上海市2016年七校联考高考数学一模试卷（理科）含答案解析

上海市 2016 年七校联考高考数学一模试卷（理科） （解析版） 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，只要求直接填写结果，每题填对得 4分，否则一律得零分 . 1方程 4x=2x+1 1 的解是 2增广矩阵 对应方程组的系数行列式中，元素 3 的代数余子式的值为 3在 x（ 1+ ） 6 的展开式中，含 系数是 （用数字作答） 4若关于 x 的不等式 23x+a 0 的解集为（ m， 1），则实数 m= 5若 ，则它的反函数是 f 1（ x） = 6设抛物线 x2=焦点与双曲线 的上焦点重合，则 p 的值为 7已知数列 ，则 a1+a2+a3+ 8已知函数 f（ x） = 则使 ff（ x） =2 成立的实数 x 的集合为 9执行如图所示的程序框图，若 p=输出的 n= 10曲线 y=k（ A 0， k 0）在区间 上截直线 y=4 与 y= 2 所得的弦长相等且不为 0，则 A+k 的取值范围是 11若边长为 6 的等边三角形 M 是其外接圆上任一点，则 的最大值为 12设 为随机变量，从边长为 1 的正方体 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时， =0；当两条棱异面时， =1；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离，则数学期望 13设数列 首项为 0 的递增数列，满足：对于任意的 b 0， 1），x） =b 总有两个不同的根，则 通项公式为 14如图，半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 内，过点 O 作平面 的垂线交半球面于点 A，过圆 O 的直径 与平面 成 45角的 平面与半球面相交，所得交线上到平面 的距离最大的点为 B，该交线上的一点 P 满足 0，则 A， P 两点间的球面距离为 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分 . 15设 a、 b 均为非零实数，则 “ ”是 “ ”的什么条件？（ ） A充分不必要 条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 16已知 a 是实数，则函数 f（ x） =图象可能是（ ） A B C D 17数列 足 ， ，则 的整数部分是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 18在直角坐标系中，如果不同的两点 A（ a， b）， B（ a， b）都在函数 y=f（ x）的图象上，那么称 A， B为函数 f（ x）的一组关于原点的中心对称点（ A， B与 B， A看作同一组），函数 g（ x） = ，关于原点的中心对称点的组数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列 各题必须写出必要的步骤 . 19已知函数 f（ x） = （ 1）若 0 ，且 ，求 f（ ）的值； （ 2）求函数 f（ x）的最小正周期及单调递增区间 20设在直三棱柱 ， C=， 0， E， F 依次为 （ 1）求异面直线 成角 的大 小（用反三角函数值表示）； （ 2）求点 平面 距离 21已知椭圆 的长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 B（ 0， 1） （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）直线 l： y=k（ x+2）交椭圆于 P， Q 两点，若点 B 始终在以 直径的圆内，求实数k 的取值范围 22已知函数 f（ x） =a（ x+ ） |x |（ x 0） a R （ 1）若 a= ，求 y=f（ x）的单调区间； （ 2）若关于 x 的方程 f（ x） =t 有四个不同的解 实数 a， t 应满足的条件； （ 3）在（ 2）条件下，若 等比数列，求 t 用 a 表示 23设数列 前 n 项和为 一切 n N*，点（ n， ）都在函数 f（ x） =x+ 的图象上 （ 1）计算 归纳出数列 通项公式； （ 2）将数列 次按 1 项、 2 项、 3 项、 4 项循环地分为（ （ （ a5，（ （ （ （ （ （ ，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为 求 b5+值； （ 3）设 数列 的前 n 项积，若不等式 f（ a） 对一切 n N*都成立，求 a 的取值范围 2016 年上海市七校联考高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，只要求直接填写结果，每题填对得 4分，否则一律得零分 . 1方程 4x=2x+1 1 的解是 x=0 【分析】 由已知得（ 2x） 2 2 2x+1=0，由此能求出原方程的解 【解答】 解： 4x=2x+1 1， （ 2x） 2 2 2x+1=0， 解得 2x=1， x=0 故答案为： x=0 【点评】 本题考查方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质的合理运用 2增广矩阵 对应方程组的系数行列式中，元素 3 的代数余子式的值为 5 【分析】 根据余子式的定义可知， ，计算即可得解 【解答】 解：由题意得： =5， 故答案为 ： 5 【点评】 此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题 3在 x（ 1+ ） 6 的展开式中，含 系数是 15 （用数字作答） 【分析】 利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 2，即可求解含 项的系数 【解答】 解：（ 1+ ） 6 展开式的通项为 =） r= 令 r=4 得含 项的系数是 5， 在 x（ 1+ ） 6 的展开式中，含 系数是： 15 故答案为： 15 【点评】 本题考查二项展开式上通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具 4若关于 x 的不等式 23x+a 0 的解集为（ m， 1），则实数 m= 【分析】 由不等式 23x+a 0 的解集为（ m， 1）可知： x=m， x=1 是方程 23x+a=0的两根根据韦达定理便可分别求出 m 和 a 的值 【解答】 解：由不等式 23x+a 0 的解集为（ m， 1）可知： x=m， x=1 是方程 23x+a=0的两根由韦达定理得： ，解得： m= ， a=1 【点评】 本题考查一元二次不等式的解法 5若 ，则它的反函数是 f 1（ x） = 【分析】 由 y= （ x 0），解得： x= ，把 x 与 y 互换即可得出 【解答】 解：由 y= （ x 0）， 解得： x= ， 把 x 与 y 互换可得： y= 故答案为： 【点评】 本题考 查了反函数的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 6设抛物线 x2=焦点与双曲线 的上焦点重合，则 p 的值为 8 【分析】 利用双曲线和抛物线的简单性质直接求解 【解答】 解： 双曲线 ， c= =2， 双曲线的两个焦点坐标分别为 2， 0）， 2， 0）， 抛物线 x2=焦点 F（ ， 0）与双曲线 的上焦点重合， = =2， p=8 故答案为： 8 【点评】 本题考查抛物线中参数的求法，是基础题，解题时要注意双曲线和抛物线的简单性质的合理运用 7已知数列 ，则 a1+a2+a3+5000 【分析】 由已知条件可得数列的奇数项是以 0 为首项，以 2 为公差的等差数列、偶数项以 2为首项， 2 为公差的等差数列，分别代入等差数列的前 n 项和公式计算 【解答】 解： a1+a2+a3+（ a1+（ a2+ =（ 0+2+4+98） +（ 2+4+100） =49 50+51 50=5000 故答案为 5000 【点评】 本题主要考查等差数列的求和公式，分组求和的方法，考查学生的运算能力 8已知函数 f（ x） = 则使 ff（ x） =2 成立的实数 x 的集合为 x|0 x 1，或 x=2 【分析】 结合函数的图象可得，若 ff（ x） =2，则 f（ x） =2 或 0 f（ x） 1若 f（ x）=2，由函数 f（ x）的图象求得 x 得范围；若 0 f（ x） 1，则由 f（ x）的图象可得 x 的范围，再把这 2 个 x 的范围取并集，即得所求 【解答】 解：画出函数 f（ x） = 的图象， 如图所示：故函数的值域为（ ， 0） （ 1， +） 由 ff（ x） =2 可得 f（ x） =2 或 0 f（ x） 1 若 f（ x） =2，由函数 f（ x）的图象可得 0 x 1，或 x=2 若 0 f（ x） 1，则由 f（ x）的图象可得 x 综上可得，使 ff（ x） =2 成立的实数 x 的集合为 x|0 x 1，或 x=2， 故答案为 x|0 x 1，或 x=2 【点评】 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题 9执行如图所示的程序框图，若 p=输出的 n= 4 【分析】 根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断 S= ， n+1 的值 【解答】 解：根据流程图所示的顺序， 该程序的作用是判断 S= ， n+1 的值 当 n=2 时， 当 n=3 时， ， 此时 n+1=4 故答案为： 4 【点评】 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是： 分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理） 建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 解模 10曲线 y=k（ A 0， k 0）在区间 上截直线 y=4 与 y= 2 所得的弦长相等且不为 0，则 A+k 的取值范围 是 （ 4， +） 【分析】 根据曲线的方程可求得函数的周期，进而根据被直线 y=4 和 y= 2 所截的弦长相等且不为 0，推断出 k= =1， A =3答案可得 【解答】 解：曲线 y=2x+） +k（ A 0， k 0）的周期为 T= = ， 被直线 y=4 和 y= 2 所截的弦长相等且不为 0， 结合 图形可得 k= =1， A =3 则 A+k 4， 故答案为：（ 4， +） 【点评】 本题主要考查了三角函数图象和性质，对 y=x+） +B（ A 0， 0），周期为 T= ，平衡位置为 y=B， +B， A+B，属于中档题 11若边长为 6 的等边三角形 M 是其外接圆上任一点，则 的最大值为 18+12 【分析】 求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将 表示成 的三角函数，求出最大值 【解答】 解： 等边三角形， 三角形的外接圆半径为 2 ， 以外接圆圆心 O 为原点建立平面直角坐标系，设 A（ 2 ， 0）， B（ ， 3） 设 M（ 2 2 则 ， = 18 8=12 ） +18 的最大值是 18+12 故答案为 18+12 【点评】 本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题 12设 为随机变量，从边长为 1 的正方体 12 条棱中任取两条，当 两条棱相交时， =0；当两条棱异面时， =1；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离，则数学期望 【分析】 从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，共有 种方法，若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的一个，过任意 1 个顶点恰有 3 条棱，共有 8 对相交棱，两条棱平行，则它们的距离为 1 或 ，其中距离为 的共有 6 对，由此能求出数学期望 【解答】 解：若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的一个，过任意 1 个顶点恰有 3条棱， 共有 8 对相交棱， P（ =0） = = ， 若两条棱平行，则它们的距离为 1 或 ，其中距离为 的共有 6 对， P（ = ） = = ， P（ =1） =1 P（ =0） P（ = ） = ， 随机变量 的数学期望 E（ ） =1 + = 故答案为： 【点评】 本题考查数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间几何体的性质的合理运用 13设数列 首项为 0 的递增数列，满足：对于任意的 b 0， 1），x） =b 总有两个不同的根，则 通项公式为 【分析】 根据条件确定 an=用叠加可求得 通项公式 【解答】 解： ，当 n=1 时， x） =|x |=| x 0， 又 对任意的 b 0， 1）， x） =b 总有两个不同的根， x） =x 0， ， 又 x） =| x |=| x ） |=|， x ， 对任意的 b 0， 1）， x） =b 总有两个不同的根， （ 5 分） 又 x） =| x |=| x 3） |=|， x 3， 对任意的 b 0， 1）， x） =b 总有两个不同的根， （ 6 分） 由此可得 an= an= +（ 1） =0+（ n 1） = 故答案为： 【点评】 本题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题 14如图，半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 内，过点 O 作平面 的垂线交半球面于点 A，过圆 O 的直径 与平面 成 45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 的距离最大的点为 B，该交线上的一点 P 满足 0，则 A， P 两点间的球面距离为 【分析】 由题意求出 距离，然后求出 可求解 A、 P 两点间的球面距离 【解答】 解：半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 内，过点 O 作平面 的垂线交半球面于点 A，过圆 O 的直径 平面 成 45角的平面与 半球面相交，所得交线上到平面 的距离最大的点为 B，所以 平面 因为 0，所以 正三角形， P 到 距离为 R， E 为 中点， = R， = R， 2 （ R） 2=2 2 ， A、 P 两点间的球面距离为 故答案为： 【点评】 本题考查反三角函 数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分 . 15设 a、 b 均为非零实数，则 “ ”是 “ ”的什么条件？（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 分别求出不等式成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的 定义进行判断 【解答】 解：当 b= 1， a=1 时，满足 ，但 不成立 若 ，则 ， ， 成立 “ ”是 “ ”成立的必要不充分条件 故选： B 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键 16已知 a 是实数，则函数 f（ x） =图象可能是（ ） A B C D 【分析】 根据函数的奇偶性排除不 满足题意的选项，根据函数的表达式确定函数的最值与周期的关系，推出正确结果 【解答】 解：函数 f（ x） =为函数 f（ x） = =f（ x），所以函数是偶函数，所以 A、 D 错误； 结合选项 B、 C，可知函数的周期为： ，所以 a=2，所以 B 不正确， C 正确 故选 C 【点评】 本题是基础题，考查视图能力，发现问题解决问题的能力，排除方法的应用，函数的周期与最值的关系是解题的关键，好题 17数列 足 ， ，则 的整数部分是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【分析】 由题意可知， 1=1）从而得到 ，通过累加得： m= + = =2 ， 0， 得： 2， ， 1 m 2，故可求得 m 的整数部分 【解答】 解：由题意可知， 1=1）， ， m= + = 2 ， 0， 2， ， 1 m 2，故可求得 m 的整数部分 1 故答案选： B 【点评】 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真 审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式 18在直角坐标系中，如果不同的两点 A（ a， b）， B（ a， b）都在函数 y=f（ x）的图象上，那么称 A， B为函数 f（ x）的一组关于原点的中心对称点（ A， B与 B， A看作同一组），函数 g（ x） = ，关于原点的中心对称点的组数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【分析】 利用定义，只要求出 g（ x） = x 0，关于原点对 称的函数 h（ x） =x 0，观察 h（ x）与 g（ x） =x+1）， x 0 的交点个数，即为中心对称点的组数 【解答】 解：由题意可知 g（ x） = x 0，则函数 g（ x） = x 0， 关于原点对称的函数为 h（ x） = x 0， 则坐标系中分别作出函数 h（ x） = x 0， g（ x） =x+1）， x 0 的图象如图， 由图象可知，两个图象的交点个数有 1 个， 所以函数 g（ x） = 关于原点的中心对称点的组数为 1 组 故选： B 【点评】 本题主要考查函数的交点问题，利用定义先求出函数关于原点对称的函数，是解决本题的关键 三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤 . 19已知函数 f（ x） = （ 1）若 0 ，且 ，求 f（ ）的值； （ 2）求函数 f（ x）的最小正周期及单调递增区间 【分析】 （ 1）利用同角三角函数关系求得 别代入函数解析式即可求得 f（ ）的值 （ 2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求 得函数最小正周期和单调增区间 【解答】 解：（ 1） 0 ，且 ， ， f（ ） = ， = （ + ） = （ 2） f（ x） = = = 2x+ ）， T= =， 由 2 2x+ 2， k Z，得 x ， k Z， f（ x）的单调递增区间为 ， ， k Z 【点评】 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用考查了学生对基础知识的综合运用 20设在直三棱柱 ， C=， 0， E， F 依次为 （ 1）求异面直线 成角 的大小（用反三角函数值表示）； （ 2）求点 平面 距离 【分析】 （ 1）连接 为 面直线 成角与 成角相等 （ 2）利用平面 一个法向量，建立空间坐标系，求出求点 平面 距离 【解答】 解：以 A 为原点建立如图空间坐标系， 则各点坐标为 0， 0， 2）， B（ 2， 0， 0）， 2， 0， 2）， E（ 0， 2， 1）， F（ 1， 1，0）（ 2 分） （ 1） ， ， （ 6 分） （ 2）设平面 一个法向量为 ， ， 由 得 令 a=1 可得 （ 10 分） ， （ 13 分） 点 平面 距离为 （ 14 分） 【点评】 此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算 21已知椭圆 的长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 B（ 0， 1） （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）直线 l： y=k（ x+2）交椭圆于 P， Q 两点，若点 B 始终在以 直径 的圆内，求实数k 的取值范围 【分析】 （ 1）由题意可得 a=2b， b=1，解得 a=2，进而得到椭圆方程； （ 2）设 P（ Q（ 联立直线 l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q 的坐标，由点 B 在以 直径圆内，得 钝角或平角，即有 ，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围 【解答】 解：（ 1）由题意知， a=2b， b=1，解得 a=2， 可得椭圆的标准方程为： ； （ 2）设 P（ Q（ 联立 ，消去 y，得（ 1+4664=0，（ *） 依题意：直线 l： y=k（ x+2）恒过点（ 2， 0）， 此点为椭圆的左顶点，所以 2， ， 由（ *）式， ， 得 y1+y2=k（ x1+4k， 由 ，可得 ， 由点 B 在以 直径圆内，得 钝角或 平角， 即 即 ， 整理得 204k 3 0，解得 【点评】 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查实数的取值范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查点在圆内的条件：点与直径的端点的张角为钝角或平角，运用 数量积小于 0，考查化简整理的运算能力，属于中档题 22已知函数 f（ x） =a（ x+ ） |x |（ x 0） a R （ 1）若 a= ，求 y=f（ x）的单调区间； （ 2）若关于 x 的方程 f（ x） =t 有四个不同的解 实数 a， t 应满足的条件； （ 3）在（ 2）条件下，若 等比数列，求 t 用 a 表示 【分析】 （ 1）将 a= 代入，结合正比例函数和反比例函数的图象和性质，可得函数的单调区间； （ 2）利用导数法，分类讨论，不同情况下 y=f（ x）的单调性，进而求出满足条件的实数 a，t 的范围； （ 3）韦达定理可得 两互为倒数，结合等比数列的性质，结合韦达定理，可用 a 表示 t 【解答】 解：（ 1）当 a= 时， 函数 f（ x） = （ x+ ） |x |= 故 y=f（ x）的单调递增区间为（ 0， 1， 单调递减区间为 1， +）； （ 2） f（ x） =a（ x+ ） |x |= ， f（ x） = ， 当 a 1 时， y=f（ x）的单调递增区间为（ 0， 1，单调递减区间为 1， +），不合题意 当 a 1 时， f（ x）在（ 0， 上单调递减，在 ， 1上单调递增， 在 1， 上单调递减，在 ， +）上单调递增， 又由 f（ ） =f（ ） = ， f（ 1） =2a， 方程 f（ x） =t 有四个不同的解 ， a， t 应满足的条件为： t 2a， a 1； （ 3） f（ x） =t 即 ，或 ， 即（ a+1） tx+a 1=0，或（ a 1） tx+a+1=0， 由韦达定理可得两方程的根分别互为倒数， 设四个解从小到大依次为 ， ， ， 若 等比数列， 则 x1= ， x1+， ， +（ ） 3= ， 解得： t= + （ a 1） 【点评】 本题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及判断，函数的单调性，与函数的极值，数列的性质，综合性强，转化困难，属于难题 23设数列 前 n 项和为 一切 n N*，点（ n， ）都在函数 f（ x） =x+ 的图象上 （ 1）计算 归纳出数列 通项公式； （ 2）将数列 次按 1 项、 2 项、 3 项、 4 项循环地分为（ （ （ a5，（ （ （ （ （ （ ，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为 求 b5+值； （ 3）设 数列 的前 n 项积，若不等式 f（ a） 对一切 n N*都成立，求 a 的取值范围 【分析】 （ 1）由已知可得， 即 分别令 n=1， n=2， n=3，代入可求 而猜想 2）由 n 可得数