天津市河西区2016年高考数学一模试卷（文科）含答案解析

天津市河西区 2016 年高考数学一模试卷（文科） （解析版） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设 i 是虚数单位，若复数 z 满足（ 2 5i） z=29，则 z=（ ） A 2 5i B 2+5i C 2 5i D 2+5i 2在区间 ， 上随机取一个数 x， 值介于 0 到 之间的概率为（ ） A B C D 3如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 值为（ ） A 12 B 24 C 48 D 120 4 “ ”是函数 “y=最 小正周期为 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5直线 分割成的两段圆弧长之比为（ ） A 1： 1 B 1： 2 C 1： 3 D 1： 4 6已知函数 的零点为 下列结论正确的是（ ） A B C D 7已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的焦距是实轴长的 2 倍若抛物线 p 0）的焦点到双曲线 渐近线的距离为 2，则抛物线 方程为（ ） A y B y C y D 6y 8如 图所示，在 ， B， F 在线段 ，设 = ， = ， =x +y ，则 + 的最小值为（ ） A 6+2 B 9 C 9 D 6+4 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在题中横线上 9设全集 U=R，集合 A=x|1， B=x|2x 0，则 A（ = 10某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 11若曲线 f（ x） =曲线 g（ x） =x2+ 在交点（ 0， m）处有公切线，则a+b= 12已知等差数列 公差 d 0，且 成等比数列 前 3 项，则= 13如图，以 为直径的圆与 两边分别交于 E， F 两点， 0，则 14若关于 x 的不等式 3 |x a| 少有一个负数解，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15在 ， A、 B、 C 所对的边长分别为 a， b， c，其中 b=6， 面积为 15其外接圆半径为 5 （ 1）求 值； （ 2）求 周长 16某营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在 60， 90（单 位：克），脂肪的摄入量控制在 18， 27（单位：克）某学校食堂提供的伙食以食物 A 和食物 B 为主， 1 千克食物 A 含蛋白质 60 克，含脂肪 9 克，售价 20 元； 1 千克食物 B 含蛋白质 30 克，含脂肪27 克，售价 15 元 （ ）如果某学生只吃食物 A，判断他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由； （ ）为了花费最低且符合营养学家的建议，学生需要每天同时食用食物 A 和食物 B 各多少千克？并求出最低需要花费的钱数 17如图，在四棱锥 A ，平面 平面 0， D=2，E=1， ， F 为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ）求直线 平面 成角的正切值 18等差数列 前 n 项和为 列 等比数列，满足 ， ， 2=10， 2b2= （ ）求数列 通项公式； （ ）令 设数列 前 n 项和 19已知 别是椭圆 =1（ a b 0）的左右焦点， B 是椭圆的上顶点， ，过点 A 垂直于 x 轴的直线交椭圆于点 C （ 1）若点 C 坐标为 ，且 | ，求椭圆的方程； （ 2）若 椭圆的离心率 20设函数 f（ x） =x+1）（其中 e=， g（ x） =x2+，已知它们在 x=0 处有相同的切线 （ ）求函数 f（ x）， g（ x）的解析式； （ ）求函数 f（ x）在 t， t+1（ t 3）上的最小值； （ ）若对 x 2， x） g（ x）恒成立，求实数 k 的取值范围 2016 年天津市河西区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设 i 是虚数单位，若复数 z 满足（ 2 5i） z=29，则 z=（ ） A 2 5i B 2+5i C 2 5i D 2+5i 【分析】 把已知 的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解：由（ 2 5i） z=29，得 ， 故选： B 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 2在区间 ， 上随机取一个数 x， 值介于 0 到 之间的概率为（ ） A B C D 【分析】 求出所有的基本事件构成的区间长度；通过解三角不等式求出事件 “x 的值介于0 到 ”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率 【解答】 解：所有的基本事件构成的区间长度为 解得 或 “x 的值介于 0 到 ”包含的基本事件构成的区间长度为 由几何概型概率公式得 x 的值介于 0 到 之间的概率为 P= 故选 A 【点评】 本题考查结合三角函数的图象解三角不等式、考查几何概型的概率公式易错题 3如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 值为（ ） A 12 B 24 C 48 D 120 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 S， n 的值，当 n=6 时不满足条件 n 5，退出循环，输出 S 的值为 120 【解答】 解：模拟执行程序，可得 n=1， S=1 满足条件 n 5， S=1， n=2 满足条件 n 5， S=2， n=3 满足条件 n 5， S=6， n=4 满足条件 n 5， S=24， n=5 满足条件 n 5， S=120， n=6 不满足条件 n 5，退出循环，输出 S 的值为 120 故选： D 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确理解循环结构的功能和会使用判断框中的条件判断何时跳出循环结构是解题的关键，属于基础题 4 “ ”是函数 “y=最小正周期为 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 先证充分性：把 a= 代入函数解析式，利用二倍角的余弦函数公式化简函数解析式，找出 的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期为 ，成立；再研究必要性，把函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，由周期为 求出 的值为 或 ，故必要性不一定成立，从而得到前者是后者的充分不必要条件 【解答】 解：函数 y= =|4a|， T= =，即 a= ，故不必要； 当 a= 时， y= =2， T=，故充分， 则 “a= ”是 “函数 y=最小正周期为 ”的充分不必要条件 故选： A 【点评】 本题考查三角函数的周期性及其求法 ，用到的知识有二倍角的余弦函数公式，函数的周期公式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，把函数解析式化为一个角的三角函数是求函数周期的关键 5直线 分割成的两段圆弧长之比为（ ） A 1： 1 B 1： 2 C 1： 3 D 1： 4 【分析】 求出圆的圆心，半径 r 和圆心（ 1， 0）到直线 x 2=0 的距离，由此能求出直线 圆相交的弦所对的圆心 角，从而能够求出直线分割成的两段圆弧长之比 【解答】 解： 圆（ x 1） 2+ 的圆心（ 1， 0），半径 r=1， 圆心（ 1， 0）到直线 x 2=0 的距离： d= = ， 设直线 圆相交的弦所对的圆心角为 ， 则 = ， = ，解得 ， 直线 分割成的两段圆弧长之比为： =1： 2 故选： B 【 点评】 本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用 6已知函数 的零点为 下列结论正确的是（ ） A B C D 【分析】 利用函数零点的定义以及判定定理，求得 （ 1， 2），可得 、 、 大小关系 【解答】 解： 函数 的零点为 0，且 再根据 f（ x）在（ 0， +）为增函数， f（ 1） = 1 0， f（ 2） = 0， f（ 1） f（ 2） 0， 可得 （ 1， 2）， 2， （ 1， 2）， （ 0， 故选： C 【点评】 本题主要考查函数零点的定义以及判定定理，属于基础题 7已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的焦距是实轴长的 2 倍若抛物线 p 0）的焦点到双曲线 渐近线的距离为 2，则抛物线 方程为（ ） A y B y C y D 6y 【分析】 利用双曲线 =1（ a 0， b 0）的焦距是实轴长的 2 倍，推出 a， 出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出 p，即可得到抛物线的方程 【解答】 解： 双曲线 =1（ a 0， b 0）的焦距是实轴长的 2 倍， c=2a，即 =4， ， 双曲线的一条渐近线方程为： 抛物线 p 0）的焦点（ 0， ）到双曲线 渐近线的距离为 2， 2= ， ， p=8 抛物线 方程为 6y 故选： D 【点评】 本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力 8如图所示，在 ， B， F 在线段 ，设 = ， = ， =x +y ，则 + 的最小值为（ ） A 6+2 B 9 C 9 D 6+4 【分析】 F 在线段 ， =x +y = +y ，利用向量共线定理可得： 2x+y=1再利用 “乘 1 法 ”和基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： F 在线段 ， =x +y = +y ， 2x+y=1 x， y 0 + =（ 2x+y） =6+ =6+4 ，当且仅当 y=2 x=2 时取等号 故选： D 【点评】 本题考查了向量共线定理、 “乘 1 法 ”和基本不等式的性质，属于基础题 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在题中横线上 9设全集 U=R，集合 A=x|1， B=x|2x 0，则 A（ = 0， 1） 【分析】 求出集合 A， B，利用集合的基本运算即可得到结论 【解答】 解：集合 A=x|1=（ 1， 1）， B=x|2x 0=（ ， 0） （ 2， +）， 即 0， 2， 故 A（ =0， 1） 故答案为： 0， 1） 【点评】 本题主要考查集合的基本运算，求出集合 A， B 的元素是解决本题的关键，比较基础 10某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【分析】 由三视图知该组合体是：一个四棱锥沿着右侧面挖去一个半圆锥得到的，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：由三视图知该几何体的直观图为： 即从四棱锥 P 挖去了一个半圆锥所得的组合体， 四棱锥 P 面是边长为 2 的正方形、高为 2， 圆锥底面圆的半径是 1、高为 2，顶点是 P， 所求的体积 V= = ， 故答案为： 【点评】 本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力 11若曲线 f（ x） =曲线 g（ x） =x2+ 在交点（ 0， m）处有公切线，则 a+b= 1 【分析】 若曲线 f（ x）与曲线 g（ x）在交点（ 0， m）处有公切线，则切点的坐标相等且切线的斜率（切点处的导函数值）均相等，由此构造关于 a， b 的方程，解方程可得答案 【解答】 解： f（ x） =g（ x） =x2+ f（ x） = g（ x） =2x+b 曲线 f（ x） =曲线 g（ x） =x2+ 在交点（ 0， m）处有公切线， f（ 0） =a=g（ 0） =1 且 f（ 0） =0=g（ x） =b 即 a=1， b=0 a+b=1 故答案为： 1 【点评】 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中根据已知分析出 f（ 0） =g（ 0）且 f（ 0） =g（ x）是解答的关键 12已知等差数列 公差 d 0，且 成等比数列 前 3 项，则= 【分析】 成等比数列 前 3 项，可得 =为： a1=d代入 ，即可得出 【解答】 解： 成等比数列 前 3 项， = =d）， 化为： a1=d = = = 故答案为： 【点评】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 13如图，以 为直径的圆与 两边分别交于 E， F 两点， 0，则 2 【分析】 由圆的内接四边形性质定理，结合三角相似的判定定理可以证得， 我们可以找到 已知长度的 之间的比例等于两个相似三角形的相似比，故求出相似比是解决本题关键，由 0及 直径，我们不难求出相似比代入求解即可 【解答】 证明：如图，连接 圆的直径， 0 又 0 圆内接四边形性质易得： 由圆内接四边形对角互补，同角的补角相等得到的） 又因为 C= C 又 【点评】 本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的性质，其中 30所对的直角边等于斜边的一半是解决本题的关键点，当已知中的条件可以得到一个等边三角形、平行四边形、直角三角形等特殊图形，我们经常利用这些图 形特有的性质，得到相关的数量关系，进行求解 14若关于 x 的不等式 3 |x a| 少有一个负数解，则实数 a 的取值范围是 （ ，3） 【分析】 由题意转化为关于 x 的不等式 3 |x a|至少有一个负数解，作函数 y=3 y=|x a|的图象，从而转化为在 y 轴左侧，函数 y=|x a|的图象有在函数 y=3 图象的下方的部分，从而结合图象解得 【解答】 解： 关于 x 的不等式 3 |x a| 少有一个负数解， 关于 x 的不等式 3 |x a|至少有一个负数解， 作函数 y=3 y=|x a|的图象如下， 结合图象可知， 关于 x 的不等式 3 |x a|至少有一个负数解可化为 在 y 轴左侧，函数 y=|x a|的图象有在函数 y=3 图象的下方的部分， 当 y=|x a|过点（ 0， 3），即 a=3 时，是临界值， 当 y=|x a|在 y 轴左侧与 y=3 图象相切， 即 y= 2x=1，即过点（ ， ），即 a= 时，是临界值， 结合图象可知， 实数 a 的取值范围是（ ， 3） 【点评】 本题考查了不等式与函数的关系的应用及导数的综合应用，同时考查了数形结合的思想方法应用 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15在 ， A、 B、 C 所对的边长分别为 a， b， c，其中 b=6， 面积为 15其外接圆半 径为 5 （ 1）求 值； （ 2）求 周长 【分析】 （ 1）由正弦定理可得 = 又由 S= 5且 0 知 可求 ，从而可得 值 （ 2）由（ 1）及余弦定理得： = ，即可解得 a+c 的值，从而可求 【解答】 解：（ 1）由正弦定理得， ， = 又 面积为 15， S= 5 0 a， c 有一个比 b 大， 即 B 是 锐角， ， = （ 2）由（ 1）及余弦定理得： = ， a2+16， （ a+c） 2=216， a+c=6 ， 周长为 a+b+c=6+6 故答案为： 6+6 【点评】 本题考查正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式和大边对大角的应用，属于难题 16某营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在 60， 90（单位：克），脂肪的摄入量控制在 18， 27（单位：克）某学校食堂提供的伙食以食物 A 和食物 B 为主， 1 千克食物 A 含蛋白质 60 克，含脂肪 9 克，售价 20 元； 1 千克食物 B 含蛋白质 30 克 ，含脂肪27 克，售价 15 元 （ ）如果某学生只吃食物 A，判断他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由； （ ）为了花费最低且符合营养学家的建议，学生需要每天同时食用食物 A 和食物 B 各多少千克？并求出最低需要花费的钱数 【分析】 （ ）如果学生只吃食物 而得不等式组 ，是否有解即可； （ ）由题意，设学生每天吃食物 物 而得到目标函数 z=20x+15y；线性约束条件 ，从 而利用线性规划求解即可 【解答】 解：（ ）如果学生只吃食物 则 ， 无解， 故不符合营养学家的建议； （ ）由题意，设学生每天吃食物 物 则 z=20x+15y； 作平面区域如下， ， 由 解得， x= ， y= ； 故 z=20 +15 =22； 答：学生每天吃 克食物 A， 克食物 B，既能符合营养学家的建议又花费最少 最低需要花费 22 元 【点评】 本题考查了线性规划在实际问题中的应用，属于中档题 17如图，在四棱锥 A ，平面 平面 0， D=2，E=1， ， F 为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ）求直线 平面 成角的正切值 【分析】 （ I）取 中点 G，连结 可证明四边形 平行四边形，故而 是 平面 （ 中点 H，连结 可利用勾股定理计算出 ，从而得出 面面垂直的性质得 出 平面 （ 点 E 作 延长线于点 M，连结 可证 平面 而 直线 平面 成角，利用勾股定理计算 可得出 【解答】 证明：（ ）取 中点 G，连结 F 是 中点， D， 又 D， E 四边形 平行四边形 面 平面 平面 （ ）取 中点 H，连结 0， H=， 四边形 正方形， H=1， ，又 ， ， 平面 平面 面 面 C， 平面 平面 （ ）过点 E 作 延长线于点 M，连结 因为平面 平面 面 面 C， 平面 平面 直线 平面 成角， 5， 0， 5 ， 0， M= = ， = 【点评】 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，面面垂直的性质，线面角的计算，属于中档题 18等差数列 前 n 项和为 列 等比数列，满足 ， ， 2=10， 2b2= （ ）求数列 通项公式； （ ）令 设数列 前 n 项和 【分析】 （ I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出； （ ）由 ， n+1 得 Sn=n（ n+2）则 n 为奇数， = “分组求和 ”，利用 “裂项求和 ”、等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ ）设数列 公差为 d，数列 公比为 q， 由 2=10， 2b2= 得 ，解得 +2（ n 1） =2n+1， （ ）由 ， n+1 得 Sn=n（ n+2）， 则 n 为奇数， = ， n 为偶数， n 1 c1+1） +（ c2+ = = = 【点评】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “分组求和 ”、 “裂项求和 ”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19已知 别是椭圆 =1（ a b 0）的左右焦点， B 是 椭圆的上顶点， ，过点 A 垂直于 x 轴的直线交椭圆于点 C （ 1）若点 C 坐标为 ，且 | ，求椭圆的方程； （ 2）若 椭圆的离心率 【分析】 （ 1）根据椭圆的方程和性质，建立方程关系即可求出 a， b 的值 （ 2）求出 C 的坐标，利用 立斜率之间的关系，解方程即可求出 e 的值 【解答】 解：（ 1） C 的坐标为（ ， ）， + =1，即 + =9， | ， a2=b2+ ） 2=2，即 ， 则椭圆的方 程为 + （ 2）设 c， 0）， c， 0）， B（ 0， b）， 直线 y= x+b，代入椭圆 =1（ a b 0）得 （ + ） =0， 解得 x=0，或 x= ， A（ ， ），且 A， C 关于 x 轴对称， C（ ， ）， 则 = = ， （ ） = 1， 由 b2= = ， 即 e= 【点评】 本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运 算量较大 20设函数 f（ x） =x+1）（其中 e=， g（ x） =x2+，已知它们在 x=0 处有相同的切线 （ ）求函数 f（ x）， g（ x）的解析式； （ ）求函数 f（ x）在 t， t+1（ t 3）上的最小值； （ ）若对 x 2， x） g（ x）恒成立，求实数 k 的取值范围 【分析】 （ ）求导函数，利用两函数在 x=0 处有相同的切线，可得 2a=b， f（ 0） =a=g（ 0）=2