2016年广东省梅州市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年广东省梅州市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题 1已知集合 A=x| 0，集合 B=1， 2， 3，则 AB=（ ） A 1 B 1， 2 C 2， 3 D 3 2若 z 为复数且 z（ 2 i） =3+i， i 为虚数单位，则 |z|=（ ） A 2 B C D 3已知 等差数列，其前 n 项和为 ， 2，则公差 d 等于（ ） A 1 B C 2 D 3 4已知 a， b， c， d 为实数，且 c d则 “a b”是 “a c b d”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5如图所示的框图，若输入的 n 的值为 4，则输出的 S=（ ） A 3 B 4 C 1 D 0 6已知 ， ，向量 与 垂直，则实数 的值为（ ） A B C D 7已知偶函数 f（ x）在区间 0， +）单调递增，则满足 f（ 2x 1） 的 x 的取值范围是（ ） A（ ， ） B ， ） C（ ， ） D ， ） 8已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： 可得这个几何体的侧面积为（ ） 第 2 页（共 20 页） A 从某高中随机选取 5 名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示： 身高 x（ 160 165 170 175 180 体重 y（ 63 66 70 72 74 根据上表可得回归直线方程 =，据此模型预报身高为 172高三男生的体重为（ ） A 0设函数，则 f（ x） =2x+ ） +2x+ ），则（ ） A y=f（ x）在（ 0， ）单调递增，其图象关于直线 x= 对称 B y=f（ x）在（ 0， ）单调递增，其图象关于直线 x= 对称 C y=f（ x）在（ 0， ）单调递减，其图象关于直线 x= 对称 D y=f（ x）在（ 0， ）单调递减，其图象关于直线 x= 对称 11已知 a 0， b 0，且 ，目标凼数 + 的最大值为 2，则 a+b（ ） A有最大值 4 B有最大值 2 C有最小值 4 D有最小值 2 12已知函数 f（ x） =3，若 f（ x）存在唯一的零点 0，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 1， +） B（ 2， +） C（ ， 1） D（ ， 2） 二、填空题 13已知 前 n 项和为 2，则 第 3 页（共 20 页） 14在平面直角系 ，已知中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率 e= 的双曲线 C 的一个焦点与抛物线 0x 的焦点 F 重合，则双曲线 C 的方程为 15直三棱柱 各顶点都在同一球面上，若 C=， 20，则此球的表面积等于 16若直线 l： ax+=0 始终平分圆 M： x2+x+2y+1=0 的周长，则（ a 2） 2+（ b 2）2 的最小值为 三、解答题 17在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，且 （ ）求角 A 的大小； （ ）若 a=3， 求 b、 c 的值 18甲、乙两班各 20 个学生某次数学考试成绩（单位：分）的茎叶图如图所示，根据茎叶图解决下列问题 （ 1）分别指出甲、乙两班成绩的中位数； （ 2）分别求出甲、乙两班成绩的平均值； （ 3）定义成绩在 80 分以上的为优秀，现从甲、乙两班各随机抽取 1 个成绩为优秀的样本，求甲班的成绩大于乙班的成绩的概率 19如图，已知三棱柱 ，侧面 底面 面边长的侧棱长均为 2， （ 1）求证： 平面 （ 2）求证 平面 距离 20在平面直角坐标系 ，动点 P 到定点 F（ 1， 0）的距离和它到定直线 x=2 的距离比是 （ 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； 第 4 页（共 20 页） （ 2）设过点 Q（ ， 0）的直线 l 与曲线 C 交于点 M， N，求证：点 A（ ， 0）在以 21设 a 为实数，函数 f（ x） =2x+2a， x R （ 1）求 f（ x）的单调区间及极值； （ 2）求证：当 a 1 且 x 0 时， 2 选修 4何证明选讲 22如图， 直角三角形， 0，以 直径的圆 O 交 点 E，点 C 边的中点，连接 圆 O 于点 M （ 1）求证： O、 B、 D、 E 四点共圆； （ 2）求证： 2MM 选修 4标系与参数方程选讲 23在平面直角坐标系 ，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A 的极坐标为（ ， ），直线 l 的极坐标方程为 ） =a，且点 A 在直线 l 上 （ 1）求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程； （ 2）若圆 C 的参数方程为 （ 为参数）， 试判断直线 l 与圆 C 的位置关系 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =m |x 1| |x+1| （ 1）当 m=5 时，求不等式 f（ x） 2 的解集； （ 2）若二次函数 y=x+3 与函数 y=f（ x）的图象恒有公共点，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年广东省梅州市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1已知集合 A=x| 0，集合 B=1， 2， 3，则 AB=（ ） A 1 B 1， 2 C 2， 3 D 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得： x（ x 2） 0，且 x 2 0， 解得： 0 x 2，即 A=0， 2）， B=1， 2， 3， AB=1， 故选： A 2若 z 为复数且 z（ 2 i） =3+i， i 为虚数单位，则 |z|=（ ） A 2 B C D 【考点】 复数求模 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】 解： z（ 2 i） =3+i， z（ 2 i）（ 2+i） =（ 3+i）（ 2+i）， 5z=5+5i， z=1+i 则 |z|= 故选： B 3已知 等差数列，其前 n 项和为 ， 2，则公差 d 等于（ ） A 1 B C 2 D 3 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 设出等差数列的首项和公差，由 ， 2，联立可求公差 d 【解答】 解：设等差数列 首项为 差为 d， 由 ， 2，得： 解得： ， d=2 故选 C 4已知 a， b， c， d 为实数，且 c d则 “a b”是 “a c b d”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式 第 6 页（共 20 页） 【分析】 由题意看命题 “a b”与命题 “a c b d”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断 【解答】 解： a c b d， c d 两个同向不等式相加得 a b 但 c d， a ba c b d 例如 a=2， b=1， c= 1， d= 3 时， a c b d 故选 B 5如图所示的框图，若输入的 n 的值为 4，则输出的 S=（ ） A 3 B 4 C 1 D 0 【考点】 程序框图 【分析】 由程序框图知，每次进入循环体后， S 的值计算公式是 S=S+（ 1） k+1k，由此得出经过 4 次运算后输出的 S 值 【解答】 解：由程序框图知运算规则是计算 S 的值，当输入 n=4 时， 第一次进入循环体后 S=1+1=2， 第二次进入循环体后 S=2 2=0， 第三次进入循环体后 S=0+3=3， 第四次进入循环体后 S=3 4= 1， 此时 k=4，退出循环； 则输出 S 的值为： 1 故选： C 6已知 ， ，向量 与 垂直，则实数 的值为（ ） A B C D 【考点】 平面向量的综合题；数量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】 先求出向量 与 的坐标，再利用 2 个向量垂直，数量积等于 0，求出待定系数 的值 【解答】 解： 已知 ， ，向量 与 垂直， 第 7 页（共 20 页） （ ） （ ） =0， 即：（ 3 1， 2） （ 1， 2） =0， 3+1+4=0， = 故选 A 7已知偶函数 f（ x）在区间 0， +）单调递增，则满足 f（ 2x 1） 的 x 的取值范围是（ ） A（ ， ） B ， ） C（ ， ） D ， ） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可 【解答】 解： f（ x）是偶函数， f（ x） =f（ |x|）， 不等式等价为 f（ |2x 1|） ， f（ x） 在区间 0， +）单调递增， ，解得 故选 A 8已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： 可得这个几何体的侧面积为（ ） A 考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知，得到几何体是半个圆锥，由图形数据，得到底面半径以及高，计算侧面积即可 【解答】 解：由题 意，几何体是底面半径为 10为 20半个圆锥，母线长为 ， 所以其侧面积为 第 8 页（共 20 页） = 故选 C 9从某高中随机选取 5 名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示： 身高 x（ 160 165 170 175 180 体重 y（ 63 66 70 72 74 根据上表可得回归直线方程 =，据此模型预报身高为 172高三男生的体重为（ ） A 考点】 回归分析的初步应用 【分析】 根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出 的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的 x 的值，代入线性回归方程，预报身高为 172高三男生的 体重 【解答】 解：由表中数据可得 = =170， = =69 （ ， ）一定在回归直线方程 =上 故 69=170+ 解得 = = x=172 时， =172 选 B 10设函数，则 f（ x） =2x+ ） +2x+ ），则（ ） A y=f（ x）在（ 0， ）单调递增，其图象关于直线 x= 对称 B y=f（ x）在（ 0， ）单调递增，其图象关于直线 x= 对称 C y=f（ x）在（ 0， ）单调递减，其图象关于直线 x= 对称 D y=f（ x）在（ 0， ）单调递减，其图象关于直线 x= 对称 【考点】 正弦函数的对称性；正弦函数的单调性 【分析】 利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数 f（ x） =2x+ ） +2x+ ），然后求出对称轴方程，判断 y=f（ x）在（ 0， ）单调性，即可得到答案 【解答】 解：因为 f（ x） =2x+ ） +2x+ ） = 2x+ ） = 于 y=对称轴为 x=k Z），所以 y= 对称轴方程是： x= （ k Z），第 9 页（共 20 页） 所以 A， C 错误； y= 单调递减区间为 22x +2k Z），即（ k Z），函数 y=f（ x）在（ 0， ）单调递减，所以 B 错误， D 正确 故选 D 11已知 a 0， b 0，且 ，目标凼数 + 的最大值为 2，则 a+b（ ） A有最大值 4 B有最大值 2 C有最小值 4 D有最小值 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设 z= + ，则 y= x+ a 0， b 0， 目标函数的斜率 0， 由图象可知目标函数经过点 A 时，函数取得最大值 2， 由 ，解得 ，即 A（ 2， 2）， 此时 + =2， 即 =1， 则 a+b=（ a+b）（ ） =2+ ， 故 a+b 有最小值 4， 故选： C 12已知函数 f（ x） =3，若 f（ x）存在唯一的零点 0，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 1， +） B（ 2， +） C（ ， 1） D（ ， 2） 第 10 页（共 20 页） 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【分析】 由题意可得 f（ x） =36x=3x（ 2）， f（ 0） =1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可 【解答】 解： f（ x） =3， f（ x） =36x=3x（ 2）， f（ 0） =1； 当 a=0 时， f（ x） = 3 有两个零点，不成立； 当 a 0 时， f（ x） =3 在（ ， 0）上有零点，故不成立； 当 a 0 时， f（ x） =3 在（ 0， +）上有且只有一个零点； 故 f（ x） =3 在（ ， 0）上没有零点； 而当 x= 时， f（ x） =3 在（ ， 0）上取得最小值； 故 f（ ） = 3 +1 0； 故 a 2； 综上所述， 实数 a 的取值范围是（ ， 2）； 故选： D 二、填空题 13已知 前 n 项和为 2，则 4 【考点】 数列递推式 【分析】 利用 2， n 分别取 1， 2，则可求 值 【解答】 解： n=1 时， 2， ， n=2 时， 2， a2=4 故答案为： 4 14在平面直角系 ，已知中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率 e= 的双曲线 C 的一个焦点与抛物线 0x 的焦点 F 重合，则双曲线 C 的方程为 【考点】 双曲线的标准方程 【分析】 利用离心率 e= 的双曲线 C 的一个焦点与抛物线 0x 的焦点 F 重合， c=5， a=4，可得 b，即可求出双曲线 C 的方程 【解答】 解：抛物线 0x 的焦点 F（ 5， 0）， 离心率 e= 的双曲线 C 的一个焦点与抛物线 0x 的焦点 F 重合， c=5， a=4， b=3， 双曲线 C 的方程为 第 11 页（共 20 页） 故答案为： 15直三棱柱 各顶点都在同一球面上， 若 C=， 20，则此球的表面积等于 20 【考点】 球内接多面体 【分析】 通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为 O，球心为 O，在 ，求出球的半径，然后求出球的表面积 【解答】 解：在 C=2， 20， 可得 由正弦定理，可得 接圆半径 r=2， 设此圆圆心为 O，球心为 O，在 ， 易得球半径 ， 故此球的表面积为 40 故答案为： 20 16若直线 l： ax+=0 始终平分圆 M： x2+x+2y+1=0 的周长，则（ a 2） 2+（ b 2）2 的最小值为 5 【考点】 直线与圆的位置关系；两点间的距离公式 【分析】 把圆的方程化为标准方程，找出圆心 M 的坐标和半径 r，根据直线 l 始终平分圆 到直线 l 过圆心 M，故把 M 的坐标代入直线 l，得到关于 a 与 b 的方程，所求的式子可看做（ a， b）到（ 2， 2）距离的平方，又点（ 2， 2）到直线 2a+b 1=0 的距离最小值为点（ 2， 2）到直线 2a+b 1=0 的距离，故用点到直线的距离公式求出（ 2， 2）到直线 2a+b 1=0 的距离，平方后即可得到所求式子的最小值 【解答】 解：把圆的方程化为标准方程得：（ x+2） 2+（ y+1） 2=4， 圆心 M 坐标为（ 2， 1），半径 r=2， 直线 l 始终平分圆 M 的周长， 直线 l 过圆 M 的圆心 M， 把 M（ 2， 1）代入直线 l： ax+=0 得： 2a b+1=0，即 2a+b 1=0， （ 2， 2）到直线 2a+b 1=0 的距离 d= = ， （ a 2） 2+（ b 2） 2 的最小值为 5 第 12 页（共 20 页） 故答案为： 5 三、解答题 17在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，且 （ ）求角 A 的大小； （ ）若 a=3， b、 c 的值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）由已知及正弦定理可得 2c b） 合余弦定理可得 bc=b2+余弦定理可解得 ，结合 A 的范围即可求 A 的值 （ ）由已知及正弦定理可得 c=2b，由余弦定理可得： =b2+22b，从而可解得 b， c 的值 【解答】 解：（ ） 由正弦定理可得： = ，即 2c b） 由余弦定理可得： （ 2c b） b ， 整理可得： bc=b2+ 由余弦定理可得： = ， 结合 0 A ，可解得： A= （ ） 由正弦定理可得： c=2b， 由余弦定理可得： =b2+22b ，可解得： b= ， c=2b=2 18甲、乙两班各 20 个学生某次数学考试成绩（单位：分）的茎叶图如图所示，根据茎叶图解决下列问题 （ 1）分别指出甲、乙两班成绩的中位数； （ 2）分别求出甲、乙两班成绩的平均值； （ 3）定义成绩在 80 分以上的为优秀，现从甲、乙两班各随机抽取 1 个成绩为优秀的样本，求甲班的成绩大于乙班的成绩的概率 第 13 页（共 20 页） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ 1）根据茎叶图，以及中位数的概念即可求出； （ 2）根据平均数即可求出答案； （ 3）从甲、乙两班各随机抽取 1 个成绩为优秀的样本的基本事件有 25 个，再求出甲班的成绩大于乙班的成绩的基本事件 【解答】 解：（ 1）甲乙两班数学样本成绩的中位数分别是 72， 70； （ 2） 甲乙两班数学样本成绩的平均值分别是 71（分）、 70（分） （ 3）从甲、乙两班各随机抽取 1 个成绩为优秀的样本的基本事件有 5 5=25 个， 其中甲班的成绩大于乙班的成绩的基本事件有 9 个，即（ 98， 95），（ 98， 93）， （ 98， 87），（ 98， 87），（ 98， 82），（ 86， 82），（ 86， 82），（ 85， 82）（ 83， 82） 故所求概率为 19如图，已知三棱柱 ，侧面 底面 面边长的侧棱长均为 2， （ 1）求证： 平面 （ 2）求证 平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）根据线面垂直的判定定理即可证明 平面 （ 2）求出三棱锥 体积，利用体积法即可 求证 平面 距离 【解答】 （ I）证明：取 中点 O， 因为 等边三角形，所以 因为侧面 底面 面 面 C， 第 14 页（共 20 页） 所以 侧面 面 在 ， 因为 ，所以 ， ，所以 所以 直角三角形， 所以 又 O=O， 所以 平面 面 所以 因为四边形 菱形，所以 因为 C=A，所以 平面 （ （ I）知， 底面 所以三棱锥 体积为 所以四棱锥 体积为 2 过 延长线于 D，连 则 底面 在 ，得 在 ， 2+12 2 2 1 7， 在 ，得 菱形 ，得 所以菱形 面积为 设所求为 h，可得 ，解得 所以点 平面 距离为 第 15 页（共 20 页） 20在平面直角坐标系 ，动点 P 到定点 F（ 1， 0）的距离和它到定直线 x=2 的距离比是 （ 1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （ 2）设过点 Q（ ， 0）的直线 l 与曲线 C 交于点 M， N，求证：点 A（ ， 0）在以 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）设点 P（ x， y），依题意可得 ，由此能求出动点 P 的轨迹方程 （ 2）设直线 l 的方程为 ，由 ，得 ，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、椭圆性质，结合已知条件能证明点在以 直径的圆上 【解答】 解：（ 1）设点 P（ x， y）， 依题意可得 整理得， 所以动点 P 的轨迹方程为 证明：（ 2）依题意，设直线 l 的方程为 由 ，得 设 M（ N（ 则 方程 的两根， 所以 ， 且 =（ （ = （ 1+ 第 16 页（共 20 页） = = =0 所以， 所以点 在以 直径的圆上 21设 a 为实数，函数 f（ x） =2x+2a， x R （ 1）求 f（ x）的单调区间及极值； （ 2）求证：当 a 1 且 x 0 时， 2 【考点】 利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ 1）由 f（ x） =2x+2a， x R，知 f（ x） =2， x R令 f（ x） =0，得 x=表讨论能求出 f（ x）的单调区间区间及极值 （ 2）设 g（ x） =1， x R，于是 g（ x） =2x+2a， x R由（ 1）知当 a1 时， g（ x）最小值为 g（ =2（ 1 a） 0于是对任意 x R，都有 g（ x） 0，所以 g（ x）在 R 内单调递增由此能够证明 2 【解答】 （ 1）解： f（ x） =2x+2a， x R， f（ x） =2， x R 令 f（ x） =0，得 x= 于是当 x 变化时， f（ x）， f（ x）的变化情况如下表： x （ ， +） f（ x） 0 + f（ x） 单调递减 2（ 1 a） 单调递增 故 f（ x）的单调递减区间是（ ， 单调递增区间是（ +）， f（ x）在 x=取得极小值， 极小值为 f（ =2a=2（ 1 a），无极大值 （ 2）证明：设 g（ x） =1， x R， 于是 g（ x） =2x+2a， x R 由（ 1）知当 a 1 时， g（ x）最小值为 g（ =2（ 1 a） 0 于是对任意 x R，都有 g（ x） 0，所以 g（ x）在 R 内单调递增 于是当 a 1 时，对任意 x （ 0， +），都有 g（ x） g（ 0） 而 g（ 0） =0，从而对任意 x （ 0， +）， g（ x） 0 即 1 0， 故 2 选修 4何证明选讲 22如图， 直角三角形， 0，以 直径的圆 O 交 点 E，点 C 边的中点，连接 圆 O 于点 M （ 1）求证： O、 B、 D、 E 四点共圆； （ 2）求证： 2MM 第 17 页（共 20 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）连接 直径所对的圆周角为直角，得到 而得出D= ，由此证出 0，利用圆内接四边形形的判定定理得到 O、 B、 D、 E 四点共圆； （ 2）延长 圆 O 于点 H，由（ 1）的结论证出 圆 O 的切线，从而得出 M将 解为 H，并利用 和 ，化简即可得到等式 2MM立 【解答】 解：（ 1）连接 圆 0 的直径， 0，得 又 D 是 中点， 中线，可得 D 又 B， D， 可得 0， 因此， O、 B、 D、 E 四点共圆； （ 2）延长 圆 O 于点 H， 半径， 圆 O 的切线 可得 MM（ H） =O+H ，