2014届高考考前热点专题（立体几何）(课堂例题教师版）.doc

20142014 届高考考前热点专题 立体几何 届高考考前热点专题 立体几何 班级 姓名 学号 例一 如左图 在边长为 1 的等边三角形中 分别是边上的点 ABC D E AB AC 是的中点 与交于点 将沿折起 得到如右图ADAE FBCAFDEGABF AF 所示的三棱锥 其中 ABCF 2 2 BC 1 证明 平面 DEBCF 2 证明 平面 CF ABF 3 当时 求三棱锥的体积 2 3 AD FDEG F DEG V 图 4 G E F A B C D 图 5 D G B F C A E 答案 1 在等边三角形中 ABCADAE 在折叠后的三棱锥中 ADAE DBEC ABCF 也成立 平面 DEBC DE BCF 平面 平面 BC BCF DE BCF 2 在等边三角形中 是的中点 所以 ABCFBCAFBC 1 2 BFCF 在三棱锥中 ABCF 2 2 BC 222 BCBFCFCFBF BFCFFCFABF 平面 3 由 1 可知 结合 2 可得 GECFGEDFG 平面 1 11 1 11313 3 23 2 3323324 F DEGE DFG VVDG FG GF 例二 如图 正四棱锥 P ABCD 的高为 PO PO AB 2 E F 分别是棱 PB CD 的中 点 Q 是棱 PC 上的点 1 求证 EF 平面 PAD 2 若 PC 平面 QDB 求 PQ 例三 如图 三棱柱中 111 ABCABC CACB 1 ABAA 1 60BAA 证明 1 ABAC P AB C D O E F Q 第 2 题 若 求三棱柱的体积 2ABCB 1 6AC 111 ABCABC C1 B1 A A1 B C 答案 答案 I 取 AB 的中点 O 连接 因为 CA CB 所以OC O O 1 OAO O 1 AB 由于 AB A A1 BA A1 600 故为等边三角形 所以 OA AB OCAB AA B 1 因为 OC OA O 所以 AB平面 OA C 又 A CC 平面 OA C 故 ABAC 1 111 II 由题设知 1 2ABCAAB 与都是边长为的等边三角形 1 2AA B都是边长为的等边三角形 所以 22 11111 3 6 OCOAACACOAOAOC 又 则 故 11111 1111 3 3 ABCABC OCABOOAABCOAABC ABC ABCSABCV SOA AA 因为所以平面 为棱柱的高 又的面积 故三棱柱ABC的体积 例四 如图 ABOPAOCO是圆的直径 垂直圆所在的平面 是圆上的点 I 求证 BCPAC 平面 II 设 QPAGAOCQGPBC 为的中点 为的重心 求证 平面 答案 例五 如图 长方体中 底面是正方形 1111 ABCDABC D 1111 ABC D 是棱上任意一点 是的中点 E 1 AAFCD 1 证明 BD 1 EC 2 若 AF 平面 C1DE 求的值 1 AE A A 解析 1 连接 共面 AC 11 AECCE A C C 长方体中 底面是正方形 1111 ABCDABC D 1111 ABC D 所以 ACBD EABD ACEAA 所以面 所以 BD 1 EACC 1 BDEC 2 取的中点 连接交于点 11 C DGFG 1 C DO 易知 FG DD1 FG DD1 且点为的中点 OFG 所以四点共面 1 A A G F 所以平面 11 C DEAAGFOE 平面 因为 AF 平面 C1DE AF OE 又点为的中点 所以 OFG 1 AE A A 1 2 例六 如图 四棱柱ABCD A1B1C1D1的底如图 1 在四棱锥 P ABCD 中 O 为 AC 与 BD 的交 点 AB 平面 PAD PAD 是正三角形 DC AB DA DC 2AB 1 若点 E 为棱 PA 上一点 且 OE 平面 PBC 求的值 AE PE 2 求证 平面 PBC 平面 PDC 证 1 因为 OE 平面 PBC OE 平面 PAC 平面 PAC 平面 PBC PC 所以 OE PC 所以 AO OC AE EP 3 分 因为 DC AB DC 2AB 所以 AO OC AB DC 1 2 P A B C D O E 第 6 题图 O GD1 C1 B1 A1 F E D C B A D1 C1 B1 A1 F E D C B A 所以 6 分 AE PE 1 2 2 法一 取 PC 的中点 F 连结 FB FD 因为 PAD 是正三角形 DA DC 所以 DP DC 因为 F 为 PC 的中点 所以 DF PC 8 分 因为 AB 平面 PAD 所以 AB PA AB AD AB PD 因为 DC AB 所以 DC DP DC DA 设 AB a 在等腰直角三角形 PCD 中 DF PF a 2 在 Rt PAB 中 PB a 5 在直角梯形 ABCD 中 BD BC a 5 因为 BC PB a 点 F 为 PC 的中点 所以 PC FB 5 在 Rt PFB 中 FB a 3 在 FDB 中 由 DF a FB a BD a 可知 DF2 FB2 BD2 所以 FB DF 2 3 5 12 分 由 DF PC DF FB PC FB F PC FB 平面 PBC 所以 DF 平面 PBC 又 DF 平面 PCD 所以平面 PBC 平面 PDC 14 分 法二 取 PD PC 的中点 分别为 M F 连结 AM FB MF 所以 MF DC MF DC 1 2 因为 DC AB AB DC 所以 MF AB MF AB 1 2 即四边形 ABFM 为平行四边形 所以 AM BF 8 分 在正三角形 PAD 中 M 为 PD 中点 所以 AM PD 因为 AB 平面 PAD 所以 AB AM 又因为 DC AB 所以 DC AM 因为 BF AM 所以 BF PD BF CD 又因为 PD DC D PD DC 平面 PCD 所以 BF 平面 PCD 12 分 因为 BF 平面 PBC 所以平面 PBC 平面 PDC 备用 例七 如图 在五面体中 已知平面 ABCDEFDE ABCD ADBC o 60BAD 2AB 1DEEF 1 求证 BCEF 2 求三棱锥的体积 BDEF 16 1 因为 平面 平面 ADBCAD ADEFBC ADEF 所以平面 3 分 BCADEF 又平面 平面平面 BC BCEFBCEF ADEFEF 所以 6 分 BCEF 2 在平面内作于点 ABCDBHAD H 因为平面 平面 所以 DE ABCDBH ABCDDEBH 又 平面 ADDE ADEFADDED 所以平面 BH ADEF 所以是三棱锥的高 9 分BHBDEF 在直角三角形中 所以 ABH o 60BAD 2AB 3BH 因为平面 平面 所以 DE ABCDAD ABCDDEAD 又由 1 知 且 所以 所以 12 分 BCEF ADBC ADEFDEEF 所以三棱锥的体积 14 分BDEF 1113 1 13 3326 DEF VSBH 例八 如图 正方形所在的平面与三角形所在的平面交于 平面ABCDCDECDAE 且 CDE2ABAE 1 求证 平面 ABCDE 2 求证 平面平面 ABCD ADE 例九 如图 四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形 O为底面中心 A1O 平面ABCD 1 2ABAA O D1 B1 C1 D A C B A1 第 16 题图 F A C D E B A B C D E 第 8 题图 证明 平面A1BD 平面CD1B1 求三棱柱ABD A1B1D1的体积 答案 解 设 111 ODB线段的中点为 11111111 DBBDDCBAABCDDBBD 的对应棱是和 的对应线段是棱柱和同理 111111 DCBAABCDOAAO 为平行四边形四边形且且 11111111 OCOAOCOAOCOAOCAOOAAO 1111111111 BCDBDAODBCOOBDOACOOA面面且 证毕 的高是三棱柱面ABDDBAOAABCDOA 11111 在正方形 AB CD 中 AO 1 1 11 OAOAART中 在 11 2 2 1 2 1111 111 OASVABDDBA ABDABDDBA 的体积三棱柱 所以 1 111 111 ABDDBA VABDDBA的体积三棱柱 例十 已知直三棱柱 111 CBAABC 的底面ABC 中 90C 2 BC 2 1 BB O是 1 AB的中 点 D 是 AC 的中点 M是 1 CC的中点 1 证明 OD平面CCBB 11 2 试证 1 ABBM 1 C 1 A 1 B B M C D O A 证明 1 连CB1 O 为 1 AB中点 D为AC中点 CBOD 1 2 分 又 CB1平面CCBB 11 OD平面CCBB 11 OD 平面CCBB 11 6 分 2 直三棱柱 111 CBAABC 1 CC平面ABC AC平面ABC ACCC 1 7 分 又BCAC BCCC 1 平面CCBB 11 AC平面CCBB 11 BM 平面CCBB 11 BMAC 9 分 在BCMRt 与BCBRt 1 中 2 2 1 BB CB BC CM BCMRt BCBRt 1 CBBCBM 1 90 111 MBBCBMBMBCBB CBBM 1 12 分 CBAC 1 平面CAB1 BM平面平面CAB1 1 AB平面CAB1 1 ABBM 14 分 例十一 如图 四棱锥的底面是边长为 2 的菱形