从2008年几道高考题看一个普通公式的重要.doc

从2008年几道高考题看一个普通公式的重要性在高考试题中，常有直线与圆锥曲线的位置关系的问题.这是高考的热点问题之一.解决直线与圆锥曲线的问题，常常要应用弦长公式：，（即），或，或.虽然此公式并不怎么惹人注意，但是近年来，似乎应用它即可获得解决问题的“突破口”.如果巧妙灵活地应用此公式解决直线与圆锥曲线的问题，常能收到意想不到的效果.本文试图对此问题进行探索.问题、（2008年高考文科数学试题全国卷1，最后一题即第22题）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列，且同向. （）求双曲线的离心率；（）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.问题的分析：第（）小题中，有“截得的线段的长为4”这一句话，如果联想到弦长公式，则已找到问题的“突破口”！我们不妨设双曲线方程为于是由于且由已知：于是则由于同向，于是，（舍去），由此可得由可得双曲线方程：因为的斜率为可得直线的方程：把代入，得我们设与双曲线的两个交点分别为，于是：则 解得，双曲线方程为探索结论：在选准“突破口”后，一点破解，全局活！在应用弦长公式中，还要借助于韦达定理，并在思想方法上要领会要领，否则将半途而废.问题2、（2008年福建文科数学高考试题最后一题，即第22题），如图，椭圆：的一个焦点为且过点（）求椭圆的方程；（）若为垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与交于点，（）求证：点恒在椭圆上；（）求面积的最大值.问题的分析：对于（），我们设的方程为代入则设于是，不妨令于是有由于这时候过点.于是.探索结论：虽然本题是高考试卷的最后一道试题，但是抓住了：普通的公式，就可巧妙地得出所以，对于“普通而平凡”的公式，不能小觑它.问题3、（2008年湖南高考理工农医类数学试题第20题）若是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与 轴相交于点，则称弦 是点的一条“相关弦”.已知时，点存在无数多条“相关弦”.给定.（）证明：点的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；（）试问：点的“相关弦”的弦长中，是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示）；若不存在，请说明理由.问题的分析：对于第（）小题，可以用弦长公式快速突破.我们不妨设是点的任意一条“相关弦”， 坐标分别为，于是，两式相减，得设直线的斜率为，弦的中点是于是，则可得弦的直线方程：把它代入，得设点的“相关弦”的弦长为，于是 ，如果有最大值；如果则，在上是的减函数，而不存在最大值.探索结论：我们从2008年全国及各地的高考试卷中看到，已有好几份试卷的压轴题，其解决过程中，都需要应用到平时不显眼的极其普通的弦长公式. 我们发现弦长公式多次应用在最后的“压轴题”中，有必要提醒老师和同学：加强对它的应用和训练. 当然，还要结合：函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活应用.探索小结：（一）、哪些题型可适用此公式呢？我们在探索中发现：（1）若在题目中出现直线与圆锥曲线的方程，且进一步给出：“所截得的线段的长”.例如：直线与椭圆交于两点，为坐标原点，为线段的中点，若，直线的斜率为，求椭圆的方程；（2）若在题目中出现直线与圆锥曲线的方程，要求解弦的长的最大值，或某个面积的最大值等.如：若直线与椭圆相交于两点，求弦长的最大值；（3）若在题目中出现直线与圆锥曲线的方程，要求某参数的值.例如：直线截椭圆所得弦长为3，求的值；（4）若在题目中出现直线与圆锥曲线的方程，并给出某三角形的面积，要求直线的倾斜角.例如：已知动直线与抛物线相交于点，动点的坐标是.求线段中点的轨迹的方程；若过点的直线交轨迹于两点，点的坐标为，若的面积为4，求直线的倾斜角的值；（5）若在题目中出现直线与圆锥曲线的方程，以及某些相关的条件，要求某个“存在性”问题等.当然，弦长公式还有很多的应用，希望大家能在实践中进一步去探索.（二）、我们在教学中应注意到：（1）充分注意“弦长公式”这一极普通的“存在”.因为它已在近几年特别是今年的多份（全国及各省）试卷中，发挥了它的威力；（2）平时及高考复习时，多准备一些这方面的试题，作为“压轴题”，供学生探索；（3）要向学生特别指出：首先要把直线方程与圆锥曲线方程联立，得出方程组，再把直线方程代入圆锥曲线方程，以便应用韦达定理，再代入弦长公式；（4）特别要向学生指出：求某些参