2016年广东省肇庆市高考数学三模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年广东省肇庆市高考数学三模试卷（文科） 一 大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|0， B=x|x 1，则（ ） A AB= B A B=R C B A D A B 2若复数 z 满足（ 1+2i） z=（ 1 i），则 |z|=（ ） A B C D 3一个总体中有 100 个个体，随机编号为 0， 1， 2， 3， ， 99，依编号顺序平均分成 10个小组，组号依次为 1， 2， 3， 10现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本，规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m，那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 号码的个位数字相同，若 m=6，则在第 7 组中抽取的号码是（ ） A 66 B 76 C 63 D 73 4在函数 y=y=ex+， y=函数的个数是（ ） A 3 B 2 C 1 D 0 5直线 l： x 2y+2=0 过椭圆 的一个顶点则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 6已知数列 足 ， 1=n（ n 2），则数列 通项公式 ） A B C n+1 D 2n+2 7如图是计算 + + + 的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（ ） A i 10 B i 10 C i 20 D i 20 8已知 ，且 为第二象限角，则 =（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 9一个几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积是（ ） A 70在 ， ，则边 的高为 （ ） A B C D 11在球内有相距 1两个平行截面，截面面积分别是 5 8心不在截面之间，则球面的面积是（ ） A 36 27 20 122已知函数 f（ x） = 满足条件，对于 R，存在唯一的 R，使得f（ =f（ 当 f（ 2a） =f（ 3b）成立时，则实数 a+b=（ ） A B C +3 D +3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知 x， y 满足不等式 ，则函数 z=2x+y 取得最大值等于 14在 ，若 ，则 值等于 15以 = 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 16已知函数 f（ x） =x+）（ 0），若 f（ x）的图象向左平移 个 单位所得的图象与 f（ x）的图象向右平移 个单位所得的图象重合，则 的最小值为 三 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知等差数列 前 n 项和 足 ， 5 第 3 页（共 20 页） （ ）求 通项公式； （ ）设 ，求数列 前 n 项和 18某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为 1 至 10 分，随机调阅了 A、 0 名学生的成绩，得 到样本数据如表： B 校样本数据统计表： 成绩（分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数（个） 0 0 0 9 12 21 9 6 3 0 （ ）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较 （ ）从 A 校样本数据成绩分别为 7 分、 8 分和 9 分的学生中按分层抽样方法抽取 6 人，若从抽取的 6 人中任选 2 人参加更高一级的比赛，求这 2 人成绩之和大于或等于 15 的概率 19如图， 平行四边形，已知 ， E，平面 平面 （ ）证明： （ ）若 ，求三棱锥 B 高 20已知点 2， 3）， 0， 1），圆 C 是以 中点为圆心， |半径的圆 （ ）若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上截距相等，求切线方程； （ ）若 P（ x， y）是圆 C 外一点，从 P 向圆 C 引切线 M 为 切点， O 为坐标原点，且有 |求使 |小的点 P 的坐标 21已知函数 f（ x） =（ a ） x2+g（ x） =f（ x） 2a R） （ 1）当 a=0 时，求 f（ x）在区间 ， e上的最大值和最小值； （ 2）若对 x （ 1， +）， g（ x） 0 恒成立，求 a 的取值范围 第 4 页（共 20 页） 选修 4何证明选讲 22如图所示， O 的直径， O 的切线， B、 D 为切点 （ 1）求证： （ 2）若 O 的半径为 1，求 C 的值 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，曲线 参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 2+24=0 （ ）把 参数方程化为极坐标方程； （ ）求 点的极坐标（ 0， 0 2） 选修 4等式选讲 24已知 a 0， b 0，且 a+b=1 （ ）求 最大值； （ ）求证： 第 5 页（共 20 页） 2016 年广东省肇庆市高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一 大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|0， B=x|x 1，则（ ） A AB= B A B=R C B A D A B 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【分析】 由 0，解得 x 1，再 利用集合运算性质即可得出 【解答】 解：由 0，解得 x 1 A=1， +） 又 B=x|x 1， AB=1 ， A B=R， 故选： B 2若复数 z 满足（ 1+2i） z=（ 1 i），则 |z|=（ ） A B C D 【考点】 复数求模 【分析】 由（ 1+2i） z=（ 1 i），得 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数求模公式则答案可求 【解答】 解：由（ 1+2i） z=（ 1 i）， 得 = ， 则 |z|= 故选： C 3一个总体中有 100 个个体，随机编号为 0， 1， 2， 3， ， 99，依编号顺序平均分成 10个小组，组号依次为 1， 2， 3， 10现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本，规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m，那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 号码的个位数字相同，若 m=6，则在第 7 组中抽取的号码是（ ） A 66 B 76 C 63 D 73 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据总体的容量比上样本的容量求出间隔 k 的值，再根据系统抽样方法的规定，求出第 7 组中抽取的号码是： m+60 的值 【解答】 解：由题意知，间隔 k= =10， 在第 1 组随机抽取的号码为 m=6， 6+7=13， 在第 7 组中抽取的号码 63 故选 C 4在函数 y=y=ex+， y=函数的个数是（ ） 第 6 页（共 20 页） A 3 B 2 C 1 D 0 【考点】 函数奇偶性的判断 【分析】 根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可 【解答】 解： f（ x） = x） = f（ x），则 y=奇函数，不满足条件 当 x=1 时， f（ 1） =e+1，当 x= 1 时， f（ 1） = +1 f（ 1），则 y=ex+是偶函数，不满足条件 由 2 0 得 x 或 x ， 此时 f（ x） =则 y=是偶函数， f（ x） = x） =f（ x），则 y=偶函数，满足条件 故偶函数的个数为 2 个， 故选： B 5直线 l： x 2y+2=0 过椭圆 的一个顶点则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 【考点】 椭圆的 简单性质 【分析】 求出直线在 y 轴上的截距，可得 b=1，求得 a 和 c，运用离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：直线 l： x 2y+2=0 过点（ 0， 1）， 由题意可得 b=1， 则椭圆方程为 +， 即有 a= ， b=1， c= =2， 即有 e= = = 故选： D 6已知数列 足 ， 1=n（ n 2），则数列 通项公式 ） A B C n+1 D 2n+2 【考点】 数列递推式 【分析】 利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可 【解答】 解：数列 足： ， 1=n（ n 2， n N*）， 可得 第 7 页（共 20 页） 1=n 以上各式相加可得： +2+3+n= n（ n+1）， 故选： A 7如图是计算 + + + 的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的 条件是（ ） A i 10 B i 10 C i 20 D i 20 【考点】 程序框图 【分析】 根据算法的功能是计算 + + + 的值，确定终止程序运行的 i=11，由此可得判断框中应填入的条件 【解答】 解：根据算法的功能是计算 + + + 的值， 终止程序运行的 i=11， 判断框中应填入的条件是： i 10 或 i 11 故选： B 8已知 ，且 为第二象限角，则 =（ ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 由题意和同角三角函数基本关系和二倍角公式可得 由两角和的正切公式代入计算可得 【解答】 解： ，且 为第二象限角， = ， 第 8 页（共 20 页） = ， = ， = = ， 故选： D 9一个几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积是（ ） A 7考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是棱长为 2 的正方体截取三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出 几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是棱长为 2 的正方体 截取三棱锥 A 中 B、 D 分别中点， 则 D=1，且 平面 几何体的体积 V= = （ 故选： A 第 9 页（共 20 页） 10在 ， ，则边 的高为（ ） A B C D 【考点】 三角形中的几何计算 【分析】 由点 B 向 垂线，交点为 D，设 AD=x，则 x，利用勾股定理可知= 进而解得 x 的值，再利用勾股定理求得 【解答】 解：由点 B 向 垂线，交点为 D 设 AD=x，则 x， = ，解得 x= = 故选 B 11在球内有相距 1两个平行截面，截面面积分别是 5 8心不在截面之间，则球面的面积是（ ） A 36 27 20 12考点】 球内接多面体 【分析】 画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题 【解答】 解：由题意画轴截面图， 截面的面积为 5，半径为 ， 截面的面积为 8的圆的半径是 2 ， 设球心到大截面圆的距离为 d， 球的半径为 r，则 5+（ d+1） 2=8+ d=1， r=3， 球面的面积是 46 故选： A 12已知函数 f（ x） = 满足条件，对于 R，存在唯一的 R，使得f（ =f（ 当 f（ 2a） =f（ 3b）成立时，则实数 a+b=（ ） A B C +3 D +3 【考点】 分段函数的应用 第 10 页（共 20 页） 【分析】 根据条件得到 f（ x）在（ ， 0）和（ 0， +）上单调，得到 a， b 的关系进行求解即可 【解答】 解：若对于 R，存在唯一的 R，使得 f（ =f（ f（ x）在（ ， 0）和（ 0， +）上单调， 则 b=3，且 a 0， 由 f（ 2a） =f（ 3b）得 f（ 2a） =f（ 9）， 即 2= +3=3+3， 即 a= ， 则 a+b= +3， 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知 x， y 满足不等式 ，则函数 z=2x+y 取得最大值等于 12 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求出最值即可 【解答】 解：由约束条件作出可行域如图， 由图可知，使目标函数 z=2x+y 取得最大值时过点 B， 联立 ，解得 ， 故 z 的最大值是： z=2 5+2=12， 故答案为： 12 14在 ，若 ，则 值等于 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由已知向量的坐标求出 的坐标，再求出 ， | |， | |，代入数量积求夹角公式得答案 【解答】 解： ， 第 11 页（共 20 页） = + =（ 1， 2）， =2 1+（ 1） （ 2） =4， | |= = ， | |= = ， = = ， 故答案为： 15以 = 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 【考点】 椭圆的标准方程 【分析】 由题意设所求的椭 圆方程为 ，且 ，由此能求出所求的椭圆的方程 【解答】 解： = 1 的标准方程为 ， 该双曲线的焦点坐标为 0， 4）， 0， 4）， 顶点坐标为 0， 2 ）， 0， 2 ）， 由题意设所求的椭圆方程为 ， 且 ， 2 =4， 所求的椭圆的方程为 故答案为： 16已知函数 f（ x） =x+）（ 0），若 f（ x）的图象 向左平移 个单位所得的图象与 f（ x）的图象向右平移 个单位所得的图象重合，则 的最小值为 4 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件利用函数 y=x+）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得 的最小值 第 12 页（共 20 页） 【解答】 解：函数 f（ x） =x+）（ 0），把 f（ x）的图象向左平移 个单位所得的图象为 y=（ x+ ） +=x+ +）， 把 f（ x）的图象向右平移 个单位所得的图象为 y=（ x ） +=x +）， 根据题意可得， y=x+ +）和 y=x +）的图象重合， 故 +=2+，求得 =4k，故 的最小值为 4， 故答案为： 4 三 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知等差数列 前 n 项和 足 ， 5 （ ）求 通项公式； （ ）设 ， 求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ I）利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 （ 用 “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ I）设等差数列 公差为 d， ， 5 =6， =15， 解得 a1=d=1 +（ n 1） =n （ = ， 数列 前 n 项和 + + ， = + + + ， + = =1 18某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为 1 至 10 分，随机调阅了 A、 0 名学生的成绩，得到样本数据如表： B 校样本数据统计表： 第 13 页（共 20 页） 成绩（分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数（个） 0 0 0 9 12 21 9 6 3 0 （ ）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较 （ ）从 A 校样本数据成绩分别为 7 分、 8 分和 9 分的学生中按分层抽样方法抽取 6 人，若从抽取的 6 人中任选 2 人参加更高一级的比赛，求这 2 人成绩之和大于或等 于 15 的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ ）分别求出 A 校样本的平均成绩、方差和 B 校样本的平均成绩、方差，从而得到两校学生的计算机成绩平均分相同， A 校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比较集中， （ ）根据分成抽样求出故抽取的 7 分有 4 人即为 A， B， C， D， 8 分和 9 分的学生中各为1 人，记为 a， b，一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可 【解答】 解：（ ）从 A 校样本数据 的条形图知： 成绩分别为 4 分、 5 分、 6 分、 7 分、 8 分、 9 分的学生分别有： 6 人、 15 人、 21 人、 12 人、 3 人、 3 人 A 校样本的平均成绩为： = （ 4 6+5 15+6 21+7 12+8 3+9 3） =6（分）， A 校样本的方差为 6（ 4 6） 2+15（ 5 6） 2+21（ 6 6） 2+12（ 7 6） 2+3（ 8 6）2+3（ 9 6） 2= 从 B 校样本数据统计表知： B 校样本的平均成绩为： = （ 4 9+5 12+6 21+7 9+8 6+9 3=6（分）， B 校样本的方差为 9（ 4 6） 2+12（ 5 6） 2+21（ 6 6） 2+9（ 7 6） 2+6（ 8 6）2+3（ 9 6） 2= = ， 两校学生的计算机成绩平均分相同， A 校学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比较集中 （ ） A 校样本数据成绩分别为 7 分、 8 分和 9 分的学生中按分层抽样方法抽取 6 人，由于7 分、 8 分、 9 分的学生分别有 12 人， 3 人， 3 人， 第 14 页（共 20 页） 故抽取的 7 分有 6 =4 人即为 A， B， C， D， 8 分和 9 分的学生中各为 1 人，记为a， b， 故从抽取的 6 人中任选 2 人参加更高一级的比赛，共有 a， 有 15 种， 其中 2 人成绩之和大于或等于 15 的分的有 9种， 故这 2 人成绩之和大于或等于 15 的概率 P= = 19如图， 平行四边形，已知 ， E，平面 平面 （ ）证明： （ ）若 ，求三棱锥 B 高 【考点】 平面与平面垂直的性质 【分析】 （ I）根据勾股定理的逆定理可证 面面垂直的性质可得 平面 （ 点 F，连接 平面 用勾股定理求出 F， 出 S 据等体积法计算棱锥的高 【解答】 证明：（ I） 四边形 平行四边形， B=4， ， ， 又平面 平面 面 面 C， 平面 平面 平面 （ 中点 F，连接 C， 平面 平面 面 面 C， 平面 E= ， ， ， = ， = ， = ， = = =2 第 15 页（共 20 页） = ， S = = 设 B 到平面 高为 h， 则 = =2 ， h= 三棱锥 B 高位 20已知点 2， 3）， 0， 1），圆 C 是以 中点为圆心， |半径的圆 （ ）若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上截距相等，求切线方程； （ ）若 P（ x， y）是圆 C 外一点，从 P 向圆 C 引切线 M 为切点， O 为坐标原点，且有 |求使 |小的点 P 的坐标 【考点】 直线和圆的方程的应用 【分析】 （ ）求出圆心与半径，可得圆 C 的方程，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程， 即可得出结论； （ ）先确定 P 的轨迹方程，再利用要使 |小，只要 |小即可 【解答】 解：（ ） 点 2， 3）， 0， 1），圆 C 是以 中点为圆心， |半径的圆 C（ 1， 2）， | 圆 C 的方程为（ x+1） 2+（ y 2） 2=2， 当切线过原点时，设切线方程为 y= = ， k=2 ，即切线方程为 y=（ 2 ） x 当切线不过原点时，设切线方程为 x+y=a，则 = ， a= 1 或 a=3，即切线方程为 x+y+1=0 或 x+y 3=0 综上知，切线方程为 y=（ 2 ） x 或 x+y+1=0 或 x+y 3=0； （ ）因为 |+，所以 =（ ） 2+（ 2） 2，即 24=0 要使 |小，只要 |小即可 当直线 直于直线 2x 4y+3=0 时，即直线 方程为 2x+y=0 时， |小， 第 16 页（共 20 页） 此时 P 点即为两直线的交点，得 P 点坐标（ ， ） 21已知函数 f（ x） =（ a ） x2+g（ x） =f（ x） 2a R） （ 1）当 a=0 时，求 f（ x）在区间 ， e上的最大值和最小值； （ 2）若对 x （ 1， +）， g（ x） 0 恒成立，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数，通过讨论 b 的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值； （ 2）求出 g（ x）的导数，通过讨论 a 的范围，确定函数的单调区间，从而求出 a 的范围 【解答】 解：（ 1）函数 的定义域为（ 0， +）， 当 a=0 时， ， ； 当 ，有 f（ x） 0；当 ，有 f（ x） 0， f（ x）在区间 ， 1上是增函数，在 1， e上为减函数， 又 ， ， ， ， （ 2） ， 则 g（ x）的定义域为（ 0， +）， 若 ，令 g（ x） =0，得极值点 ， ， 当 ，即 时， 在（ 0， 1）上有 g（ x） 0，在（ 1， 有 g（ x） 0， 在（ +）上有 g（ x） 0， 此时 g（ x）在区间（ +）上是增函数， 并且在该区间上有 g（ x） （ g（ +），不合题意； 当 ，即 a 1 时，同理可知， g（ x）在区间（ 1， +） 上， 有 g（ x） （ g（ 1）， +），也不合题意； 若 ，则有 2a 1 0，此时在区间（ 1， +）上恒有 g（ x） 0， g（ x）在（ 1， +）上是减函数； 第 17 页（共 20 页） 要使 g（ x） 0 在此区间上恒成立， 只须满足 ， a 的范围是 ， 综合 可知，当 时，对 x （ 1， +）， g（ x） 0 恒成立 选修 4何证明选讲 22如图所示， O 的直径， O 的切线， B、 D 为切点 （ 1）求证： （ 2）若 O 的半径为 1，求 C 的值 【考点】 圆的切线的性质定理的证明