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基于ARMA模型的江西省GDP预测（全俊羚）摘要：从时间序列的基本概念出发，以江西省1978至2012年的GDP时间序列数据为基础，建立了ARMA模型，并对江西省未来三年的GDP进行短期预测。关键词：ARMA模型；江西省；GDP；时间序列一.引言对GDP的正确预测能为政府决策者提供相关决策依据，为宏观经济的健康发展起到指导性作用。江西省作为我国重要省，在我国经济增长与社会发展中占有重要地位。据统计，江西省GDP大约占全国GDP的13%，可以看出，江西省经济在我国经济发展中占据了相当重要的地位，在一定程度上影响与决定着我国国民经济的发展力与竞争力。因此，对江西省经济发展中GDP指标的分析至关重要。ARMA模型是由美国统计学家G.E.P.Box和英国统计学家G.M.Jenkins在二十世纪七十年代提出的时间序分析模型，即自回归滑动平均模型（Autoregressive Moving Average Model）,用此模型所作的时间序列预测方法也称博克斯詹金斯（BJ）法。ARMA(p,q)模型的具体形式为：=1t-1+2 t-2+pt-p+t-1t-1-qt-q若式中q=0,称为p阶的自回归模型，记AR（p）；若式中p=0,称为q阶的滑动平均模型，记为MA（q）。运用ARMA模型的前提条件是，建立模型的时间序列是由一个零均值的平稳随机过程产生的。即其过程的随机性质具有时间上的不变性，在图形上表现为所有的样本点皆在某一水平线上下随机地波动。二正文1）.ARMA ( p , q )模型ARMA模型是由 AR ( p )和 MA( q )的有效组合和搭配的结果, 它的基本思想是: 将预测对象随时间推移而形成的时间序列数据视为一个随机序列, 用一定的数学模型来近似描述这个序列, 这个模型一旦被识别后就可以从时间序列数据的过去值及现在值来预测未来值.ARMA ( p , q )模型的一般形式表明时间序列数据t既和滞后序列t-i( i=1,2, , p)有关, 也和滞后序列的误差t-i有关,t是独立于t-i和t-i的白噪声序列. 在对原始数据平稳化处理后, 可以通过分析数据的差序列, 得到ARMA模型中的p 和 q 的值以及模型中其它各个参数的值, 其中 p 和 q 分别为偏自相关函数和自相关函数显著不为零的最高阶数.2）江西省GDP相关数据的收集整理现以表1中的江西省19782012各年的GDP资料，使用Eviews6.0软件进行GDP 数据分析。表1 1978年至2012年江西省GDP （单位：亿元）年份GDP年份GDP年份GDP年份GDP1978871988325.8319981719.87200864801979104.151989376.4619991853.65200975891980111.151990428.6220002003.07201094351981121.261991479.3720012175.68201111583.81982133.961992572.5520022450.48201212948.51983144.131993723.0420032807.411984169.111994948.1620043456.71985207.8919951169.7320054056.761986230.8219961409.7420064670.531987262.919971605.7720075500.253) 数据的平稳性检查根据19782012年江西省GDP时间序列数据资料，下面绘制江西省GDP数据的时间序列图（见图1）。从图1可以看出，近35年来江西省GDP呈现出明显的增长趋势，特别是在1995年以后呈现出强劲的增长势头。从19782012年整个时期来看，GDP呈现出指数增长趋势，具有明显的非平稳性。非平稳的数据是不能用来建立时间序列模型，这时需要对数据进行平稳化处理。4） 数据平稳化处理如果用非平稳序列来如果用非平稳序列来建立模型, 就会出现虚假回归问题, 即尽管基本序列不存在任何关系, 也会得到回归模型. 当随机变量不平稳时, 统计量的拒绝域远远超过了检验的正常值, 由按照一般的检验方法得出的接受假设很可能是错误的. 因此, 要建立模型, 随机序列必须是平稳的。对于含有指数增长趋势的时间序列通过取对数将指数趋势化为线性趋势，然后再进行差分，消除线性趋势。 下面绘制取对数后的序列图（见图2）.图 3 发现ADF检验t的值为0.484454，这一数值大于10%置信水平下的t统计量临界值-2.615817，所以接受序列LOGS具有单位根的假设。即序列LOGS仍是非平稳的。因此需要继续对序列 LOGS 进行平稳化处理。由图2 表 3知取对数后的数据仍然不平稳具有线性趋势。图 1 1978-2012 年江西省 GDP 时序图图 2 经过自然对数变换后的序列图表 2 自然对数后的ADF单位根检验对于有线性趋势的时间序列我们常常通过差分处理来消除数据的线性趋势. 相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算. 表达式为:t=t-t-1依此类推, 对 p 1阶差分后序列再进行一次1阶差分运算称为 p 阶差分. 表达式为: pt=p-1t-p-1t-1. 经过1阶差分处理后的数据在Eviews中作图如图3.，表3平稳。其中自相关图与偏相关图如 图4.可知为非白噪声的。则，一阶差分后，数据为平稳的非白噪声，可以建模。图 3 一阶差分变换后的序列图表 3 一阶差分后的ADF单位根检验图 4 一阶差分后的自相关图与偏相关图根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质, 平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动, 而且波动的范围有界的特点. 由图3显示经过处理后的数据值始终围绕在0。16附近随机波动没有明显的趋势或则周期, 基本可以视为平稳序列。 为了稳妥起见, 再利用了自相关图与偏相关图进一步辅助识别。 如图6所示，Prob0.05,则为非白噪声。一阶差分的自相关函数和偏自相关函数均是拖尾的。利用Eviews6.0对序列DLG进行ADF单位根检验，（表 3）发现ADF检验t的值为-3.106674，这一数值小于5%置信水平下的t统计量临界值-2.954021，所以拒绝序列DS2 具有单位根的假设。说明一阶差分所得的序列在95%的置信区间上是平稳的。即序列DLG是平稳的。5）模型识别与建立ARMA 模型的识别与定阶可以通过样本的自相关与偏自相关函数图观察得到。 根据LOGS时间序列进行二阶差分后所得的自相关和偏自相关图(图 4) 可以很明显的看出，p选择1，q可以选择1。 综合考虑，可能合适的( p，q) 组合有(1,1)，剔除AR(1)。表4 模型建立通过AIC准则确定一组最精确的阶数。AIC 值可以在极大似然基础上对模型阶数和相应参数给出最佳估计，AIC值越小表明该模型越理想。但值最小的模型并不一定最精确，还应同时考虑参数显著性检验和残差随机性检验的结果，表现为模型的DW检验值和t检验值。利用Eviews6.0各种组合来选择最优模型，由表4，可以知道最优模型各项指标最为合适，在主窗口命令栏输入即得到参数估计结果见表4。分别为：AIC值-3.365211，DW检验值1.853643，t检验值可信度为96.42%。6） 模型的参数估计与评价对残差序列进行平稳性和随机性检验以评估ARMA (0,1)模型的拟合效果。因此残差序列相互独立，不存在自相关。即上述 ARMA（0,1）模型通过了检验。参数估计后，应对拟合模型的适应性进行检验，实质是对模型残差序列进行白噪声检验。若残差序列不是白噪声，说明还有一些重要信息没被提取，应重新设定模型。可以对残差进行纯随机性检验，也可用针对残差的2检验。残差的相关图5，相关图显示，残差为白噪声，也显示拟合模型有效，模型拟合图见图 6。图 5 ARMA(0,1)模型残差相关图图 6 ARMA（0,1）模型拟合图7） 模型预测用拟合的有效模型进行短期预测，预测未来3年的GDP，首先需要扩展样本期，在命令栏输入expand 1978 2015。，回车则样本序列长度就变成2015了，且最后面3个变量值为空。动态预测如图 7。图 7序列动态预测图预测值存放在LGF序列中，此时我们可以观察原序列LG和LGf之间的动态关系拟合不好。进行静态预测，见图 8，预测值仍然存放在LGf中，做LG和LGf图9，可以看出静态预测效果不错。图 8静态预测图图 9预测效果图经过向前3步预测，LG的未来3年预测值分别为9.585711和9.754817,9.916921。则未来三年GDP分别为14555.31和17237.06,20270.48从表 5 中看出，2010 2012 年的实际值与拟合值误差百分比的绝对值基本在 5% 之下，再次说明了模型的拟合效果比较好。表 5 模型预测的相对误差表表 6江西省20132015年GDP的预测值年份201320142015预测值14555.3117237.0620270.48从预测结果来看，江西省 GDP 在未来几年将会持续高速增长，人民的生活水平将显著提高，预 计 到 2015 年江西省GDP 将 达 到20270.48亿元。这意味着江西省已经进入经济持续发展的快车道， GDP 增长一方面是因为经济的发展，另一方面是因为通货膨胀的加剧，所以在经济高速发展、GDP 上升的过程中，还需要预防经济过热带来的通胀。三 . 结论本文以江西省 GDP 为例，利用 ARMA 模型对江西省20132015 年间GDP 进行了预测分析。 由于原始的江西省 GDP 为非平稳时间序列，且时序图为指数式增长，所以本文对原始数列取对数以消除指数增长趋势，然后用一阶差分的形式把 ln( GDP) 序列化为平稳时间序列，再用 ARMA 模型进行拟合 结果表明，ARMA 模型能够很好的预测GDP 增长的序列值，这将为其他省GDP的估计和预测提供很好的借鉴思路。参考文献:1汪宇明中国省区经济研究M.上海:华东师范大学出版社，2000: 6-352 赵婷.ARMA在我国GDP预测中的应用J中国市场，2011(1) : 60-623 刘亮，唐海萍，张丽军基于ARMA 模型的财政教育投资时间序列分析北京师范大学学报( 自然科学版) ，2010，46( 2) : 194 1964 全福生，彭白玉 ARMA 模型在中国股市中的应用J 衡阳师范学院学报，2009，30( 3) : 26 285 黄艺婵 基于 ARMA 模型的人民币汇率预测研究J 商业时代，2009( 20) : 906 王燕 应用时间序列分析M 北京: 中国人民大学出版社，20057