山东省青岛市平度市2016年高考数学二试卷(文)含答案解析

山东省青岛市平度市 2016 年高考数学二试卷（文科） （解析版） 一、选择题：（本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1已知集合 M=x|4x 0， N=x|x| 2，则 M N=（ ） A（ 2， 4） B 2， 4） C（ 0， 2） D（ 0， 2 2已知 t R， i 为虚数单位，复数 +4i， z2=t+i，且 实数，则 t 等于（ ） A B C D 3命题 p： a （ 0， 1） （ 1， +），函数 f（ x） =x 1）的图象过点（ 2， 0），命题 q： x N， （ ） A p 假 q 假 B p 真 q 假 C p 假 q 真 D p 真 q 真 4平面向量 与 夹角为 ， ，则 等于（ ） A 13 B C D 3 5已知 x， y 满足 ，且 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是（ ） A 4 B C D 6（ 5 分）（ 2014 大连学业考试）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 112 B 80 C 72 D 64 7（ 5 分）（ 2016 衡阳二模）将函数 f（ x） = x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移 1 个单位长度 ，得到函数 g（ x）的图象，则函数 g（ x）的单调区间是（ ） A 4k+1， 4k+3（ k Z） B 2k+1， 2k+3（ k Z） C 2k+1， 2k+2（ k Z） D 2k 1， 2k+2（ k Z） 8已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间 0， +）上单调递增，若实数 m 满足 f（ + 2f（ 1），则 m 的取值范围是（ ） A（ 0， 3 B ， 3 C ， 3） D ， +） 9已知函数 f（ x） = x2+f（ x）是函数 f（ x）的导函数，则 f（ x）的图象大致是（ ） A B CD 10已知椭圆 ，双曲线 和抛物线 p 0）的离心率分别为 （ ） A 、填空题：（本题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 11（ 5 分）（ 2010 北京）在 ，若 b=1， c= ， C= ，则 a= 12在某市 “创建文明城市 ”活动中，对 800 名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为 25， 30）的数据不慎丢失，据此估计这 800 名志愿者年龄在25， 30）的人数为 13双曲线 的离心率为 2，则 双曲线的焦点到渐近线的距离是 14运行如图所示的程序框图，则输出的结果 S 为 15给出下列四个命题： 命题 “ x R， 0”的否定是 “ x R， 0”； 函数 y=f（ x）的定义域为（ ， 1） （ 1， +），其图象上任一点 P（ x， y）满足，则函数 y=f（ x）可能是奇函数； 若 a， b 0， 1，则不等式 a2+成立的概率是 函数 y=）在 2， +）恒为正，则实数 a 的取值范围是（ ， ） 其中真命题的序号是 （请填上所有真命题的序号） 三、解答题（共 6 个题，共 75 分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 16（ 12 分）（ 2016 平度市模拟）已知 ， （ I）若 x 0， 2，求 的单调递增区间； （ ）设 y=f（ x）的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的坐标为 P，第一个最低点的坐标为 Q，坐标原点为 O，求 余弦值 17（ 12 分）（ 2016 平度市模拟）现有 A， B， C 三种产品需要检测，产品数量如表所示： 产品 A B C 数量 240 240 360 已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了 7 件 （ I）求三种产品分别抽取的件数； （ ）已知抽取的 A， B， C 三种产品中，一等品分别有 1 件， 2 件， 2 件现再从已抽取的 A， B， C 三种产品中各抽取 1 件，求 3 件产品都是一等品的概率 18（ 12 分）（ 2016 平度市模拟）如图所示，正三棱柱 ， E， F 分别是中点 （ ）证明：平面 平面 （ ）若该三棱柱所有的棱长均为 2，求三棱锥 体积 19（ 12 分）（ 2016 平度市模拟）已知数列 ， ，且 （ I）求证：数列 1是等比数列，并求出数 列 通项公式； （ ）设 bn=n（ 1），数列 前 n 项和为 证： 1 4 20（ 13 分）（ 2016 平度市模拟）已知椭圆 C： ，离心率为 （ I）求椭圆 C 的标准方程； （ ）设椭圆 C 的下顶点为 A，直线 l 过定点 ，与椭圆交于两个不同的点 M、 N，且满足 |求直线 l 的方程 21（ 14 分）（ 2016 平度 市模拟）已知函数 f（ x） =a（ x 1） 2+ （ I）若函数 f（ x）在区间 2， 4上是减函数，求实数 a 的取值范围； （ ）当 x 1， +）时，函数 y=f（ x）图象上的点都在 所表示的平面区域内，求实数 a 的取值范围 2016 年山东省青岛市平度市高考数学二试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1已知集合 M=x|4x 0， N=x|x| 2，则 M N=（ ） A（ 2， 4） B 2， 4） C（ 0， 2） D（ 0， 2 【分析】 先求出集合 M， N，再根据并集的定义求出即可 【解答】 解：集合 M=x|4x 0=（ 0， 4）， N=x|x| 2= M N= 2， 4）， 故选： B 【点评】 本题考查了集合得并集运算，属于基础题 2已知 t R， i 为虚数单位，复数 +4i， z2=t+i，且 实数，则 t 等于（ ） A B C D 【分析】 直接利用复数的乘法运算法则，复数是实数，虚部为 0 求解即可 【解答】 解： t R， i 为虚数单位，复数 +4i， z2=t+i，且 实数， 可得（ 3+4i）（ t+i） =3t 4+（ 4t+3） i， 4t+3=0 则 t= 故选： D 【点评】 本题考查复数的基本知识， 复数的概念的应用，考查计算能力 3命题 p： a （ 0， 1） （ 1， +），函数 f（ x） =x 1）的图象过点（ 2， 0），命题 q： x N， （ ） A p 假 q 假 B p 真 q 假 C p 假 q 真 D p 真 q 真 【分析】 根据指数函数的单调性及幂函数图象和性质，分析命题 p， q 的真假，可得答案 【解答】 解：当 x=2 时， x 1） = 恒成立， 故命题 p： a （ 0， 1） （ 1， +），函数 f（ x） =x 1）的图象过点（ 2， 0），为真命题； x N， 成立，故命题 q： x N， 假命题， 故选： B 【点评】 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的图象和性质及幂函数的图象和性质，属于基础题 4平面向量 与 夹角为 ， ，则 等于（ ） A 13 B C D 3 【分析】 运用向量的数量积的定义可得 ，运用向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值 【解答】 解：由题意可得 | |=3， =| | |， =3 2 （ ） = 3， 则 = = = = 故选： C 【点评】 本题考查向量的数量积的定义和性质，注意运用向量的平方即为模的平方，考查化简整理的运算能力，属于基础题 5已知 x， y 满足 ，且 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是（ ） A 4 B C D 【分析】 作出不等式组 对应的平面区域，利用 z 的几何意义，结合目标函数 z=2x+ 倍，建立方程关系，即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组 对应的平面区域如图： 由 z=2x+y 得 y= 2x+z， 平移直线 y= 2x+z， 由图象可知当直线 y= 2x+z 经过点 A 时，直线的截距最大， 此时 z 最大， 由 ，解得 即 A（ 1， 1），此时 z=2 1+1=3， 当直线 y= 2x+z 经过点 B 时，直线的截距最小， 此时 z 最小， 由 ，解得 ， 即 B（ a， a），此时 z=2 a+a=3a， 目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍， 3=4 3a， 即 a= 故选： D 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键 6（ 5 分）（ 2014 大连学业考试）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 112 B 80 C 72 D 64 【分析】 根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据，结合正方体的体积公式和棱锥的体积公式，即可得到答案 【解答】 解：根据三视图我们可以判 断， 该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体， 根据三视图中标识的数据可知： 正方体及四棱锥的底面棱长均为 4，四棱锥高 3 则 V 正方体 =4 4 4=64 =16 故 V=64+16=80 故选 B 【点评】 本题考查的知识点是由三视图求体积，根据三视图确定几何体的形状是解答此类问题的关键 7（ 5 分）（ 2016 衡阳二模）将函数 f（ x） = x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐 标不变），再把图象上所有的点向右平移 1 个单位长度，得到函数 g（ x）的图象，则函数 g（ x）的单调区间是（ ） A 4k+1， 4k+3（ k Z） B 2k+1， 2k+3（ k Z） C 2k+1， 2k+2（ k Z） D 2k 1， 2k+2（ k Z） 【分析】 根据图象的变换规则逐步得出函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解 【解答】 解： 将函数 f（ x） = x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数解析式为： y= x）； 再把图象上所有的点向右平移 1 个单位长度，得到函数的解析式为： g（ x） = （ x 1） ； 可得： ， 由 2k 2， k Z，解得： 4k+1 x 4k+3， k Z， 可得函数 g（ x）的单调递减区间是： 4k+1， 4k+3， k Z， 由 2 2k ， k Z，解得： 4k 1 x 4k+1， k Z， 可得函数 g（ x）的单调递增区间是： 4k 1， 4k+1， k Z， 对比各 个选项，只有 A 正确 故选： A 【点评】 本题考查了函数 y=x+）的图象变换规律，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题 8已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间 0， +）上单调递增，若实数 m 满足 f（ + 2f（ 1），则 m 的取值范围是（ ） A（ 0， 3 B ， 3 C ， 3） D ， +） 【分析】 根据对数的运算性质结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化即可得到结论 【解答】 解： f（ x）是定义在 R 上的偶函数， f（ + 2f（ 1），等价为 f（ +f（ + 2f（ 1）， 即 2f（ 2f（ 1），则 f（ | f（ 1）， 在 0， +）上单调递增， | 1， 即 1 1， m 3 故选： B 【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键 9已知函数 f（ x） = x2+f（ x）是函数 f（ x）的导函数，则 f（ x）的图象大致是（ ） A B CD 【分析】 由于 f（ x） = x2+ f（ x） = x 奇函数的定义得函数 f（ x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除 x= 代入 f（ ） = 1 0，排除 C，只有 A 适合 【解答】 解：由于 f（ x） = x2+ f（ x） = x f（ x） = f（ x），故 f（ x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除 又当 x= 时， f（ ） = 1 0，排除 C，只有 A 适合， 故选： A 【点评】 本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题 10已知椭圆 ，双曲线 和抛物线 p 0）的离心率分别为 （ ） A 分析】 根据题意先分别表示出 后求得 取值范围，检验选项中的结论即可 【解答】 解：依题意可知 ， ， = 1， A， B， D 不正确 故选 C 【点评】 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，解答关键是求出 后，根据 a， b，c 之间的数量关系利用不等式推导 取值范围 二、填空题：（本题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 11（ 5 分）（ 2010 北京）在 ，若 b=1， c= ， C= ，则 a= 1 【分析】 先根据 b， c， c，由正弦定理可得 而求得 B，再根据正弦定理求得 a 【解答】 解：在 由正弦定理得 ， ， b c， 故 B= ，则 A= 由正弦定理得 a= =1 故答案为： 1 【点评】 本题考查了应用正弦定理求解三角形问题属基础题 12在某市 “创建文明城市 ”活动中，对 800 名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为 25， 30）的数据不慎丢失，据此估计这 800 名志愿者年龄在25， 30）的人数为 160 【分析】 根据频率分布直方图中频率和等于 1，计算年龄组为 25， 30）的 数据频率，求出对应的频数即可 【解答】 解：根据频率分布直方图中频率和等于 1，得； 年龄组为 25， 30）的数据频率为 1（ 5= 估计这 800 名志愿者年龄在 25， 30）的人数为 800 60 故答案为： 160 【点评】 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率 = 的应用问题，是基础题目 13双曲线 的离心率为 2，则双曲 线的焦点到渐近线的距离是 3 【分析】 求得双曲线的 a=3，由离心率公式可得 c=6，解得 b，求出渐近线方程和焦点，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 的 a=3， c= ， 由 e= =2，即有 c=2a=6， 即 =6，解得 b=3 渐近线方程为 y= x，即为 x 3y=0， 则双曲线的焦点（ 0， 6）到渐近线的距离是 =3 故答案为： 3 【点评】 本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离，注意运 用点到直线的距离公式，考查离心率公式的运用，以及运算能力，属于基础题 14运行如图所示的程序框图，则输出的结果 S 为 1007 【分析】 程序运行的功能是求 S=1 2+3 4+（ 1） k 1k，根据计算变量 n 判断程序终止运行时的 k 值，利用并项求和求得 S 【解答】 解：执行程序框图，有 k=1， S=0 满足条件 n 2015， S=1， k=2； 满足条件 n 2015， S= 1， k=3； 满足条件 n 2015S=2， k=4； 满足条件 n 2015S= 2， k=5； 满足条件 n 2015S=3， k=6； 满足条件 n 2015S= 3， k=7； 满足条件 n 2015S=4， k=8； 观察规律可知，有 满足条件 n 2015S=1006， k=2012； 满足条件 n 2015S= 1006， k=2013； 满足条件 n 2015S=1007， k=2014； 满足条件 n 2015， S= 1007， k=2015； 不满足条件 n 2015，输出 S 的值为 1007 故答案为： 1007 【点评】 本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量 n 判断程序终止运行时的 k 值是解答本题的关键 15给出下列四个命题： 命题 “ x R， 0”的否定是 “ x R， 0”； 函数 y=f（ x）的定义域为（ ， 1） （ 1， +），其图象上任一点 P（ x， y）满足，则函数 y=f（ x）可能是奇函数； 若 a， b 0， 1，则不等式 a2+成立的概率是 函数 y=）在 2， +）恒为正，则实数 a 的取值范围是（ ， ） 其中真命题的序号是 （请填上所有真命题的序号） 【分析】 根据含有量词的命题的否定进行判断 根据函数奇偶性的定义和性质结合双曲线的图象进行判断 根据几何概型的概率公式进行判断 利用不等式恒成立，利用参数分离法进行求解判断即可 【解答】 解： 命题 “ x R， 0”的否定是 “ x R， 0”；故 正确， 函数 y=f（ x）的定义域为（ ， 1） （ 1， +），其图象上任一点 P（ x， y）满足，则函数 y=f（ x）可能是奇函数；正确，当点 P 的坐标满足 y=时，函数 f（ x）为奇函数故 正确， 若 a， b 0， 1，则不等式 成立的概率是 如图所以 错误 因为函数 y=）在 2， +）上恒为正， 所以在 2， +）上 1 恒成立， 即：在 2， +）上 恒成立 ， 令 ， 因为 x 2，所以 ， 所以 g（ x）在 2， +）上为增函数， 所以：当 x=2 时， g（ x）的最小值为 g（ 2） = ， 所以 则实数 a 的取值范围是（ ， ）故 正确， 故答案 为： 【点评】 本题考查各种命题的真假判断，正确利用相关知识进行推理，要求熟练进行应用 三、解答题（共 6 个题，共 75 分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 16（ 12 分）（ 2016 平度市模拟）已知 ， （ I）若 x 0， 2，求 的单调递增区间； （ ）设 y=f（ x）的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的坐标为 P，第一个最低点的坐标为 Q，坐标原点为 O，求 余弦值 【分析】 （ I）利用数量积运算性质、和差公式可得，再利用单调性即可得出 （ I I）由题意得 P ， Q 根据距离公式及其余弦定理即可得出 【解答】 解：（ I） ， ，解得 ， x 0， 2时， 或 ， f（ x）的单调递增区间为 ， （ I I）由题意得 P ， Q 根据距离 公式 ， ， 根据余弦定理 ， 【点评】 本题考查了向量的数量积，三角恒等变换、正弦性函数的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 17（ 12 分）（ 2016 平度市模拟）现有 A， B， C 三种产品需要检测，产品数量如表所示： 产品 A B C 数量 240 240 360 已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了 7 件 （ I）求三种产品分别抽取的件数； （ ）已知抽取的 A， B， C 三种产品中，一等品分别有 1 件， 2 件， 2 件现再从已抽取的 A， B， C 三种产品中各抽取 1 件，求 3 件产品都是一等品的概率 【分析】 （ I）设出 A、 B 产品均抽取了 x 件，利用分层抽样时对应的比例相等，列出方程求出 x 的值即可； （ ）对抽取的样本进行编号，利用列举法求出对应的事件数，计算概率即可 【解答】 解：（ I）设 A、 B 产品均抽取了 x 件，则 C 产品抽取了 7 2x 件， 则有： = ， 解得 x=2； 所以 A、 B 产品分别抽取了 2 件， C 产品抽取了 3 件； （ ）记抽取的 A 产品为 中 一等品； 抽取的 B 产品是 件均为一等品； 抽取的 C 产品是 中 一等品； 从三种产品中各抽取 1 件的所有结果是 12 个； 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的； 其中 3 件产品都是一等品的有： 4 个； 因此 3 件产品都是一等品的概率 P= = 【点评】 本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目 18（ 12 分）（ 2016 平度市模拟）如图所示，正三棱 柱 ， E， F 分别是中点 （ ）证明：平面 平面 （ ）若该三棱柱所有的棱长均为 2，求三棱锥 体积 【分析】 （ I）由 平面 知 得 平面 而平面 平面 （ （ 1）知 棱锥 A 高于是 V =V = 【解答】 解：（ I） 面 平面 E 是正三角形 边 中点， 又 平面 平面 ， 平面 平面 平面 平面 （ 三棱柱所有的棱长均为 2， ， ， 由（ I）知 平面 【点评】 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题 19（ 12 分）（ 2016 平度市模拟）已知数列 ， ，且 （ I）求证：数列 1是等比数列，并求出数列 通项公式； （ ）设 bn=n（ 1），数列 前 n 项和为 证： 1 4 【分析】 （ I）利用递推关系变形可得 1= ，即可证明； （ 用 “错位相减法 ”、等比数列的前 n 项和公式、数列的单调性即可证明 【解答】 证明：（ I） ，又 1=1 0 数列 1是首项为 1，公比为 2 的等比数列 ，得 （ ， 设 则 得： ， ， ，又 ， 数列 递增数列，故 ， 1 4 【点评】 本题考查了 “错位相减法 ”、等比数列的前 n 项和公式、数列的单调性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20（ 13 分）（ 2016 平度市模拟）已知椭圆 C： ，离心率为 （ I）求椭圆 C 的标准方程； （ ）设椭圆 C 的下顶点为 A，直线 l 过定点 ，与椭圆交于两个不同的点 M、 N，且满足 |求直线 l 的方程 【分析】 （ I）由离心率公式和点满足椭圆方程，及 a， b， c 的关系，解方程可得 a， b，进而得到椭圆方程； （ ）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线的方程为 y=（ k 0），与椭圆方程联立，运用韦达定理，再由 |运用两点的距离公式，化简整理可得 k 的方程，解方程可得 k，进而得到所求直线方程 【解答】 解：（ I）由题意可得 e= = ， + =1，且 b2= 解得 a= ， b=1， 即有椭圆的方程为 +； （ ）若直线的斜率不存在， M， N 为椭圆的上下顶点， 即有 |2， |1，不满足题设条件； 设直线 l： y=（ k 0），与椭圆方程 + 联立， 消去 y，可得（ 1+3=0， 判别式为 814（ 1+3 0，化简可得 ， 设 M（ N（ 可得 x1+ ， y1+y2=k（ x1+3=3 = ， 由 | A（ 0， 1），可得 = ， 整理可得， x1+ y1+）（ ） =0，（ 即为 +（ +2） k=0， 可得 ，即 k= ， 代入 成立 故直线 l 的方程为 y= x+ 【点评】 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公