高中数学典型例题解析导数及其应用.doc

高中数学典型例题分析第十章 导数及其应用10.1导数及其运算一、知识导学1.瞬时变化率：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数在点的瞬时变化率。2.导数：当趋近于零时，趋近于常数c。可用符号“”记作：当时，或记作，符号“”读作“趋近于”。函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作。3.导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导。这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数。于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。记为或（或）。4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。2）函数积的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。3）函数的商的求导法则：设，是可导的，则5.复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处有导数,且.6.几种常见函数的导数：(1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、疑难知识导析 1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则,应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如实际上应是。(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如选成，计算起来就复杂了。3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。4.表示处的导数，即是函数在某一点的导数；表示函数在某给定区间内的导函数，此时是在上的函数，即是在内任一点的导数。5.导数与连续的关系若函数在处可导，则此函数在点处连续，但逆命题不成立，即函数在点处连续，未必在点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。6.可以利用导数求曲线的切线方程由于函数在处的导数，表示曲线在点处切线的斜率，因此，曲线在点处的切线方程可如下求得：（1）求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：，如果曲线在点的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为.三、经典例题导讲例1已知,则 .例2已知函数判断f(x)在x=1处是否可导？分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 左右极限是否存在且相等。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即，x0，包括x0，与x0，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.例3求在点和处的切线方程。分析：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线点评： 要注意所给的点是否是切点若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标例4求证：函数图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.分析： 由导数的几何意义知，要证函数的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 例5（02年高考试题）已知，函数，设，记曲线在点处的切线为 . （1）求 的方程； （2）设 与 轴交点为，求证： ；若，则分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 . 例6求抛物线 上的点到直线的最短距离. 分析：可设 为抛物线上任意一点，则可把点到直线的距离表示为自变量的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线的距离即为本题所求. 四、典型习题导练1.函数在处不可导，则过点处，曲线的切线 （ D ） A必不存在B必定存在 C必与x轴垂直 D不同于上面结论2.在点x=3处的导数是_-1/6_.3.已知，若，则的值为_.4.已知P（1，1），Q（2，4）是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是 _. 5.如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程.6若过两抛物线和的一个交点为P的两条切线互相垂直.求证：抛物线过定点，并求出定点的坐标. 10.2导数的应用一、 知识导学1.可导函数的极值（1）极值的概念设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点.（2）求可导函数极值的步骤:求导数。求方程的根. 求方程的根.检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数在这个根处取得极小值.2.函数的最大值和最小值（1）设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行.求在内的极值.将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.二、疑难知识导析1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数取值为0的点称为函数的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数在点处有极小值=0，可是这里的根本不存在，所以点不是的驻点.(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数的导数，在点处有，即点是的驻点，但从在上为增函数可知，点不是的极值点.(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。三、经典例题导讲例1已知曲线及点，求过点的曲线的切线方程.例2已知函数在上是减函数，求的取值范围.例3当 ，证明不等式.点评：由题意构造出两个函数，.利用导数求函数的单调区间，从而导出及是解决本题的关键.例4设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?例5（2006年四川）函数，其中是的导函数.（1）对满足11的一切的值，都有0，求实数的取值范围；（2）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线3只有一个公共点.例6若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度？（照度与成正比，与成反比）分析：如图，由光学知识，照度与成正比，与成反比，即（是与灯光强度有关的常数）要想点处有最大的照度，只需求的极值就可以了. 四、典型习题导练1已知函数，若是的一个极值点，则值为 （ ）A2 B.-2 C. D.42.已知函数在处有极值为10，则= .3给出下列三对函数：， ，；其中有且只有一对函数“既互为反函数，又同是各自定义域上的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是 ， .4已知函数有极大值和极小值，求的取值范围.5已知抛物线，过其上一点引抛物线的切线，使与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求的方程.6设在上的最大值为，（1）求的表达式；（2）求的最大值.10.3定积分与微积分基本定理一、知识导学1可微：若函数在的增量可以表示为的线性函数（是常数）与较高阶的无穷小量之和:（1）,则称函数在点可微，（1）中的称为函数在点的微分，记作或.函数在点可微的充要条件是函数在可导，这时（1）式中的等于.若函数在区间上每点都可微，则称为上的可微函数.函数在上的微分记作.2微积分基本定理：如果，且在上可积.则.其中叫做的一个原函数.由于，也是的原函数，其中为常数.二、疑难知识导析1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤，这里包含着很重要的数学思想方法，只有对定积分的定义过程了解了，才能掌握定积分的应用.1）一般情况下，对于区间的分割是任意的，只要求分割的小区间的长度的最大者趋近于0，这样所有的小区间的长度才能都趋近于0，但有的时候为了解题的方便，我们选择将区间等份成份，这样只要2其中的使就可以了.2）对每个小区间内的选取也是任意的，在解题中也可选取区间的左端点或是右端点.3）求极限的时候，不是，而是.2在微积分基本定理中，原函数不是唯一的，但我们只要选取其中的一个就可以了，一般情况下选那个不带常数的。因为.3利用定积分来求面积时，特别是位于轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分的代数和.三 、经典例题导讲例1求曲线与轴在区间上所围成阴影部分的面积S.分析：面积应为各部分积分的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。例2用微积分基本定理证明（）分析：即寻找的原函数代入进行运算。例3根据等式求常数的值。1） 2）分析：利用微积分基本定理，求出原函数代入求解例4某产品生产x个单位时的边际收入（） 求生产了50个单位时的总收入。（） 如果已生产了100个单位时，求再生产100个单位时的总收入。例5一个带电量