工科数学分析基础上册D2_6函数性态的研究ppt课件.ppt

6 3函数的最大 小 值 6 2函数的极值 第六节 函数性态的研究 第二章 6 1函数的单调性 6 4函数的凸性 1 函数单调性的判定法 定理6 1设 在I上连续 在I内可导 则下述命题成立 1 在I上单调增的充要条件是在I内 2 若在I内 在I上严格单调增 减 减 则 2 证 1 充分性 任取 由拉格朗日中值定理得 在I上单调增 2 必要性 在I上单调增 减 对I内的任何 仍在I内 则有 因此 减 设 取 使 3 从而 4 例1 确定函数 的单调区间 解 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 5 说明 单调区间的分界点除驻点外 也可是导数不存在的点 例如 2 如果函数在某驻点两边导数同号 则不改变函数的单调性 例如 6 例2 证明 时 成立不等式 证 令 从而 因此 且 证明 7 证明 令 则 从而 即 8 例3 证明 当 证 令 则 内 上 严格单调减 从而在 或 因此原不等式成立 时 由于在 故 在 内 9 定义 在其中当 时 1 则称为的极大值点 称为函数的极大值 2 则称为的极小值点 称为函数的极小值 极大值点与极小值点统称为极值点 6 2函数的极值及其求法 10 注意 为极大值点 为极小值点 不是极值点 2 对常见函数 极值可能出现在导数为0或不存在的点 1 函数的极值是函数的局部性质 例如 为极大值点 是极大值 是极小值 为极小值点 函数 11 由费马定理 定理4 1 知 使 可导函数的极值点必定是它的驻点 但是 反过来不一定成立 的极值点 12 定理6 2 极值第一判别法 则 在 处取极大值 13 注 不可导点也可能是函数的极值点 例如 函数 在点x 0处不可导 但函数在该点取得极小值 由定理6 2 我们得到确定函数极值的第一种方法 步骤如下 1 求出函数f在所讨论区间内的所有驻点与不可导点 的变化 判定它们是否为f的极值点 是极大值点 还是极小值点 3 求出f的极值 14 例4 求函数 的极值 解 1 求导数 2 求极值可疑点 令 得 令 得 3 列表判别 是极大值点 其极大值为 是极小值点 其极小值为 15 定理6 3 极值第二判别法 的二阶Taylor公式得 二阶导数 且 则在点取极大值 则在点取极小值 16 从而有 由于右端第二项是第一项的高阶无穷小 因此 在 2 类似可证 17 定理6 3 极值第二判别法 二阶导数 且 则在点取极大值 则在点取极小值 证 1 存在 由第一判别法知 2 类似可证 18 例5 求函数 的极值 解 1 求导数 2 求驻点 令 得驻点 3 判别 因 故为极小值 又 故需用第一判别法判别 19 定理6 4 判别法的推广 则 数 且 1 当为偶数时 是极小点 是极大点 2 当为奇数时 为极值点 且 不是极值点 当充分接近时 上式左端正负号由右端第一项确定 故结论正确 证 利用在点的泰勒公式 可得 20 例如 例5中 极值的判别法 定理1 定理3 都是充分的 说明 当这些充分条件不满足时 不等于极值不存在 例如 为极大值 但不满足定理1 定理3的条件 21 6 3函数的最大值与最小值 则其最值只能 在极值点或端点处达到 求函数最值的方法 1 求在内的极值可疑点 2 最大值 最小值 22 特别 当在上单调时 最值必在端点处达到 对应用问题 有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大值点或最小值点 23 例6 求函数 在闭区间 上的最大值和最小值 解 显然 且 故函数在 取最小值0 24 因此也可通过 例6 求函数 说明 求最值点 与 最值点相同 由于 令 自己练习 在闭区间 上的最大值和最小值 25 k为某常数 例7 铁路上AB段的距离为100km 工厂C距A处20 AC AB 要在AB线上选定一点D向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运 为使货物从B运到工 解 设 则 令 得 又 所以为唯一的 极小值点 故AD 15km时运费最省 总运费 厂C的运费最省 从而为最小值点 问D点应如何取 Km 公路 价之比为3 5 26 6 4函数的凸性 定义6 1 凸函数 设f I R 若 则称f为I上的凸函数 若 则称f为I上的严格凸函数 凹 凹 27 定理6 5设函数f在区间I上一阶可导 若 在I上严格单调增 则f在I是 凸 严格凸的 单调增 证 仅证f在I上是严格凸的结论 关于f是凸 的证明完全类似 在I上严格单调增 设 则 令 则 在 与 上分别用Lagrange定理 存在 与 使 28 从而有 由于 故 因此 f是I上的严格凸函数 29 推论6 1 设函数f在区间I上二阶可导 若 则f在I是 严格凸的 凸 定义6 2连续曲线y f x 上凹弧与凸弧的分界点称 为该曲线的拐点 30 例8 判断曲线 的凹凸性 解 故曲线 在 上是凸的 说明 1 若在某点二阶导数为0 2 根据拐点的定义及上述定理 可得拐点的判别法如下 若曲线 或不存在 的一个拐点 则曲线的凹凸性不变 在其两侧二阶导数不变号 31 例9 求曲线 的拐点 解 不存在 因此点 0 0 为曲线 的拐点 凸 凹 32 对应 例10 求曲线 的凹凸区间及拐点 解 1 求 2 求拐点可疑点坐标 令 得 3 列表判别 故该曲线在 及 上是凸的 是凹的 点 0 1 及 均为拐点 凹 凸 凸 33 利用函数的凸性也可以证明一些不等式 例11 为任意两个实数 且 证明不等式 证 若f为区间I上的严格凸函数 则不等式 成立 取 该式变为 因此 只要证明 是 上的严格凸函数 由上式立即得所证不等式 34 内容小结 1 可导函数单调性判别 在I上严格单调递增 在I上严格单调递减 2 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 应用题可根据问题的实际意义判别 35 3 连续函数的极值 1 极值可疑点 使导数为0或不存在的点 2 第一充分条件 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 3 第二充分条件 为极大值 为极小值 4 判别法的推广 定理3 36 2 曲线凹凸与拐