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2008级第二学期高等数学(A类)期中考试答案 一、(15分) 设摆线一拱的参数方程，求：摆线的弧长；与轴所围成的图形的面积；绕轴旋转所成的旋转体的体积。解：从而 （5分） （5分） （5分）二、(10分)设证明这三个向量共面，并用的线性组合表示。 解：共面（5分）。令求得，从而（5分）三、(10分) 问旋转曲面是怎样形成的？求它与平面的交线在面上的投影方程。 解：此旋转曲面是由面上的椭圆绕轴旋转一周而得到的。（5分） 由，消去，得，即，因此此交线在面上的投影方程为。（5分）四、(10分) 求过点(0,2,4)且与两平面和平行的直线方程。 解：平面的一法向量，平面的一法向量。（4分）根据题意，所求直线的一方向向量，（4分）故得其方程为。（4分）五、(10分) 求微分方程的特解。 解：通解为，（6分）又 由初始条件得（2分）故所求的特解。（2分） 六、(10分) 求微分方程的通解。 解：特征方程为解得其特征根为。（2分） 现先求原微分方程的一特解。因为不是特征根，所以可令一特解为，代入微分方程， 得。故微分方程的一特解为。（2分） 从而当时，有两相等的特征根，方程的通解为；（3分） 当时，有一对共轭复根，方程的通解为（3分） 七、(10分) 设，而是由方程所确定的函数，其中都具有一阶连续偏导数，试证明 证明：方法一. 依据题意，方程确定了函数，由隐函数求导公式，得。（4分） 另外，方程确定了函数，在此方程两边对求导，得（4分） 因此，。（2分） 方法二. 由，得；（2分）由，得。（2分）联立方程，有 ，消去，得，（4分）因此。（2分）八、(10分) 设函数且有方程 （1）验证在点近旁由方程式能确定可微的隐函数（2）试求解：（1）令，则从而函数的一阶偏导数连续并且由隐函数存在定理，故在点近旁由方程式能确定可微的隐函数（5分）（2）（5分） 九、(15分)设有一小山，取它的底面所在的平面为坐标面，其底部所占的闭区域为，小山的高度函数为 。（1） 设，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式；（2） 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点，也就是说，要在D的边界线上找出（1）中达到最大值的点。试确定攀岩起点的位置。 解：（1）。对，在该点沿梯度方向的方向导数最大，其值为 。（4分） （2）依据题意，问题转化为求在限制条件下的条件最值。 引进拉格朗日函数，由 ，解得所有可能极值点为。（7分） 因为曲线是封闭的，在D上连续，所以最大值只能在
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