2016二次函数与相似三角形.doc

.二次函数与相似三角形一解答题（共8小题）1（2013青海）如图，已知抛物线经过点A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上第二象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2（2009临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，2）三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标3（2015西安模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由4（2015洛阳一模）抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（2，1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点如图1，过点P作PDBC，垂足为D，求垂线段PD的最大值并求出此时点P的坐标；如图2，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，过点P作y轴的平行线PQ，与直线BC交于点Q，问是否存在点P，使得以M、P、Q为顶点的三角形与BCO相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由5（2013秋松江区月考）如图，已知抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足是M，是否存在点p，使得以P、M、A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由6（2012常德）如图，已知二次函数的图象过点A（4，3），B（4，4）（1）求二次函数的解析式：（2）求证：ACB是直角三角形；（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由7（2013鄂尔多斯）如图，抛物线的顶点为C（1，1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为3（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标；（3）若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由8（2015鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B（1）直接写出点B的坐标；求抛物线解析式（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC求PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由二次函数与相似三角形参考答案与试题解析一解答题（共8小题）1（2013青海）如图，已知抛物线经过点A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上第二象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）根据抛物线过A（2，0）及原点可设y=a（x2）x，然后根据抛物线y=a（x2）x过B（3，3），求出a的值即可；（2）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=1右侧，进而可求出D横坐标为：1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；（3）分PMACOB和PMABOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标【解答】解：（1）根据抛物线过A（2，0）及原点，可设y=a（x2）（x0），又抛物线y=a（x2）x过B（3，3），3（32）a=3，a=1，抛物线的解析式为y=（x2）x=x22x；（2）若OA为对角线，则D点与C点重合，点D的坐标应为D（1，1）；若OA为平行四边形的一边，则DE=OA，点E在抛物线的对称轴上，点E横坐标为1，点D 的横坐标为3或1，代入y=x22x得D（3，3）和D（1，3），综上点D坐标为（1，1），（3，3），（1，3）（3）点B（3，3）C（1，1），BOC为直角三角形，COB=90，且OC：OB=1：3，如图1，若PMACOB，设PM=t，则AM=3t，点P（23t，t），代入y=x22x得（23t）22（23t）=t，解得t1=0（舍），；如图2，若PMABOC，设PM=3t，则AM=t，点P（2t，3t），代入y=x22x得（2t）22（2t）=3t，解得t1=0（舍），t2=5，P（3，15）综上所述，点P的坐标为或（3，15）【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，同时也考查了学生分类讨论，数形结合的数学思想方法2（2009临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，2）三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）已知抛物线经过C（0，2），则可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx2，再把A（4，0），B（1，0）代入即可；（2）OAC是直角三角形，以A，P，M为顶点的三角形与其相似，由于点P可能在x轴的上方，或者下方，分三种情况，分别用相似比解答；（3）过D作y轴的平行线交AC于E，将DCA分割成两个三角形CDE，ADE，它们的底相同，为DE，高的和为4，就可以表示它们的面积和，即DCA的面积，运用代数式的变形求最大值【解答】解：（1）该抛物线过点C（0，2），设该抛物线的解析式为y=ax2+bx2将A（4，0），B（1，0）代入，得，解得，此抛物线的解析式为y=x2+x2（2）存在如图，设P点的横坐标为m，则点P的纵坐标为，当1m4时，AM=4m，PM=，又COA=PMA=90，当=2时，APMACO，=2，即|4m|=2（），4m=m2+5m4，m26m+8=0，（m2）（m4）=0，解得：m1=2，m2=4（舍去）P（2，1）当，APMCAO，那么有：2|4m|=，2（4m）=m2+m2，m29m+20=0，（m4）（m5）=0，解得：m1=4（舍去），m2=5（舍去），当1m4时，P（2，1），类似地可求出当m4时，P（5，2），当m1时，P（3，14），当P，C重合时，APMACO，P（0，2）综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，2）或（3，14）或（0，2）；（3）如图，设D点的横坐标为t（0t4），则D点的纵坐标为t2+t2过D作y轴的平行线交AC于E由题意可求得直线AC的解析式为y=x2E点的坐标为（t，t2）DE=t2+t2（t2）=t2+2tSDAC=（t2+2t）4=t2+4t=（t2）2+4当t=2时，DAC面积最大D（2，1）【点评】本题综合考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积及其最大值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形3（2015西安模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2，再根据过A，B两点，即可得出结果；（2）由图象可知，以A、B为直角顶点的ABE不存在，所以ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形由相似关系求出点E的坐标【解答】解：（1）该抛物线过点C（0，2），可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2将A（1，0），B（4，0）代入，得 ，解得，抛物线的解析式为：y=x2+x+2（2）存在由图象可知，以A、B为直角顶点的ABE不存在，所以ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形在RtBOC中，OC=2，OB=4，BC=2在RtBOC中，设BC边上的高为h，则2h=24，h=BEACOB，设E点坐标为（x，y），=，y=2将y=2代入抛物线y=x2+x+2，得x1=0，x2=3当y=2时，不合题意舍去E点坐标为（0，2），（3，2）【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及相似三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解题的关键是正确求出函数的解析式4（2015洛阳一模）抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（2，1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点如图1，过点P作PDBC，垂足为D，求垂线段PD的最大值并求出此时点P的坐标；如图2，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，过点P作y轴的平行线PQ，与直线BC交于点Q，问是否存在点P，使得以M、P、Q为顶点的三角形与BCO相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）设抛物线的表达式为y=a（x2）21（a0），将点C的坐标代入即可得出答案；（2）过点P作PEy轴与直线AB交于点E，由PE与y轴平行，得到BEP=BCO，求出OB与OC的长，得出sinBCO的值，即为sinBEP的值，设P的横坐标为m，分别代入直线与抛物线解析式得到两个纵坐标之差为PE的长，由PD=PEsinBEP表示出PD，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可；由直线BC的解析式知OBC=OCB=45又由题意知QPM=COB=90，所以只有QPMCOB【解答】解：（1）抛物线的顶点为（2，1），可设该函数解析式为：y=a（x2）21（a0），又抛物线y=ax2+bx+c（a0）与y轴交于点C（0，3），3=a（02）21，解得a=1，该抛物线的解析式是y=（x2）21（或y=x24x+3）；（2）过点P作PEy轴与直线BC交于点E，如图1，PE与y轴平行BEP=BCO，对于抛物线y=x24x+3，令y=0，得到x24x+3=0解得：x1=1，x2=3抛物线与x轴的两交点为A（1，0），B（3，0）设B、C所在直线解析式为y=kx+b则有解得直线为y=x+3，BO=3，CO=3，根据勾股定理得到BC=3sinBEP=sin=BCO=设P点的横坐标为m，将x=m代入直线解析式得：y=m+3；代入抛物线解析式得：y=m24m+3，EP=m+3（m24m+3）=m2+3mDP=EPsinBEP=（m2+3m）=0，当m=时，MP的最大值为假设存在点E，使得以M、Q、P为顶点的三角形与BCO相似由（1）知，该抛物线的解析式是y=x24x+3，即y=（x1）（x3），该抛物线与x轴的交点坐标分别是A（1，0），B（3，0）C（0，3），易求直线BC的解析式为：y=x+3OBC=OCB=45又点M是对称轴上的一点，对称轴为：直线x=2，M（2，1）如图2，连接MPQPy轴，只有QPM=COB=90以M、Q、P为顶点的三角形与BCO相似，MQP=PMQ=45，只有QPMCOB设Q（x，x+3），则P（x，1），1=x24x+3，解得x=2，QMP=90；易知，直线AM：y=x1，联立抛物线的解析式有：x24x+3=x1，解得 x1=1、x2=4；当x=1时，y=x+3=2；当x=4时，y=x+3=1；Q3（1，2）、Q4（4，1）Q（2，1+）或Q（2+，1）或（1，2）或（4，1）【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，同角三角函数间的基本关系，以及相似三角形的判定；注意解（2）时，只有QPMCOB一种情况5（2013秋松江区月考）如图，已知抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足是M，是否存在点p，使得以P、M、A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），把点A（2，0），B（3，3），O（0，0），代入求出a，b，c的值即可；（2）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=1右侧，进而可求出D横坐标为：1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；（3）分PMACOB和PMABOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），将点A（2，0），B（3，3），O（0，0），代入可得：，解得：，所以函数解析式为：y=x2+2x；（2）AO为平行四边形的一边，DEAO，DE=AO，A（2，0），DE=AO=2，四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=1右侧，D横坐标为：1+2=1，代入抛物线解析式得y=3，D的坐标为（1，3）；当D点在对称轴直线x=1的左侧时，根据二次函数图象的对称性可知点D的坐标为（3，3），综上点D的坐标为（1，3）或（3，3）；（3）假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与BOC相似，设P（x，y），由题意知x0，y0，且y=x2+2x，由题意，BOC为直角三角形，COB=90，且OC：OB=1：3，若PMACOB，则=，即x+2=3（x2+2x），得x1=，x2=2（舍去）若PMABOC，=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2=2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）故符合条件的点P有两个，分别（，）或（3，15）【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，同时也考查了学生分类讨论，数形结合的数学思想方法6（2012常德）如图，已知二次函数的图象过点A（4，3），B（4，4）（1）求二次函数的解析式：（2）求证：ACB是直角三角形；（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题【分析】（1）将点A及点B的坐标代入函数解析式，得出a、b的值，继而可得出函数解析式；（2）根据二次函数解析式，求出点C的坐标，然后分别求出AC、AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理证明即可；（3）分两种情况进行讨论，DHPBCA，PHDBCA，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标【解答】解：（1）由题意得，函数图象经过点A（4，3），B（4，4），故可得：，解得：，故二次函数关系式为：y=（x+2）（13x20）（2）由（1）所求函数关系式可得点C坐标为（2，0），点D坐标为（，0），又点A（4，3），B（4，4），AB=，AC=，BC=2，满足AB2=AC2+BC2，ACB是直角三角形（3）存在点P的坐标，点P的坐标为（，）或（，）设点P坐标为（x，（x+2）（13x20），则PH=（x+2）（13x20），HD=x+，若DHPBCA，则=，即=，解得：x=或x=（因为点P在第二象限，故舍去）；代入可得PH=，即P1坐标为（，）；若PHDBCA，则=，即=，解得：x=或x=（因为点P在第二象限，故舍去）代入可得PH=，即P2坐标为：（，）综上所述，满足条件的点P有两个，即P1（，）、P2（，）【点评】此题属于二次函数综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式，同时还让学生探究存在性问题，本题的第三问计算量比较大，同学们要注意细心求解7（2013鄂尔多斯）如图，抛物线的顶点为C（1，1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为3（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标；（3）若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】综合题【分析】（1）根据顶点坐标设出抛物线的顶点式解析式，将原点坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）分三种情况考虑，D在第一象限，第二象限以及第三象限，利用平行四边形的性质及坐标与图形性质求出D坐标即可；（3）根据题意画出图形，根据B横坐标为3，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B坐标，进而求出BC，BO，OC的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形BOC为直角三角形，若P、M、A为顶点的三角形与BOC相似，设P（m，n），由题意得m0，n0，且n=m2+2m，根据相似得比例，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而求出n的值，即可确定出P的坐标【解答】解：（1）抛物线的顶点为C（1，1），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）21，抛物线经过（0，0），将x=0，y=0代入抛物线解析式得：0=a1，解得：a=1，y=（x+1）21=x2+2x，令y=0时，x2+2x=0，解得x1=0，x2=2，A（2，0）；（2）如图所示，分三种情况考虑：当D1在第一象限时，若四边形AOD1E1为平行四边形，AO=E1D1=2，抛物线对称轴为直线x=1，D1横坐标为1，将x=1代入抛物线y=x2+2x=1+2=3，即D1（1，3）；当D2在第二象限时，同理D2（3，3）；当D3在第三象限时，若四边形AE2OD3为平行四边形，此时D3与C重合，即D3（1，1）；（3）存在，点B在抛物线上，当x=3时，y=96=3，B（3，3），根据勾股定理得：BO2=9+9=18；CO2=1+1=2；BC2=16+4=20，BO2+CO2=18+2=20，BO2+CO2=BC2，BOC为直角三角形，假设存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与BOC相似，设P（m，n），由题意得m0，n0，且n=m2+2m，若AMPBOC，则=，即=，整理得：m+2=3（m2+2m）=0，即3m2+5m2=0，解得：m1=，m2=2（舍去），m1=时，n=+=，P（，）； 若AMPCOB，则=，即=，整理得：m2m6=0，解得 m1=3，m2=2（舍去），当m=3时，n=9+6=15，P（3，15），综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P1（，），P2（3，15）【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求抛物线解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面8（2015鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B（1）直接写出点B的坐标；求抛物线解析式（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC求PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）先求的直线y=x+2与x轴