(李庆扬)数值分析-绪论

1、数 值 分 析Numerical Analysis主讲教师： 隆广庆 广西师范学院EMAIL: Tel:2022/8/111数值分析 数值分析 简史1955 周恩来领导10年科技规划，提出发展几个新技术，包括计算技术（计算机，程序设计，计算数学），半导体技术，自动化技术。 1956 成立计算技术研究所筹备处，主任华罗庚，手下有两个组（计算机与计算数学）。在其领导下于数学所成立计算方法讨论班。 1958 计算所成立，带半军事性质，并且与苏联合作在中科院计算研究所造出104机。 北大，吉大，复旦，南大相继成立计算数学专业。5759年吉大聘请苏联梅索夫斯基开办讲义班，其中参

2、与者有李荣华，冯果忱，李岳生，李庆扬，蒋尔雄，康立山，徐翠薇等。 2022/8/112数值分析 数值分析 简史1977年开始写国内的教材李荣华，冯果忱 微分方程数值解李岳生 等 数值逼近论曹志浩 等 数值代数和矩阵计算与方程求根这三门课程为1984年在国内几所重点大学开设的“计算数学及其应用软件专业主干课程。2022/8/113数值分析 信息与计算科学 简史1958年 计算数学 专业 1984年 “计算数学及其应用软件” 加强计算机课程的分量 1998年 “信息与计算科学” 加强信息课程的分量 2022/8/114数值分析 信息与计算科学，就其范畴与研究内容而言，是数学、计算机科学、信息工程等

3、广泛学科的交叉，远超出数学学科的范围。作为数学学科下的一个理科专业，信息与计算科学专业应该主要研究信息技术的核心基础与运用现代计算工具高效求解科学与工程问题的数学理论与方法（或更简明地说，研究定向于信息技术、计算技术的数学基础）。2022/8/115数值分析 当今主流研究分支 微分方程数值解是信息与计算数学的主要分支。 （气象、物理、力学等诸多领域）数值代数和最优化是科学计算、运筹学的基础学科。（在材料科学, 生命科学, 信息科学,交通,通讯以及金融中的计算问题）反问题无疑是最热门的方向之一。（图像处理，信号处理）计算数学的应用型分支：与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、计算空气

4、动力学、计算力学、计算物理。2022/8/116数值分析 中国计算数学冯 康 (19201993) 有限元方法辛几何算法2022/8/117数值分析 中国近代数学能超越西方或与之并驾齐驱的主要原因有三个，主要是讲能够在数学历史上很出名的有三个： 一个是陈省身在示性类方面的工作， 一个是华罗庚在多复变函数方面的工作， 一个是冯康在有限元计算方面的工作。 - 丘成桐，中国数学发展之我见 1998,3,11，中国科学报(丘成桐,哈佛大学教授，Fields 奖获得者)2022/8/118数值分析 “在当代世界科技发展的史册上，我国科技工作者也书写了光辉的篇章。在数学领域创立的多复变函数的调和分析， 有

5、限元方法和辛几何算法， 示性类及示嵌类的研究 数学机械化与证明理论， 关于哥德巴赫猜想的研究， 在国际上都引起了强烈反响。” -江泽民, 在两院院士大会上的讲话, 2002,5,28.2022/8/119数值分析 中国计算数学院士石钟慈 院士-非协调有限元方法林群院士-外推方法崔俊芝 （工程院院士）-数值计算2022/8/1110数值分析 主讲教师介绍一、本科（1993-1997） 兰州大学 计算数学二、硕士（2000-2003） 中山大学 计算数学三、博士（2003-2006）中山大学 计算数学四、博士后（2007-2009） 中国科学院数学研究所 计算数学主要研究方向积分方程快速算法、小波

6、分析与快速算法、不适定问题数值算法联系方式： Email: longgq 139786784022022/8/1111数值分析 数值分析学什么？数值逼近数值代数或者矩阵计算微分方程数值解法非线性数值解法 数值分析=计算方法=计算数学2022/8/1112数值分析 数值分析课程所需的基础数学分析 、泛函分析高等代数、矩阵分析常微分方程、数学物理方程高级程序设计语言2022/8/1113数值分析 教材 数值分析 李庆扬、易大义、王能超 编参考书目 数值计算方法 冯康等编 Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析 （第七版 影印版） Richard L. B

7、urden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）2022/8/1114数值分析 二 教师有关教学过程的一些想法： 教学过程是师生间的一种双边活动，它是一种特殊的认识过程（所讨论的知识对教师而言是已知的,而对学员来说是未知的）。在这过程中，我的想法是： 在讨论数值分析基本理论与方法的过程中, 学员要向会学习、会思考、会研究、会创造、会应用的目标靠拢。 在教学活动中，讲授的重点在思路、方法与培养能力上。 希望学员能以积极、主动的姿态参与到教学活动中,将教学过程变成研究、创造与培养能力的过程。 不要迷信书本与教师，要敢于怀疑，敢于研究，敢于创造。2022/8/1115数值分析

8、提问：数值分析是做什么用的？数学建模 构造 算法程序设计上机计算求出结果 实际问题近似解 输入复杂问题或运算数值分析 计算机2022/8/1116数值分析 第一章 绪 论1 数值分析研究对象与特点一、研究对象 数值分析也称计算方法. 它根椐实际问题的数学模型提出求解问题的数值计算方法 .二、学科特点 算法能在计算机上实现，并有好的计算复杂性； 面向计算机，提供切实可行的有效算法； 有可靠理论，对算法进行误差分析，并能达到精度要求； 通过数值实验 证明算法行之有效； 利用MATLAB等软件在计算机上实现数值计算，解决实际问题.三、实际应用2022/8/1117数值分析 2 数值计算的误差一. 来

9、源与分类 从实际问题中抽象出数学模型 模型误差 通过测量得到模型中参数的值 观测误差 求(数学表达的)近似解 方法误差 (截断误差) 模型的准确解与用数值方法求得的准确解之差称为“截断误差”。 机器字长有限 舍入误差简化实际算法: 有限、四则运算化（理论计算误差）2022/8/1118数值分析 大家一起猜？11 / e解 ： 将 作Taylor展开后再积分S4R4取则称为截断误差| 舍入误差 |= 0.747 由截去部分引起由留下部分引起2022/8/1119数值分析 二. 传播与积累例：蝴蝶效应 武汉的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的上海就刮起台风来了？！WHSH以上是一个病态问题关于本身是病态

10、的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！2022/8/1120数值分析 例：计算 公式一:注意此公式精确成立记为则初始误差? ! !发生了什麽?!2022/8/1121数值分析 考察第n步的误差我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法迅速积累,误差呈递增走势.可见初始的小扰动 公式二:注意此公式与公式一在理论上等价。方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n N )。可取2022/8/1122数值分析 取 我们很幸运！2022/8/1123数值分析 考察反推一步的误差：以此类推，对 n 0 时，x*称为强近似值，e* 0 不唯一，当然 e* 越小越具有参考价值。 由于通常准确值 x 是不

11、知道的，所以误差e* 的准确值也不可能求出，但根据具体情况，可事先估计出误差的范围误差绝对值不能超过某个正数 ，我们把 叫做误差绝对值的“上界”，或称“误差限”。 工程2022/8/1125数值分析 四、 相对误差与相对误差限x 的相对误差限 常定义为注：从 的定义可见， 实际上被偷换成了 ，而后才考察其上限。那么这样的偷换是否合法？ 严格的说法是， 与 是否反映了同一数量级的误差？ 关于此问题的详细讨论可见教材p5。实际计算中，相对误差通常取为：相对误差 2022/8/1126数值分析 五、有效数字 若近似值 x*的误差限是某一位的半个单位,该位到 x* 的第一位非零数字共有 n 位,就说

12、x*有 n 位有效数字.例:问： 有几位有效数字？请证明你的结论。43用科学计数法，记 （其中 ）。若 （即 的截取按四舍五入规则），则 有n 位有效数字，精确到 。2022/8/1127数值分析 注：关于有效数字有以下几点说明：1、用四舍五入法取准确值的前n位作为近似值，则x*必有n位有效数字；2、有效数字位数相同的两个近似数，绝对误差限不一定相同；3、将任何数乘以10m(m为整数)，等于移动该数的小数点，并不影响它的有效数字的位数；4、准确值被认为具有无穷位有效数字.2022/8/1128数值分析 六、有效数字与相对误差的关系 有效数字 相对误差限已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误

13、差限为 相对误差限 有效数字已知 x* 的相对误差限可写为则可见 x* 至少有 n 位有效数字。2022/8/1129数值分析 例：为使 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n 6 log6，即 n 6，应取 * = 3.14159。2022/8/1130数值分析 练习：P18:2,3,6 思考题1什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？2试举一个你所遇到的例子，来说明什么是模型误差？什么是截断误差？2022/8/1

14、131数值分析 1、代数运算的误差估计3 误差估计1.1 加法和减法结果的误差于是注：和与差的相对误差的估计，相对稍稍复杂一点，其 结果更有意思。留待后述。误差限:2022/8/1132数值分析 1.2 乘法和除法结果的误差 x*y*-xy = x*y*-(x*+x-x*)(y*+y-y*) = x*y*-(x*-e(x*)(y*-e(y*) = x*y*-x*y*+x*e(y*)+y*e(x*)-e(x*)e(y*)忽略e(x*)e(y*),于是|x*y*-xy | |x*| |e(y*)| + |y*| |e(x*)| + |e(x*)e(y*)|对于相对误差,忽略er(x*)er(y*)

15、,有积的相对误差限积的相对误差积的误差限2022/8/1133数值分析 | | | |商的误差限显然，商的相对误差(限)容易求得；易发现两边同时除以商的相对误差商的相对误差限2022/8/1134数值分析 下面我们来讨论 加法和减法结果的相对误差(限)估计即: 和的相对误差(限)小于或等于加数(符号相同时)相对误差(限绝对值)中最大者.先看和的相对误差(限)估计当|x*|y*|时, r(x*+y*)r(x*).2022/8/1135数值分析 再看差的相对误差(限)估计当|x*|y*|时, r(x*-y*)r(x*).当|x*|与|y*|很接近时, 及 的绝对值都可能很大, 此时原始数据的误差,

16、 会对计算结果产生相当大的影响.在计算中,应尽量避免两个相近的数相减2022/8/1136数值分析 问题： 这些公式的形式有什么特点？使你想到什么？事实上,若注意“差”与x及dx之间的关系, 可视x*-x为dx, 可以用微分作为工具, 更简洁地推导微分形式的误差估计公式.2022/8/1137数值分析 2、函数值的误差估计问题：对于 y = f (x)，若用 x* 取代 x，将对y 产生什么影响？分析：e*(y) = f (x*) f (x) e*(x) = x* xMean Value Theorem= f ( )(x* x)x* 与 x 非常接近时，可认为 f ( ) f (x*) ，则有

17、：|e*(y)| | f (x*)|e*(x)|即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f (x*)|倍。故称| f (x*)|为放大因子 （amplification factor） 或 绝对条件数 （absolute condition number）.2022/8/1138数值分析 当自变量有误差时，计算函数值的误差（限）也可利用函数的泰勒展开式进行估计.2022/8/1139数值分析 相对误差条件数 f 的条件数在某一点是小大，则称 f 在该点是好条件的 坏条件的。对函数值的相对误差（限），我们可有：2022/8/1140数值分析 2022/8/1141数值分析 例2022

18、/8/1142数值分析 4 几点注意事项1. 避免相近二数相减例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。 而 a2 a1 = 0.00001，只剩下1位有效数字。 几种经验性避免方法：当 | x | 1 时：2. 避免小分母 : 分母小会造成舍入误差增大2022/8/1143数值分析 3. 避免大数吃小数例：用单精度计算 的根。精确解为 算法1：利用求根公式在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成

19、为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010大数吃小数 x 3.81574 y 0.0001= 38157.4 x 3.81574 y+y 0.0001+0.00001= 34688.52022/8/1144数值分析 算法2：先解出 再利用注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1 + 2 + 3 + + 40 + 1094. 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。一般来说，计算机处理下列运算的速度为5. 选用稳定的算法。如计算多项式的值用秦九韶法.2022/8/1145数值分析 思考

20、题1四则运算误差的估计，由定义直接估计和用微分估计有什么不同？还可以有其它不同的估计方法和策略吗？2舍入误差一般不好估计，你能否想到什么好的方法来讨论舍入误差的估计问题？练习：P18:4,5, 7,10,11 2022/8/1146数值分析 Lab 01. Numerical Summation of a Series Produce a table of the values of the series (1)for the 3001 values of x, x = 0.0, 0.1, 0.2, , 300.00. All entries of the table must have an

21、 absolute error less than 1.0e-10. This problem is based on a problem from Hamming (1962), when mainframes were very slow by todays microcomputer standards. InputThere is no input.Output The output is to be formatted as two columns with the values of x and (x) printed as in the C fprintf: fprintf(outfile,%6.2f%16.12fn,x,psix); /* hererepresents a space */2022/8/1147数值分析 As an example, the sample output below shows 4 acceptable lines out of 3001, which might appear in the output file. The values of x should start at 0.00 and increase by