2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文数.docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第卷(选择题,共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.设集合M=x|x2=x,N=x|lg x0,则MN=() A.0,1B.(0,1C.0,1)D.(-,12.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.1673.已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)4.设f(x)=1-x,x0,2x,x0,则f(f(-2)=()A.-1B.14C.12D.325.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3B.4C.2+4D.3+46.“sin =cos ”是“cos 2=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.根据下边框图,当输入x为6时,输出的y=()A.1B.2C.5D.108.对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b29.设f(x)=x-sin x,则f(x)()A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数10.设f(x)=ln x,0ab,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b),则下列关系式中正确的是()A.q=rpC.p=rq11.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元12.设复数z=(x-1)+yi(x,yR),若|z|1,则yx的概率为()A.34+12B.12+1C.14-12D.12-1第卷(非选择题,共90分)二、填空题:把答案填写在横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为.14.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin6x+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为.15.函数y=xex在其极值点处的切线方程为.16.观察下列等式1-12=121-12+13-14=13+141-12+13-14+15-16=14+15+16据此规律,第n个等式可为.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.()求A;()若a=7,b=2,求ABC的面积.18.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.()证明:CD平面A1OC;()当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为362,求a的值.19.(本小题满分12分)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨()在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;()西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.20.(本小题满分12分)如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点A(0,-1),且离心率为22.()求椭圆E的方程;()经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.21.(本小题满分12分)设fn(x)=x+x2+xn-1,x0,nN,n2.()求f n(2);()证明:fn(x)在0,23内有且仅有一个零点(记为an),且0an-121323n.考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,AB切O于点B,直线AO交O于D,E两点,BCDE,垂足为C.()证明:CBD=DBA;()若AD=3DC,BC=2,求O的直径.23.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3+12t,y=32t(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为=23sin .()写出C的直角坐标方程;()P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.24.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4.()求实数a,b的值;()求at+12+bt的最大值.答案一、选择题1.A由题意知M=0,1,N=x|00)的准线方程为x=-p2,由题设知-p2=-1,即p2=1,所以焦点坐标为(1,0).故选B.4.Cf(-2)=2-2=14,f(f(-2)=f 14=1-14=12,选C.5.D由三视图可知该几何体为半圆柱,其底面半径为1,高为2,从而该几何体的表面积为21212+2+4=3+4.故选D.6.A由cos 2=cos2-sin2知,当sin =cos 时,有cos 2=0,反之,由cos2=sin2不一定有sin =cos ,从而“sin =cos ”是“cos 2=0”的充分不必要条件.故选A.7.D输入x=6,则x=3,满足条件;x=0,满足条件;x=-3,不满足条件,退出循环,y=(-3)2+1=10,输出y.故选D.8.B设向量a,b的夹角为,因为ab=|a|b|cos ,所以|ab|=|a|b|cos |a|b|,A成立;由向量的运算律易知C,D成立.故选B.9.B易得f(x)是奇函数,由f (x)=1-cos x0恒成立,可知f(x)是增函数,故选B.10.C由题意知f(ab)=lnab=12ln(ab)=12(ln a+ln b)=12(f(a)+f(b),从而p=r.因为a+b2ab, f(x)=ln x在(0,+)上为增函数,所以fa+b2f(ab),即qp,从而p=rq,选C.11.D设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z万元,则由题设可得3x+2y12,x+2y8,x0,y0,z=3x+4y.画出可行域(图略),利用线性规划知识可求得zmax=18,故选D.12.C利用复数的几何意义可知|z|1表示的区域为以(1,0)为圆心,1为半径的圆及其内部,此区域内满足yx的点对应的区域如图中阴影部分所示,故所求概率P=14-12=14-12,故选C.二、填空题13.答案5解析设该数列的首项为a1,根据等差数列的性质可得a1+2 015=21 010,从而a1=5.14.答案8解析由y=3sin6x+k可知,ymin=-3+k,所以-3+k=2,即k=5,所以ymax=3+k=8.15.答案y=-1e解析由y=xex可得y=ex+xex=ex(x+1),从而可得y=xex在(-,-1)上递减,在(-1,+)上递增,所以当x=-1时,y=xex取得极小值-e-1,因为y|x=-1=0,故切线方程为y=-e-1,即y=-1e.16.答案1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n解析规律为等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2,2n,分子为1,奇数项为正、偶数项为负,即为1-12+13-14+12n-1-12n;等式右边共有n项且分母分别为n+1,n+2,2n,分子为1,即为1n+1+1n+2+12n.所以第n个等式可为1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n.三、解答题17.解析()因为mn,所以asin B-3bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-3sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=3,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为12bcsin A=332.解法二:由正弦定理,得7sin 3=2sinB,从而sin B=217,又由ab,知AB,所以cos B=277.故sin C=sin(A+B)=sinB+3=sin Bcos 3+cos Bsin 3=32114.所以ABC的面积为12absin C=332.18.解析()在题图1中,因为AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,BAD=2,所以BEAC.即在题图2中,BEA1O,BEOC,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.()由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由()知,A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图1知,A1O=22AB=22a,平行四边形BCDE的面积S=BCAB=a2.从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=13SA1O=13a222a=26a3,由26a3=362,得a=6.评析本题首先借“折叠”问题考查空间想象能力,同时考查线面垂直的判定及面面垂直性质的应用.19.解析()在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为1315.()称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为78.20.解析()由题设知ca=22,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=2.所以椭圆E的方程为x22+y2=1.()证明:由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k2),代入x22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由已知可知0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,则x1+x2=4k(k-1)1+2k2,x1x2=2k(k-2)1+2k2.从而直线AP,AQ的斜率之和kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2-kx1+kx2+2-kx2=2k+(2-k)1x1+1x2=2k+(2-k)x1+x2x1x2=2k+(2-k)4k(k-1)2k(k-2)=2k-2(k-1)=2.评析本题考查椭圆标准方程与简单性质的同时,重点考查直线与椭圆的位置关系.21.解析()解法一:由题设知f n(x)=1+2x+nxn-1.所以f n(2)=1+22+(n-1)2n-2+n2n-1, 则2f n(2)=2+222+(n-1)2n-1+n2n, -得,-f n(2)=1+2+22+2n-1-n2n=1-2n1-2-n2n=(1-n)2n-1,所以f n(2)=(n-1)2n+1.解法二:当x1时,fn(x)=x-xn+11-x-1,则f n(x)=1-(n+1)xn(1-x)+(x-xn+1)(1-x)2,可得f n(2)=-1-(n+1)2n+2-2n+1(1-2)2=(n-1)2n+1.()证明:因为f(0)=-10,所以fn(x)在0,23内至少存在一个零点.又f n(x)=1+2x+nxn-10,所以fn(x)在0,23内单调递增,因此fn(x)在0,23内有且仅有一个零点an.由于fn(x)=x-xn+11-x-1,所以0=fn(an)=an-ann+11-an-1,由此可得an=12+12ann+112,故12an23.所以0an-12=12ann+11223n+1=1323n.22.解析()证明:因为DE为O直径,则BED+EDB=90,又BCDE,所以CBD+EDB=90,从而CBD=BED.又AB切O于点B,得DBA=BED,所以CBD=DBA.()由()知BD平分CBA,则BABC=ADCD=3,又BC=2,从而AB=32.所以AC=AB2-BC2=4,所以AD=3.由切割线定理得AB2=ADAE,即AE=AB2AD=6,故DE=AE-AD=3,即O直径