第1讲存在性问题探究教师版.doc

第一讲存在性问题探究知识点睛对存在性问题的探究一直以来是初三期末以及中考中乐此不疲的题型。对特殊三角形的存在性问题探究、对特殊四边形的存在性探究、对面积关系的探究、对特殊位置关系和图形关系的探究等是探究的几个重要方面。例题精讲一、对几何最值的探讨【例1】 （2010安徽）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形，其顶点为（0，1）、（，1）、（，0）、（0，0）将此矩形沿着过（，1）、（，0）的直线向右下方翻折，、的对应点分别为、（1）求折痕所在直线EF的解析式；（2）一抛物线经过三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF上求一点P，使得周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由 【解析】 （1）由于折痕所在直线过、，直线倾斜角为。所以直线的解析式为：，化简得：。（2）设矩形沿直线向下方翻折后，的对应点为.过作交所在的直线于点。，与重合，在轴上，即.【此时需要说明在轴上】设二次函数解析式为：抛物线经过得到，解得该二次函数解析式为。（3）能，可以在直线上找到点，连接交于点，再连接。由于，此时点与在一条直线上，故得和最小，由于为定长，所以满足周长最小。设直线的解析式为，直线的解析式为：又因为为直线和直线的交点，解得。点的坐标为【补充】几何模型：条件：如下左图，是直线同旁的两个定点问题：在直线上确定一点，使的值最小方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称连结交于，则的最小值是_；（2）如图2，的半径为2，点在上，是上一动点，求的最小值；（3）如图3，是内一点，分别是上的动点，求周长的最小值ABPlOABPRQ图3OABC图2ABECPD图1（第25题）P【解析】 （1）的最小值为的长，因此最小值为（2）作关于对称点，连接交于，此时的满足值最小，此时最小值等于的长。易得，的最小值为（3）分别作关于的对称点，连接分别交于点，此时三角形满足周长最小。此时周长等于长，因此。【例2】 已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到.（1）试直接写出点的坐标；（2）已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点作轴于点，连结.若以为顶点的三角形与相似，试求出点的坐标；试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大.【解析】 （1）依题意得：；（3分）（2） ，. 抛物线经过原点，设抛物线的解析式为又抛物线经过点与点 解得：抛物线的解析式为.（5分）点在抛物线上，设点.1)若，则， ，解得： (舍去)或，点.（7分）2)若，则，解得： (舍去)或，点.（9分）存在点，使得的值最大.抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点.（10分）点、点关于直线对称，（11分）要使得的值最大，即是使得的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当三点在同一直线上时，的值最大. （12分）设过两点的直线解析式为， 解得：直线的解析式为.当时，.存在一点使得最大.（13分）【例3】 （2009黄石.本题满分12分）如图，点P是双曲线上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y= （0k2|k1|）于E、F两点（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= (用含k1、k2的式子表示)；（3分）（2）图2中，设P点坐标为（4，3）判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；（4分）记，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由（5分）【解析】 （1）；（2）EFAB 证明：如图，由题意可得A（4，0），B（0，3）， PA=3，PE=，PB=4，PF=， 6分 又APB=EPFAPB EPF，PAB=PEFEFAB 7分S2没有最小值，理由如下：过E作EMy轴于点M，过F作FNx轴于点N，两线交于点Q由上知M（0，），N（，0），Q（，） 8分而SEFQ= SPEF，S2SPEFSOEFSEFQSOEFSEOMSFONS矩形OMQN= 当时，S2的值随k2的增大而增大，而0k212 11分0S224，s2没有最小值 12分二、对特殊三角形的探讨【例4】 在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿ABC向终点C运动，连接DM交AC于点N.（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN.求证：；若ABC = 60，AM = 4，ABN =，求点M到AD的距离及tan的值；（2）如图2，若ABC = 90，记点M运动所经过的路程为x（6x12）.试问：x为何值时，ADN为等腰三角形. 【解析】 （1）证明：四边形是菱形，2分又 4分作交的延长线于点，由，得，在中， ， 点到的距离为2. 6分易求，则 7分在中， ，由知， 故 9分（2）解：，菱形是正方形此时，下面分三种情形：）若，则此时，点恰好与点重合，得；10分）若，则.此时，点恰好与点重合，得； 11分）若，则，由，得，又，从而，易求AC=6，故 13分综上所述：当或12 或时，是等腰三角形 14分（说明：对于）、）分类只要考生能写出，就给2分）【例5】 已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，过原点作的平分线交于点，连接，过点作，交于点（1）求过点、的抛物线的解析式；（2）将绕点按顺时针方向旋转后，角的一边与轴的正半轴交于点，另一边与线段 交于点如果与中的抛物线交于另一点，点的横坐标为，那么是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于中的点，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点，使得直线与的交点与点、构成的是 等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由26题图yxDBCAEEOyxDBCAEEOFKGGyxDBCAEEOQPHGG(P)(Q)Q(P)【解析】 （1）由已知，得，设过点、的抛物线的解析式为将点的坐标代入，得将和点、的坐标分别代入，得解这个方程组，得故抛物线的解析式为 （2）成立 点在该抛物线上，且它的横坐标为，点的纵坐标为 设的解析式为，将点、的坐标分别代入，得 解得的解析式为 ， 过点作于点，则，又， （3）点在上，则设若，则，解得，此时点与点重合 若，则，解得 ，此时轴与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1，点的纵坐标为 若，则，解得，此时，是等腰直角三角形过点作轴于点，则，设，解得，（舍去）综上所述，存在三个满足条件的点，即或或【例6】 （09福建宁德）如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），点的横坐标是1（1）求点坐标及的值；（2）如图，抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为， 的顶点为，当点、关于点成中心对称时，求的解析式；（3）如图，点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线抛物线 的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），当以点、为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标yxAOBPM图1C1C2C3图yxAOBPN图2C1C4QEF图【解析】 （1）由抛物线得顶点的为 yxAOBPN图(2)C1C4QEFHGK点在抛物线上解得， （2）连接，作轴于，作轴于点、关于点成中心对称过点，且，顶点的坐标为 抛物线由关于轴对称得到，抛物线由平移得到抛物线的表达式为 （3）抛物线由绕点轴上的点旋转得到顶点、关于点成中心对称由得点的纵坐标为5设点坐标为作轴于，作轴于作于旋转中心在轴上，点坐标为坐标为，坐标为，根据勾股定理得当时，解得，点坐标为 当时，解得，点坐标为，综上所得，当点坐标为或时，以点、为顶点的三角形是直角三角形【例7】 （本题满分10分）已知：如图，直线：经过点一组抛物线的顶点（为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：（为正整数），设（1）求的值；（2分）（2）求经过点的抛物线的解析式（用含的代数式表示）（4分）（3）定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”探究：当的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的的值（4分）（第25题图）yOMxnl123【解析】 （1）在上，2分 （2）由（1）得：， 在上， 当时，3 分 解法一：设抛物线表达式为：，4分 又， ，5 分 经过点的抛物线的解析式为：6 分 解法二：，设，4 分 把代入：，得，5 分 抛物线的解析式为6 分 （3）存在美丽抛物线7 分 由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又，等腰直角三角形斜边的长小于2，等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于 1当时，当时，当时，yOMxnl123美丽抛物线的顶点只有8分若为顶点，由，则；9分若为顶点，由，则，综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线10分二、对特殊四边形的探讨【例8】 （2010福建泉州）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你可以利用这一结论解决问题.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点，已知点、.（1）直接判断并填写：不论取何值，四边形的形状一定是 ;（2）当点为时，四边形是矩形，试求、和有值；观察猜想：对中的值，能使四边形为矩形的点共有几个？(不必说理)（3）试探究：四边形能不能是菱形？若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.【解析】 （1）平行四边形（3分）（2）点在的图象上，（4分）过作轴于，则在中，（5分）又点是正比例函数与反比例函数图象的交点，点关于原点成中心对称 （6分）四边形为矩形，且，（7分）； （8分）能使四边形为矩形的点共有2个；（9分）（3）四边形不能是菱形.（10分）法一：点的坐标分别为、四边形的对角线在轴上.又点分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.对角线与不可能垂直.四边形不能是菱形法二：若四边形为菱形，则对角线，且与互相平分，因为点的坐标分别为、所以点关于原点对称，且在轴上. （11分）所以应在轴上，这与“点分别在第一、三象限”矛盾，所以四边形不可能为菱形. （12分）【例9】 （2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为求关于的函数关系式，并求出的最大值（3）若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点的坐标【解析】 （1）设抛物线的解析式为，则有，解得抛物线的解析式为（2）过点作轴于点，设点的坐标为。则（3）满足题意的点的坐标有4个，分别是：【例10】 （09年浙江）已知抛物线与轴相交于点，顶点为直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点（1）填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则，； （2）如图，将沿轴翻折，若点的对应点恰好落在抛物线上，与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；（3）在抛物线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由第题xyBCODAMNNxyBCOAMN备用图（第24题）第题xyBCODAMNNxyBCOAMNP1P2备用图【解析】 （1）， （2）由题意得点与点关于轴对称，将的坐标代入得，（不合题意，舍去）， ，点到轴的距离为3，直线的解析式为，它与轴的交点为，点到轴的距离为 （3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，得：（不舍题意，舍去）， 当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，与关于原点对称，将点坐标代入抛物线解析式得：，（不合题意，舍去）， 存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形【例11】 （09西城一模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出的取值范围.【解析】 （1）点C的坐标为. 点A、B的坐标分别为， 可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为. 将代入抛物线的解析式，得. 过A、B、C三点的抛物线的解析式为. （2）可得抛物线的对称轴为，顶点D的坐标为 ，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.直线BC的解析式为.- - - - - - - - - - 4分设点P的坐标为.解法一：如图1，作OPAD交直线BC于点P，连结AP，作PMx轴于点M. OPAD， POM=GAD，tanPOM=tanGAD. ，即.解得. 经检验是原方程的解.此时点P的坐标为. 但此时，OMGA. OPAD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等， 直线BC上不存在符合条件的点P. 解法二：如图3，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PNx轴于点N. 则PEO=DEA，PE=DE.可得PENDEG 由，可得E点的坐标为.NE=EG=， ON=OENE=，NP=DG=. 点P的坐标为. x=时， 点P不在直线BC上. 直线BC上不存在符合条件的点P . （3）的取值范围是. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8分说明：如图3，由对称性可知QO=QH，.当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，取得最小值0.四、其它问题【例12】 如图1，已知点、，直线经过点，且与轴交于点，将沿直线折叠得到.（1）填空：点坐标为（_，_），点坐标为（_，_）；（2）若抛物线经过两点，求抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿轴向上平移，设平移后所得抛物线与轴交点为，点是平移后的抛物线与直线的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线轴.若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由.来源:学_科_网（提示：抛物线的对称轴是，顶点坐标是 【解析】 （1）（2）抛物线 经过 代入，解得： ， 所求抛物线解析式为：（3）答：存在解法一： 设抛物线向上平移个单位能使轴，则平移后的解析式为：此时抛物线与轴交点当点在直线上，且满足直线轴时则点的坐标为又 在平移后的抛物线上，则有解得：或（）当 时，点，点M的坐标为此时，点E,M重合，不合题意舍去。（ii）当 时，点M的坐标为符合题意综合（i）（ii）可知，抛物线向上平移个单位能使轴。解法二：当点在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当重合时，它们的纵坐标相等。不会与轴平行当点在抛物线的右侧时，设抛物线向上平移个单位能使轴则平移后的抛物线的解析式为 抛物线与轴交点抛物线的对称轴为：根据抛物线的对称性，可知点的坐标为时，直线轴将代入得， 解得： 抛物线向上平移个单位能使轴【例13】 （2010年福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线上，过点作轴的垂线，垂足为，。若抛物线过点两点。（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。【解析】 （1）把分别代入。得，解得该抛物线的解析式为。（2）点在抛物线上。理由：过作轴于点，连结，设交于点.点在直线上，关于直线对称，.又轴，由勾股定理得，.，又，当时，点在抛物线上。（3）抛物线上存在点，使得以为直径的圆与相切。过点作轴于点，连结，过作轴于点。，是中点，由平行线分线段成比例定理得，同理可得，点坐标为。，为的切线。又为切线，。四边形为正方形，。设直线的解析式为.把分别代入，得，解得直线的解析式为。若以为直径的圆与相切，则点为直线与抛物线的交点，可设点为直线与抛物线的交点，可设点的坐标为，则有，整理得，解得.点的横坐标为或【例14】 （2010甘肃9市）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，设抛物线的顶点为（1）求该抛物线的解析式与顶点的坐标；（2）以为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请指出符合条件的点的位置，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 （1）设该抛物线的解析式为，由抛物线与轴交于点,可知. 即抛物线的解析式为 1分把、代入, 得 解得. 抛物线的解析式为 3分 顶点的坐标为. 4分说明：只要学生求对，不写“抛物线的解析式为”不扣分.（2）以为顶点的三角形是直角三角形. 5分理由如下：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为.在中， . 6分在中， . 7分在中， . 8分， 故为直角三角形. 9分（3）连接，可知，得符合条件的点为 10分过作交轴正半轴于，可知，求得符合条件的点为 11分过作交轴正半轴于，可知，求得符合条件的点为 12分符合条件的点有三个：，.家庭作业1 如图，在直角坐标系中，点的坐标为，连结，将线段绕原点顺时针旋转，得到线段（1）求点的坐标；（2）求经过、三点的抛物线的解析式；（3）在中抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（4）如果点是中的抛物线上的动点，且在轴的下方，那么是否有最大面积？若有，求出此时点的坐标及的最大面积；若没有，请说明理由CBAOyx DBAOyxP【解析】 （1） （2）设抛物线的解析式为，代入点，得，因此（3）如图，抛物线的对称轴是直线，当点位于对称轴与线段的交点时，的周长最小设直线为所以解得，因此直线为，当时，因此点的坐标为（4）如图，过作轴的平行线交于当时，的面积的最大值为，此时 2 如图 12，已知直线过点和，是轴正半轴上的动点，的垂直平分线交于点，交轴于点 （1）直接写出直线的解析式； （2）设，的面积为，求关于t的函数关系式；并求出当时，的最大值； （3）直线过点且与轴平行，问在上是否存在点， 使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由LAOMPBxyL1图12Q【解析】 （1）2分（2），点的横坐标为，当，即时，3分当时，4分当，即时，当时，有最大值6分（3）由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴，则，两点关于直线对称，所以，得7 分LAOPBxyL123题图-1QC下证连，则四边形是正方形 法一：（i）当点在线段上，在线段上（与不重合）时，如图1 由对称性，得， ， 8分（ii）当点在线段的延长线上，在线段上时，如图2，如图3 ， 9分 （iii）当点与点重合时，显然 综合（i）（ii）（iii）， yLAOPBxL123题图-3QC21在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形11 分 LAOPBxL123题图-2QC21y法二：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴， 则，两点关于直线对称，所以，得 7 分 延长与交于点 （i）如图4，当点在线段上（与不重合）时，四边形是正方形， 四边形和四边形都是矩形，和都是等腰直角三角形 LAOPBxyL123题图-1QC又， ， ， ， 又， 8分（ii）当点与点重合时，显然 9分 （iii）在线段的延长线上时，如图5， ，1=2 综合（i）（ii）（iii）， 在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形 11分yLAOPB