程中各横截面仍保持为平面 截面的极惯性矩Jp 材料密度 切变模量G 单位长度杆上分布的外力偶矩 轴参数 为杆上距离原点x处的截面在时刻t的角位移 截面处的扭矩为M 微段dx受力 微段绕轴线的转动惯量 14 3 代入 得 微段dx受力 达朗贝尔原理 材料力学 即 圆截面杆的扭转振动强迫振动方程 对于等直杆 抗扭转刚度GJp为常数 有 剪切弹性波的纵向传播速度 14 4 等直轴的扭转自由振动 方程形式与弦的横向振动 杆的纵向振动方程一样 因此也有相同形式的解 式中有四个待定常数 决定于初始条件和边界条件 利用边界条件可以求出C D或一个常数和固有频率 其边界条件与杆的纵向振动相似 有固定端 自由端 弹性 载荷端 惯性载荷端 14 5 1 固定端 2 自由端 3 弹性载荷端 其中kt为扭转弹性刚度 14 6 4 惯性载荷端 因为系统的线性 系统的全解由无限多阶固有模态叠加而成 模态由边界条件决定 由初始条件决定其它两个常数Ai Bi 设初始条件为 则 求得Ai Bi后 可得系统的响应 14 7 例6 3 1 轴的左端固定 右 端附有圆盘 如右图 解 轴的扭振方程 左端固定 统的扭振固有频率和振型 求系 设解 14 8 左端固定 右端截面的扭矩等于圆盘的惯性力矩 14 9 轴系的特征方程 为轴的转动惯量与圆盘的转动惯量之比 若给定 不难找出固有频率的数值解 表6 3 1给出了基本特征值 1随 值的部分变化量 14 10 如果 值很小 轴的转动惯量远小于圆盘转动惯量 轴系的特征方程简化为 轴的扭转弹性刚度 略去轴质量的单自由度扭振固有频率 14 11 若 0 3 由表6 3 1得数值解 1 0 52 两者误差仅5 327 如果轴的转动惯量与圆盘转动惯量接近 用2 3节的瑞利法 将轴转动惯量的1 3加到圆盘转动惯量上 再按单自由度扭振系统计算 得 误差约0 7 如果取 1 查表得 1 0 86 用上式计算所得基频近似值 14 12 例6 3 2 等直圆轴长为L 如图 以等角速度 转动 某瞬时左端 解 建立坐标系 得频率方程 突然固定 求轴的扭振响应 一端固定一端自由的边界条件 1
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