秦皇岛市卢龙县2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年河北省秦皇岛市卢龙县高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项选出来） 1（ 4 8i） i 的虚部是（ ） A 4 B 4i C 8 D 8i 2 ，则 f（ 2）等于（ ） A 4 B C 4 D 3已知 p： |x| 2， q： 0 x 2，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4四名同学根据各自的样本数据研究变量 x， y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： y 与 x 负相关且 = y 与 x 负相关且 = y 与 x 正相关且 = y 与 x 正相关且 = 其中一定不正确的结论的序号是（ ） A B C D 5用三段论推理： “指数函数 y=增函数，因为 y=（ ） x 是指数函数，所以 y=（ ） ，你认为这个推理（ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D是正确的 6函数 f（ x） =x （ e 为自然对数的底数）在区间 1， 1上的最大值是（ ） A 1+ B 1 C e+1 D e 1 7某程序框图如图所示，则输出的 n 的值是（ ） 第 2 页（共 17 页） A 21 B 22 C 23 D 24 8下列命题中正确的是（ ） A命题 “ x R，使得 1 0”的否定是 “ x R，均有 1 0” B命题 “若 x=y”的逆否命题是真命题： C 命题 ”若 x=3，则 2x 3=0”的否命题是 “若 x 3，则 2x 3 0” D命题 “存在四边相等的四边形不是正方形 ”是假命题 9已知双曲线 的左支上一点 M 到右焦点 距离为 18， N 是线段 中点， O 是坐标原点，则 |于（ ） A 4 B 2 C 1 D 10曲线 y= 在点（ 1， 1）处的切线方程为（ ） A y=x 2 B y= 3x+2 C y=2x 3 D y= 2x+1 11已知点 P 在以 焦点的椭圆 + =1（ a b 0）上，若 =0， ，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 12已知函数 f（ x）（ x R）满足 f（ 1） =1，且 f（ x）的导函数 f（ x） ，则 f（ x） + 的解集为（ ） A x| 1 x 1 B x| 1 C x|x 1 或 x 1 D x|x 1 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A， B， C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 第 3 页（共 17 页） 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为 14双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为 15已知数列 足 ， ，试归纳出这个数列的一个通项公式 16已知函数 y=x+b）的图象如图所示，则 三、解答题（本题有 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17命题 p： x 0， x+ a；命题 q： R， 2 0若 q 为假命题， p 则求 a 的取值范围 18如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M（ 2，1），平行于 直线 l 在 y 轴上的截距为 m（ m 0），直线 l 交椭圆于 A， B 两个不同点 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）求 m 的取值范围 19某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价 x（元） 8 销量 y（件） 90 84 83 80 75 68 （ ）求回 归直线方程 =bx+a，其中 b= 20， a= b ； （ ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（ I）中的关系，且该产品的成本是 4 元 /件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润 =销售收入成本） 20已知抛物线 E： p 0），直线 y= 与 E 交于 A、 B 两点，且 =2，其中O 为原点 （ 1）求抛物线 E 的方程； （ 2）点 C 坐标为（ 0， 2），记直线 斜率分别为 明： 2 21已知函数 f（ x） =1，（ a 为实数）， g（ x） =x （ 1）讨论函数 f（ x）的单调区间； 第 4 页（共 17 页） （ 2）求函数 g（ x）的极值； （ 3）求证： x x 0） 请考生在第 22， 23， 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 4何证明选讲 22已知， 圆 O 的直径， 垂直 一条弦，垂足为 E，弦 F （ 1）求证： E、 F、 G、 B 四点共圆； （ 2）若 ，求线段 长 选修 4标系与参数方程 23已知圆 C 的极坐标方程为 =2线 l 的参数方程为 （ t 为参数），点A 的极坐标为（ ， ），设直线 l 与圆 C 交于点 P、 Q （ 1）写出圆 C 的直角坐标方程； （ 2）求 |值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 1|+|x a| （ I）当 a=2 时，解不等式 f（ x） 4 （ ）若不等式 f（ x） 2a 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2015年河北省秦皇岛市卢龙县高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项选出来） 1（ 4 8i） i 的虚部是（ ） A 4 B 4i C 8 D 8i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数的乘法运算化简，则复数的虚部可求 【解答】 解：由（ 4 8i） i= 8i=8+4i 故（ 4 8i） i 的虚部是 4 故选： A 2 ，则 f（ 2）等于（ ） A 4 B C 4 D 【考点】 导 数的运算 【分析】 利用导数的运算法则即可得出 【解答】 解： ， 故选 D 3已知 p： |x| 2， q： 0 x 2，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【考点】 充要条件 【分析】 通过解绝对值不等式化简命题 p，判断 p 成立是否推出 q 成立； q 成立是否推出 用各种条件的定义判断出 p 是 q 的什么条件 【解答】 解： |x| 2 2 x 2 即命题 p： 2 x 2 若命题 p 成立推不出命题 q 成立，反之若命题 q 成立则命题 p 成立 故 p 是 q 的必要不充分条件 故选 B 4四名同学根据各自的样本数据研究变量 x， y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： y 与 x 负相关且 = y 与 x 负相关且 = 第 6 页（共 17 页） y 与 x 正相关且 = y 与 x 正相关且 = 其中一定不正确的结论的序号是（ ） A B C D 【考点】 线性回归方程 【分析】 由题意，可根据回归方程的一次项系数的正负与正相关或负相关的对应对四个结论作出判断，得出一定不正确的结论来，从而选出正确选项 【解答】 解： y 与 x 负相关且 =结论误，由线性回归方 程知，此两变量的关系是正相关； y 与 x 负相关且 ；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征； y 与 x 正相关且 ； 此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征； y 与 x 正相关且 此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征 综上判断知， 是一定不正确的 故选 D 5用三段论推理： “指数函数 y=增函数，因为 y=（ ） x 是指数函数，所以 y=（ ） ，你认为这个推理（ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D是正确的 【考点】 演绎推理的基本方法 【分析】 指数函数 y=a 0 且 a 1）是 R 上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，即大前提是错误的 【解答】 解：指数函数 y=a 0 且 a 1）是 R 上的增函数， 这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同 分类说出函数的不同的单调性， 大前提是错误的， 得到的结论是错误的， 在以上三段论推理中，大前提错误 故选 A 6函数 f（ x） =x （ e 为自然对数的底数）在区间 1， 1上的最大值是（ ） A 1+ B 1 C e+1 D e 1 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 求导函数，确定函数的单调性，比较端点的函数值，即可得到函数的最大值 【解答】 解：求导函数，可得 f（ x） =1 令 f（ x） 0， x 1， 1， 可得 0 x 1；令 f（ x） 0， x 1， 1，可得 1 x 0， 第 7 页（共 17 页） f（ 1） = ， f（ 1） =e 1 f（ 1） f（ 1） 函数 f（ x） =x （ e 为自然对数的底数）在区间 1， 1上的最大值是 e 1 故选 D 7某程序框图如图所示，则输出的 n 的值是（ ） A 21 B 22 C 23 D 24 【考点】 循环结构 【分析】 执行程序框图，写出每次循环得到的 n， p 的值，当 n=23， p=79 时满足条件 p 40，输出 n 的值为 23 【解答】 解：执行程序框图，有 p=1， n=2 第 1 次执行循环体，有 n=5， p=11 不满足条件 p 40，第 2 次执行循环体，有 n=11， p=33 不满足条件 p 40，第 3 次执行循环体，有 n=23， p=79 满足条件 p 40，输出 n 的值为 23 故选： C 8下列命题中正确的是（ ） A命题 “ x R，使得 1 0”的否定是 “ x R，均有 1 0” B命题 “若 x=y”的逆否命题是真命题： C命题 ”若 x=3，则 2x 3=0”的否命题是 “若 x 3，则 2x 3 0” D命题 “存在四边相等的四边形不是正方形 ”是假命题 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 写出原命题的否定判断 A；直接判断原命题的真假得到命题 “若 x=y”的逆否命题的真假； 写出命题的否命题判断 C；举例说明命题 “存在四边相等的四边形不是正方形 ”是真命题判断D 【解答】 解：命题 “ x R，使得 1 0”的否定是 “ x R，均有 1 0”，命题 A 为假命题； 当 ， x 与 y 要么终边相同，要么终边关于 x 轴 对称， 第 8 页（共 17 页） 命题 “若 x=y”为假命题，则其逆否命题是假命题，命题 B 为假命题； 命题 ”若 x=3，则 2x 3=0”的否命题是 “若 x 3，则 2x 3 0，命题 C 为真命题； 所有菱形的四边相等， 命题 “存在四边相等的四边形不是正方形 ”是真命题，命题 D 是假命题 故选： C 9已知双曲线 的左支上一点 M 到右焦点 距离为 18， N 是线段 中点， O 是坐标原点，则 |于（ ） A 4 B 2 C 1 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 先利用三角形的中位线的性质，可得 利用双曲线的定义，求得|8，即可求得 | 【解答】 解：由题意，连接 中位线， 左支上一点 M 到右焦点 距离为 18， 由双曲线的定义知， | |2 5， |8 |4， 故选 A 10曲线 y= 在点（ 1， 1）处的切线方程为（ ） A y=x 2 B y= 3x+2 C y=2x 3 D y= 2x+1 【考点】 导数的几何意义 【分析】 根据导数的几何意义求出函数 f（ x）在 x=1 处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可 【解答】 解： y=（ ） = ， k=y|x=1= 2 l： y+1= 2（ x 1），则 y= 2x+1 故选： D 11已知点 P 在以 焦点的椭圆 + =1（ a b 0）上，若 =0， ，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 第 9 页（共 17 页） 【分析】 由已知可得焦点三角形为直角三角形，再由 ，得到 |2|结合椭圆定义求出 | |代入勾股定理得答案 【解答】 解：由 =0，可知 直角三角形， 又 ，可得 |2| 联立 |2a，解得： | ， | 由 ，得 ，即 故选： D 12已知函数 f（ x）（ x R）满足 f（ 1） =1，且 f（ x）的导函数 f（ x） ，则 f（ x） + 的解集为（ ） A x| 1 x 1 B x| 1 C x|x 1 或 x 1 D x|x 1 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 根据条件，构造函数 g（ x） =f（ x） ，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论 【解答】 解：设 g（ x） =f（ x） ，则函数的 g（ x）的导数 g（ x） =f（ x） ， f（ x）的导函数 f（ x） ， g（ x） =f（ x） 0， 则函数 g（ x）单调递减， f（ 1） =1， g（ 1） =f（ 1） =1 1=0， 则不等式 f（ x） + ，等价为 g（ x） 0， 即 g（ x） g（ 1）， 则 x 1， 即 f（ x） + 的解集 x|x 1， 故选： D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 第 10 页（共 17 页） 13甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A， B， C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为 A 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 可先由乙推出，可能去过 A 城市或 B 城市，再由甲推出只能是 A， B 中的一个，再由丙即可推出结论 【解答】 解：由乙说：我没去过 C 城市，则乙可能去过 A 城市或 B 城市， 但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市，则乙只能是去过 A， B 中的任一个， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为 A 故答案为： A 14双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论 【解答】 解：由题得：其焦点坐标为（ ， 0），（ ， 0）渐近线方程为 y= x，即x 2y=0， 所以焦点到其渐近线的距离 d= = 故答案为： 15已知数列 足 ， ，试归纳出这个数列的一个通项公式 【考点】 归纳推理 【分析】 把 n=1 及 代入已知的等式即可求出 值，把 n=2 及 值代入已知的等式即可求出 值，把 n=3 及 值代入 已知等式即可求出 值，把 n=4 及 值代入已知的等式即可求出 值，然后把求出的五项的值变形后，即可归纳总结得到这个数列的通项公式 【解答】 解：由 ，得到 = ， = ， 第 11 页（共 17 页） = ， = ， 则 （ n N*） 故答案为： 16已知函数 y=x+b）的图象如图所示，则 27 【考点】 对数函数的图象与性质 【分析】 根据图象过（ 0， 1）与（ 2， 0） ，代入函数解析式，建立方程组，即可求出 a 和b，最后求出所求 【解答】 解：由图象可知： ， b 2） =0 a=b=3 7 故答案为： 27 三、解答题（本题有 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17命题 p： x 0， x+ a；命题 q： R， 2 0若 q 为假命题， p 求 a 的取值范围 【考点】 复合命题的真假 【分析】 分别解出 p， q 为真时的 a 的范围，进 而求出 q 真 p 假时 a 的范围 【解答】 解：不妨设 p 为真，要使得不等式恒成立，只需 ， 又 当 x 0 时， （当且仅当 x=1 时取 “=”， a 2， 不妨设 q 为真，要使得不等式有解只需 0，即（ 2a） 2 4 0 解得 a 1 或 a 1， q 假，且 “p q”为假命题，故 q 真 p 假， 所以 ， 实数 a 的取值范围为 a 2 第 12 页（共 17 页） 18如图，已知椭圆的中心 在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M（ 2，1），平行于 直线 l 在 y 轴上的截距为 m（ m 0），直线 l 交椭圆于 A， B 两个不同点 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）求 m 的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）设出椭圆的方程，利用长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M（ 2， 1），建立方程，求出 a， b，即可求椭圆的方程； （ 2）由直线方程代入椭圆方程，利用根的判别式，即可求 m 的取值范围 【解答】 解：（ 1）设椭圆方程为 =1（ a b 0） 则 解得 ， 椭圆方程为 =1； （ 2） 直线 l 平行于 在 y 轴上的截距为 m 又 ， l 的方程为： y= x+m 由直线方程代入椭圆方程 4=0， 直线 l 与椭圆交于 A、 B 两个不同点， =（ 2m） 2 4（ 24） 0， 解得 2 m 2，且 m 0 19某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价 x（元） 8 销量 y（件） 90 84 83 80 75 68 （ ）求回归直线方程 =bx+a，其中 b= 20， a= b ； （ ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（ I）中的关系，且该产品的成本是 4 元 /件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润 =销售收入成本） 【考点】 回归分析的初步应用；线性回归方程 【分析】 （ I）计算平均数，利用 b= 20， a= b ，即可求得回归直线方程； 第 13 页（共 17 页） （ 工厂获得的利润为 L 元，利用利润 =销售收入成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大 【解答】 解：（ I） ， = b= 20， a= b ， a=80+20 50 回归直线方程 = 20x+250； （ 工厂获得的利润为 L 元，则 L=x（ 20x+250） 4（ 20x+250） =20 该产品的单价应定为 元，工厂获得的利润最大 20已知抛物线 E： p 0），直线 y= 与 E 交于 A、 B 两点，且 =2，其中O 为原点 （ 1）求抛物线 E 的方程； （ 2）点 C 坐标为（ 0， 2），记直线 斜率分别为 明 ： 2 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ 1）将直线与抛物线联立，消去 y，得到关于 x 的方程，得到两根之和、两根之积，设出 A、 B 的坐标，代入到 =2 中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得到 p，从而求出抛物线标准方程 （ 2）先利用点 A， B， C 的坐标求出直线 斜率，再根据抛物线方程轮化参数 y1，到 k 和 x 的关系式，将上一问中的两根之和两根之 积代入，化简表达式得到常数即可 【解答】 （ 1）解：将 y= 代入 24p=0， 其中 =46p 0， 设 A（ B（ 则 x1+ 4p， = = = 4p+4， 由已知， 4p+4=2，解得 p= ， 抛物线 E 的方程为 x2=y （ 2）证明：由（ 1）知 x1+x2=k， 2， = = = 同理 k2= =2（ 2 2（ x1+2= 86 21已知函数 f（ x） =1，（ a 为实数）， g（ x） =x （ 1）讨论函数 f（ x）的单调区间； 第 14 页（共 17 页） （ 2）求函数 g（ x）的极值； （ 3）求证： x x 0） 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求导数得到 f（ x） =a，然后讨论 a 的符号，从而可判断导数符号，这样即可求出每种情况下函数 f（ x）的单调区间； （ 2）可先求出函数 g（ x）的定义域，然后求导，判断导数的符号，从而根据极值的概念求出函数 g（ x）的极值； （ 3）可知 a=1 时， f（ x）在 x=0 处取得极小值，从而可得出 x+1，而由（ 2）可知 g（ x）在 x=1 处取得极大值，也是 最大值 1，这样即可得出 x 1 x，这样便可得出要证的结论 【解答】 解：（ 1）由题意得 f（ x） =a 当 a 0 时， f（ x） 0 恒成立，函数 f（ x）在 R 上单调递增， 当 a 0 时，由 f（ x） 0 可得 x f（ x） 0 可得 x 故函数 f（ x）在（ +）上单调递增，在（ ， 单调递减； （ 2）函数 g（ x）的定义域为（ 0， +）， ， 由 g（ x） 0 可得 0 x 1；由 g（ x） 0，可得 x 1 所以函数 g（ x）在（ 0， 1）上单调递增，在（ 1， +）上单调递减， 故函数 g（ x）在 x=1 取得极大值，其极大值为 1= 1 （ 3）证明：当 a=1 时， f（ x） =x 1， 由（ 1）知， f（ x） =x 1 在 x= 处取得极小值，也是最小值， 且 f（ x） ，故 x 1 0（ x 0），得到 x+1（ x 0） 由（ 2）知， g（ x） =x 在 x=l 处取得最大值，且 g（ x） 1， 故 x 1（ x 0），得到 x 1 x（ x 0） 综上 x x 0） 请考生在第 22， 23， 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 4何证明选讲 22已知， 圆 O 的直径， 垂直 一条弦，垂足为 E，弦 F （ 1）求证： E、 F、 G、 B 四点共圆； （ 2）若 ，求线段 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）连结 直径可知 0，又 此能证明 E、 F、 G、B 四点共圆； （ 2）连结 E、 F、 G、 B 四点共圆 ，运用