解析几何第三章习题及解答.doc

第三章 常见曲面习题3.11.证明：如果，那么由方程给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。证明：将方程配方得，由，得到方程表示球心是，半径为的球面。2.求过三点的圆的方程。解：空间中的圆可由过三点的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为，得到球面方程为，其中任意。过该三点的平面方程是，所以所求圆的方程可以为其中任意。3.证明曲线在一球面上，并此球面方程。证明：因为曲线满足即，所以曲线在一个球面上。4.适当选取坐标系，求下列轨迹的方程（1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹；（2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹；（3）到定平面和定点等距离的点的轨迹。解（1）选直角坐标系使得定点坐标为。设定比常数为。所以动点满足，化简有，当时，轨迹为平面。当时，轨迹为球面。（2）选直角坐标系使得定点坐标为。设常数为。所以动点满足，化简有（3）选直角坐标系使得定点坐标为定平面为。所以动点满足，化简有5.曲面在柱面坐标系下的方程为，求的直角坐标方程。解：将柱面坐标与直角坐标的关系代入方程得到6.曲面的直角坐标方程为，试求其球面坐标方程。解：将球面坐标与直角坐标的关系代入方程得到即习题3.21.求半径为1，对称轴为的圆柱面方程。解：圆柱面上的点到对称轴的距离是常数1，所以，即有2.已知与圆柱面的三条母线为求这个圆柱面的方程。解：先求对称轴，对称轴上的点到三母线的距离相等，所以，化简整理得对称轴的方程：。圆柱面上的点到对称轴的距离等于对称轴上的点到母线的距离，所以，即展开得到圆柱面方程3.求母线方向为，准线为的柱面方程。解：柱面上的点一定在经过准线上一点的母线上，所以消去得到柱面方程：4.已知圆柱面的对称轴为，点在此圆柱面上，求此圆柱面的方程。解：圆柱面上的点与点到对称轴的距离相等，所以，展开整理得5.求准线为的圆柱面方程。解：因为准线是椭圆，所以圆柱面的对称轴一定过椭圆的中心，母线方向不可能平行于坐标面，可设为。在准线上取三点它们到对称轴的距离都等于圆柱面的半径，于是，得化简有显然所以。因而圆柱面有两个，即6.求以轴为对称轴，坐标原点为顶点，半顶角为的圆锥面方程。解：因为圆锥面以轴为对称轴，坐标原点为顶点，半顶角为，所以圆锥面非常为即7.求顶点在原点，准线为的锥面方程。解：锥面上的点一定在经过准线上某点的母线上，所以因此得到锥面方程8.求以原点为顶点，包含三条坐标轴的圆锥面方程。解：设圆锥面的对称轴的方向向量为，依照题意对称轴的方向向量与三坐标轴的坐标向量的夹角的余弦的绝对值相等，所以有即，对称轴的方向向量为。因此圆锥面上的点满足，化简得即有四个圆锥面。9.求顶点为，准线为的锥面方程。解：锥面上的点一定在经过准线上某点的母线上，所以因此得到锥面方程10.证明：母线方向为，与球面外切的柱面方程为。证明：依照题意知柱面是半径为1的圆柱面，对称轴为所以柱面上的点满足，由公式得到，故柱面方程为。11.过轴和轴分别作动平面，交角为常数，求交线的轨迹方程，并且证明它是一个锥面。解：过轴和轴的动平面方程可设为它们的交线是由于两平面的交角是常数，所以，交线方程中的系数按此关系消去得到轨迹方程：，该方程明显是4次齐次方程，所以是锥面。12.证明：以为顶点的锥面方程是关于的齐次方程。证明：我们知道顶点在原点的锥面方程是关于的齐次方程 ，所以将坐标系的原点平移到，新坐标系的坐标用，则，故锥面方程是关于的齐次方程，即关于的齐次方程。13.求下列曲线向各坐标面投影的投影柱面方程，和在各坐标面上的投影曲线，并作出曲线的简图：（1）（2）（3）解：（1）向面投影的投影柱面方程是，在面上的投影曲线是在方程组中消去得到向面投影的投影柱面方程是，在面上的投影曲线是在方程组中消去得到向面投影的投影柱面方程是，在面上的投影曲线是（2）在方程组中分别消去得到向面投影的投影柱面方程分别是在面上的投影曲线方程分别是（3）在方程组中分别消去得到向面投影的投影柱面方程分别是。在面上的投影曲线方程分别是14.设柱面的准线的参数方程为，母线方向为，求柱面的参数方程。解：柱面上的点在过准线上点的母线上，所以柱面的方程为这就是柱面的参数方程。习题3.31.求曲线绕轴旋转所得的曲面方程。解：点在旋转面上当且仅当它是曲线上点旋转而来：消去得到旋转面的方程：，由于曲线只是的一部分，所以旋转面也是一部分：，。2.求直线绕直线旋转所得的曲面的方程。解：设曲面上的点是直线上的点旋转来的，则消去得到：整理得旋转面的方程：3.求曲线绕轴旋转所得的曲面的参数方程。解：设曲面上的点是曲线上的点（对应的参数为）旋转来的，则所以曲面的参数方程可写为：4.证明：表示一个旋转面，并求它的母线和转轴。证明：方程的形式可改写为，发现以曲线或为母线，轴为旋转轴，就可得到曲面的方程。习题3.41.一个椭球面以三个坐标面为对称平面，并且经过三个点，求其方程。解：设椭球面的方程为，将三个点的坐标代入得到解得所以椭球面的方程为。2.求以原点为顶点，轴为对称轴，并通过两点的抛物面的方程。解：设抛物面的方程为将两个点的坐标代人得到，解得，所以抛物面的方程为3.求通过两条抛物线和的二次曲面方程。解：设二次曲面方程为一般方程：由于曲面通过两条抛物线，所以将分别代人方程中得到两条抛物线与给的抛物线方程进行比较得到所以曲面的方程为，其中不全为0。当时，方程为，当时，方程可化为，其中为任意常数。4.给定方程问当取异于的各种实数值时，它表示怎样的曲面？解：由于，所以当时，方程表示椭球面；当时，方程表示单叶双曲面；当时，方程表示双叶双曲面；当时，方程表示虚椭球面。5.适当选取坐标系，求下列轨迹方程。（1）到两定点距离之差等于常数的点的轨迹；（2）到一定点和一个定平面（定点不在定平面上）距离之比等于常数的点的轨迹；（3）设有一个定平面和垂直于它的一条定直线，求到定平面与到定直线的距离相等的点的轨迹；（4）求与两给定直线等距离的点的轨迹，已知两直线之间的距离为，夹角为。解：（1）选直角坐标系使得定点坐标为。设距离之差为。所以动点满足，化简有（2）选直角坐标系使得定点坐标为定平面为，定比为。所以动点满足，化简有（3）以定平面为面，定直线为轴建立直角坐标系。所以动点满足，于是动点轨迹方程为（4）设两直线异面，以两条定直线的公垂线为轴，过公垂线段的中点与公垂线垂直的平面为面，两直线在面上的投影直线的角平分线为轴和轴，建立直角坐标系，使得两直线的方向向量为，两直线分别过点。所以动点满足， 展开得化简得。如果两直线平行，即，则动点轨迹为平面。如果两直线相交，则，则动点轨迹为两相交平面：。6.设是椭球面上的一点，向量的方向余弦为，且，试证：证明：由题意得到点的坐标为，将它代入椭球面方程得到即有7.由椭球面的中心引三条互相垂直的射线，与椭球面分别交于，设，试证：证明：设三向量的方向余弦为，由上题结论有由于三向量两两互相垂直，所以矩阵为正交矩阵，因而从而得到8.求与椭圆抛物面的交线为圆的平面。解：因为椭圆抛物面开口朝轴方向，交线为圆，所以平面的法向量不会平行于坐标面，可设所求平面为。由于空间的圆一定是某球面与平面的交线，所以该圆可设为球面与平面的交线。交线向坐标面的投影柱面是相同的，而它们的方程分别为比较它们的系数得到，于是平面方程：。该平面要与椭圆抛物面相交，将平面方程代人椭圆抛物面方程中得该方程有解，经配方得到满足：习题3.51.求单叶双曲面上过点的直母线。解：单叶双曲面的直母线族为及将点代入直母线族的方程中，得到(I)的参数为v =0，(II)的参数为,所以过点的直母线为，2.求直线族所形成的直纹面方程。解：直线族改写为消去参数得到直纹面方程。3.求与以下三直线同时共面的直线所产生的曲面，解：依题意，所求直线应同时在过的平面束中，即该直线经过点，方向向量为。由于与共面，所以，化简得到。将直线的方程中的参数依此关系消去，得到动直线产生的曲面方程。4.证明单叶双曲面的同族中的任意两条直母线异面；异族中的任意两条直母线共面。证明：设单叶双曲面的方程为直母线族为及（1）在(I)中任取两条直母线，对应的参数为，分别经过点，方向向量是，显然两方向不共线，计算混合积所以(I)中任意两条直母线异面。同理可得(II)中任意两条直母线也异面。（2）在两族直母线中分别任取一条，记为，对应的参数为分别经过点，方向向量是，。如果，由于它们经过同一个点，所以共面。如果，则计算混合积，所以共面。并且当时，平行。5.设是马鞍面，证明：（1）同族中的任意两条直母线异面；（2）异族中的任意两条直母线相交；（3）同族中的全体直母线平行于同一个平面。证明：设马鞍面的方程为它的两族直母线为及（1）在(I)族中任取两条直母线，对应的参数为，分别经过点，方向向量是，显然两方向不共线，计算混合积所以(I)中任意两条直母线异面。同理可得(II)中任意两条直母线也异面。（2）在两族直母线中分别任取一条，记为，对应的参数为分别经过点，方向向量是，。显然两方向不共线，即它们不可能平行。计算混合积所以异族中的任意两条直母线相交。（3）由于(I)中任意直母线的方向向量为它平行于平面，所以(I)中所有直母线平行于平面。由于(II)中任意直母线的方向向量为它平行于平面，所以(II)中所有直母线平行于平面。6.证明马鞍面的正交直母线的交点在一条双曲线上。证明：设马鞍面的方程为由上一题的结论，马鞍面的相交直母线一定是异族的，所以在(I)，(II)族中分别选直线使得它们正交：及(I)中直线的方向向量为(II)中直线的方向向量为由于它们正交，所以要得到正交直母线的交点的轨迹方程，只需在两族直母线中的参数按上述关系消去即可，于是得到它表示平面上的一条双曲线。7.已知平面与锥面的交线是两条正交的直线，证明。证明：已给锥面方程变形为设比值为，得到锥面的直母线族：的方向向量为。因为所求直母线在平面上，所以有即它的两个解就是所求直母线的参数，它们满足由于两条直母线正交，所以