数学人教版八年级下册17.1勾股定理及其证明.doc

人教版初中数学八年级下册 第十七章勾股定理17.1 勾股定理 第1课时教学目标：1.知识与技能：知道勾股定理的由来，理解和掌握勾股定理的证明方法，应用网络查询资料。2.过程与方法：让学生经历“观察猜想归纳验证”的数学过程，并从中体会数形结合及从特殊到一般的数学思想。3.情感态度与价值观：介绍我国古代在研究勾股定理方面取得的伟大成就，激发学生爱国情感。在探索问题的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神。教学重点：重点是勾股定理的发现、验证和应用。教学难点：用拼图方法、面积法证明勾股定理。教学过程：问题情境师生活动设计意图一、 情境引入引言通过学生讲故事和对勾股定理的理解，共同学习探索勾股定理学生讲故事在学生已有知识的基础上开始勾股定理的探索对学生有一定的了解二、探究新知问题1：在网格中的一般直角三角形（图3），以它的三边为边长的三个正方形A,B,C是否也有类似的面积关系？（在图3的方格纸中，每个小方格的面积均为1.）追问：正方形A,B,C所围成的直角三角形三遍之间有怎样的特殊关系？图3问题2：通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间应该有什么关系？ 图7 图8图6问题3：以上这些直角三角形的边长都是具体的数值。一般情况下，如果直角三角形的两直角边分别为a,b，斜边长为c，如图6所示，刚刚提出的猜想仍然正确吗？问题4：历史上所有的文明古国对勾股定理都有研究，下面我们看看历史上我国的数学家对勾股定理的研究，并通过小组合作完成课本拼图法证明勾股定理。学生独立观察图形，分析、思考其中隐含的规律。通过直接数等腰三角形个数，或者用割补方法将小正方形A,B中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得到结论：小正方形A,B的面积之和等于大正方形C的面积。教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。分别求出A,B,C的面积并寻找它们之间的关系。学生独立思考后小组讨论，难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求其面积，如图4，图5所示。教师在学生回答的基础上归纳方法-割补法。可以求得C的面积，教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 图4 图5教师引导学生得到猜想：如果直角三角形两直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么。学生通过独立思考，用a,b表示c的面积。如图7，用“割”的方法得到c2=1/2ab4+（a-b）2；如图8，用“补”的方法得到c2=（a+b2-1/2ab4。经过整理都可以得到.，即直角三角形两边长的平方和等于斜边的平方。教师展示图片9，并介绍：这个图案是3世纪三国时期的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为赵爽弦图。赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形。我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形，教师介绍勾股定理相关史料，勾股定理的证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以继续研究。图9从特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，并进行初步的一般化（等腰三角形边长的一般化）网格中的直角三角形也是直角三角形一种特殊情况，为计算方便，通常将直角边长设定为整数，进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法。在网格背景下，通过观察和分析等腰直角三角形及一般的直角三角形三边关系，为形成猜想提供了典型特例，于是猜想的形成变得水到渠成。从网格验证到脱离网格，通过计算推导出一般结论。通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维；使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合思想。通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献，增强民族自豪感。通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学习数学的自信心。三、初步应用，巩固新知图1 图2图3练习1、求图1至图3中字母所代表的的正方形的面积。练习2、如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A,B,C,D的边长分别为12,16,9,12，求最大正方形E的面积练习3、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次生长后，变成如图5所示，如果继续生长下去，它将变得枝繁叶茂，请你计算生长了2016次后形成的图形中所有正方形的面积是（ ）A、2015 B、2016 C、2017 D、1学生独立完成学生应掌握三个正方形的面积关系，以及能将正方形的面积关系和直角三角形之间的关系进行练习。进一步体会以直角三角形三遍为边长的正方形的面积关系。通过几何画板软件演示多层分形结构，感受数学美。四、课堂小结教师和学生一起回顾本节课所学主要内容：（1）勾股定理的内容是什么？它有什么作用