高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换第2课时导学案.docx

第2课时三角恒等变换的应用1掌握三角恒等变换的方法2会利用三角恒等变换解决三角函数问题三角恒等变换(1)asin bcos _sin()(ab0)，其中tan _，a和b的符号确定所在的象限仅仅讨论1、的情况(2)sin2x，cos2x，sin xcos x_.(3)讨论三角函数的性质时，通常经过三角恒等变换，将三角函数的解析式化为f(x)_的形式来解决【做一做11】 sin xcos x等于()Asin 2x B.sinC.sin Dsin【做一做12】 函数ysin 2xcos 2x的最小值等于_答案：(1)(2)sin 2x(3)Asin(x)【做一做11】 C原式sin.【做一做12】 ysin 4x，则最小值为.三角恒等变换问题剖析：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换三角恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，它以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍角公式，和差化积和积化和差公式为基础在恒等变形中要注意三角函数式中的“角”的特点，即有没有特殊角，有没有与特殊角相关联的角，有没有互余、互补的角，角与角之间有没有和、差、倍、半的关系，什么角需要保留，什么角需要化掉等在恒等变形中，化简三角函数式是核心，而化简的要求是：尽量减少三角函数式中角的个数(最好只含有相同的角)；尽量减少三角函数式中函数名称的种类(最好只含有同名函数)；在函数名称较多的情况下，最好只保留正弦和余弦；在选择使用三角变换公式时，应根据三角函数式中角的特点选择恰当的公式；在化简过程中，要合理使用代数手段，诸如整式、分式、根式运算以及因式分解对化简的结果，应该尽量减少项数；尽量减少函数种类和次数；尽量化为整式；对含有特殊角的三角函数要求写出其值来题型一 讨论三角函数的性质【例1】 已知函数f(x)sin2xasin xcos xcos2x，且f1.(1)求常数a的值及f(x)的最小值；(2)当x时，求f(x)的单调增区间分析：(1)利用f1求得a，再将函数f(x)的解析式化为f(x)Asin(x)的形式后求出最小值；(2)利用(1)求出函数f(x)在R上的单调增区间，再与取交集反思：解答此类综合题的关键是利用三角函数的和、差、倍角、半角公式化成f(x)Asin(x)的形式，然后借助于三角函数的图象及性质去研究f(x)的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误题型二 在实际中的应用【例2】 要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使长方形截面面积最大？分析：用三角函数表示长方形的面积，转化为求三角函数式的最大值反思：本题中，将长方形面积表示为三角函数式，利用三角恒等变换转化为讨论函数yAsin(x)b的最值问题，从而使问题得到简化这个过程蕴涵了化归思想题型三 易错辨析【例3】 当函数ysin xcos x，xR取最大值时，求自变量x的取值集合S.错解：ysin xcos x222sin，则y取最大值2时，有x2k(kZ)，则x2k(kZ)即S.错因分析：令k0，则x2k，则fsincos2.其原因是化简函数解析式没有保持恒等变换，错认为cos，sin.反思：将三角函数式化为yAsin(x)时，每一步要保持恒等变形，否则变形的结果是错误的，如本题本题中，还可能出现的错误变形为ysin.答案：【例1】 解：(1)f1，sin2asincoscos21，解得a2.f(x)sin2x2sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin.当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，sin有最小值1，则f(x)的最小值为.(2)令2k2x2k(kZ)，整理得kxk(kZ)又x，则0x.f(x)的单调增区间是.【例2】 解：如图，设圆心为O，长方形截面面积为S，AOB，则ABRsin ，OBRcos ，S(Rsin )2(Rcos )2R2sin cos R2sin 2.当sin 2取最大值，即sin 21时，长方形截面面积最大故时，长方形截面面积最大，最大截面面积等于R2.【例3】 正解：ysin xcos x222sin，则y取最大值2时，有x2k(kZ)，则x2k(kZ)即S.1函数y是()A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为2的奇函数D周期为2的偶函数2函数y2sin x2cos x的值域是_3如图所示，圆心角为直角的扇形AOB，半径OA2，点C是上任一点，且CEOA于E，CFOB于F，设AOCx，矩形OECF的面积为f(x)求：(1)f(x)的解析式；(2)矩形OECF面积的最大值4(2011北京东城高三期末)已知函数f(x)2cos2x1.(1)求的值及f(x)的最小正周期；(2)当x时，求f(x)的最大值和最小值5如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才使OAB的周长最大？答案：1Aysin 2x，周期T.2，y2sin x2cos x，则值域是，3解：(1)f(x)OEECOCcos xOCsin x4sin xcos x2sin 2x，f(x)2sin 2x，x.(2)f(x)2sin 2x，x，02x.当x时，f(x)取得最大值2，即矩形OECF面积的最大值为2.4解：(1)f(x)，2，且函数f(x)的最小正周期为.(2)由x可知，2x，所以，当2x即x时，f(x)有最大值，最大值为2；当2x即x时，f(x)有最小值，最小值为1.5分析：用AOB