锐角三角函数定义及性质PPT演示课件

锐角三角函数1 我们已经知道 如图 直角三角形ABC可以简记为Rt ABC 直角 C所对的边AB称为斜边 用c表示 另两条直角边分别叫 A的对边与邻边 用a b表示 A的对边a 脑中有 图 心中有 式 B 斜边c A的邻边b A的邻边b A的对边a 斜边c 知识点1 直角三角形的认识 1 对于 A来说 2 对于 B来说 它们分别是什么 脑中有 图 心中有 式 问题1为了绿化荒山 某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管 在山坡上修建一座扬水站 对坡面的绿地进行喷灌 现测得斜坡与水平面所成角的度数是30 为使出水口的高度为35m 那么需要准备多长的水管 这个问题可以归结为 在Rt ABC中 C 90 A 30 BC 35m 求AB的长 思考 你能将实际问题归结为数学问题吗 情境探究 根据 在直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 即 在Rt ABC中 C 90 A 30 BC 35m 求AB的长 可得AB 2BC 70m 即需要准备70m长的水管 在上面的问题中 如果使出水口的高度为50m 那么需要准备多长的水管 结论 在一个直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么不管三角形的大小如何 这个角的对边与斜边的比值都等于 A B C 50m 30m B C 即在直角三角形中 当一个锐角等于45 时 不管这个直角三角形的大小如何 这个角的对边与斜边的比都等于 如图 任意画一个Rt ABC 使 C 90 A 45 计算 A的对边与斜边的比 你能得出什么结论 A B C 综上可知 在一个Rt ABC中 C 90 一般地 当 A取其他一定度数的锐角时 它的对边与斜边的比是否也是一个固定值 结论 问题 当 A 30 时 A的对边与斜边的比都等于 是一个固定值 当 A 45 时 A的对边与斜边的比都等于 也是一个固定值 任意画Rt ABC和Rt A B C 使得 C C 90 A A 那么 A C A1 由于 C C 90 A A 所以Rt ABC Rt A1B1C1所以 所以 这就是说 在直角三角形中 当锐角A的度数一定时 不管三角形的大小如何 A的对边与斜边的比都是一个固定值 探索 驶向胜利的彼岸 如图 在Rt ABC中 C 90 我们把锐角A的对边与斜边的比叫做 A的正弦 sine 记作sinA 即 例如 当 A 30 时 我们有 当 A 45 时 我们有 c a b 对边 斜边 新知探索 1 你能将 其他边之比 用比例的式子表示出来吗 这样的比有多少 2 当锐角A确定时 A的邻边与斜边的比 A的对边与邻边的比也随之确定吗 为什么 交流并说出理由 方法一 从特殊到一般 仿照正弦的研究过程 方法二 根据相似三角形的性质来说明 如图 在Rt ABC中 C 90 我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做 A的余弦 cosine 记作cosA 即 我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 A的正切 tangent 记作tanA 即 驶向胜利的彼岸 知识点2 锐角三角函数定义 1 A的对边与斜边的比值叫做 A的正弦 记作sinA 即 2 A的邻边与斜边的比值叫做 A的余弦 记作cosA 即 3 A的对边与邻边的比值叫做 A的正切 记作tanA 即 4 A的邻边与对边的比值叫做 A的余切 记作cotA 即 锐角 A的正弦 余弦 正切 余切叫做锐角 A三角函数 简记 重要提示 三角函数只与角度的大小有关 与边的长短无关 锐角三角函数定义 正弦 余弦 正切 余切 驶向胜利的彼岸 三角函数的应用 例1 如图所示 求出 A的四个三角函数 A B C 15 8 解 AC sinA COSA tanA cotA 提示 已知直角三角形任意两边可以求出两锐角的四个三角函数值 课本P90页例题 跟进训练 求出图中 D的四个三角函数值 C D E 10 6 解 CE sinD COSD tanD cotD 例1如图 在Rt ABC中 C 90 BC 6 求cosA和tanB的值 练习 如图 在Rt ABC中 C 90 BC 6 求cosA和tanB的值 练一练 1 判断对错 1 如图 1 sinA 2 cosB 3 sinA 0 6m 4 SinB 4 5 sinA是一个比值 注意比的顺序 无单位 2 如图 cosB 2 在Rt ABC中 锐角A的对边和斜边同时扩大100倍 sinA的值 A 扩大100倍B 缩小C 不变D 不能确定 C 练一练 则sinA cosA 例2 已知 ABC中 ACB 90 BC AC 3 4 求 A的四个三角函数值 示例 例3 如图所示 在 ABC中 AB AC 13 cosB 则BC A B C D 分析 三角函数是在直角三角形中 而题中没有直角三角形 所以 需要作辅助线 将 B放入一个直角三角形中 cosB BD 5 BC 2BD 10 10 如图 在 ABC中 AB CB 5 sinA 求 ABC的面积 知识点3 三角函数的性质 1 取值范围 0 sinA 10 cosA 1tanA 0cotA 0 a b c a c b c 且a b c都大于0 2 互余两角之间的三角函数关系 直角三角形两锐角互余 A B 900 则 B 90 A 则sinA cosB或cosA sinB tanA cotB或cotA tanB sinA cos 90 A 或cosA sin 90 A tanA cot 90 A 或cotA tan 90 A 一个角的正弦等于它的余角的余弦 一个角的余弦等于它的余角的正弦 一个角的正切等于它的余角的余切 一个角的余切等于它的余角的正切 3 同角之间的三角函数的关系 1 平方和关系 2 商的关系 3 倒数关系 例3 已知sinA 求 A的其他三个三角函数值 解 cosA tanA cotA sinA a c 可设a k C 3k 由勾股定理可求出b 然后根据定义求出其他三个三角函数值可 跟进训练 拓展训练 可设 5k 12k 又 1 在Rt AB