山东省烟台市2015-2016学年高二上期末数学试题(理)含答案解析

2015年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1给出的四个命题，其中正确的是（ ） A R， x +2=0 B x N， C若 x 1，则 1 D若 a b，则 2命题 p：若 x y；命题 q： x2+2列命题为假命题的是（ ）A p 或 q B p 且 q C q D p 3已知 a， b， c是空间一个基底，则下列向量可以与向量 = + ， = 构成空间的另一个基底的是（ ） A B C D +2 4双曲线 44=0 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1，那么点 P 到另一个焦点的距离等于（ ） A 17 B 16 C 15 D 13 5已知向量 =（ 2， x， 1）， =（ 4， 2， x），若 ，则实数 x 的值为（ ） A 2 B 2 C 8 D 8 6方程 x+1=0 至少有一个负的实根的充要条件是（ ） A 0 a 1 B a 1 C a 1 D 0 a 1 或 a 0 7过焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的右焦点 直线交椭圆于 A， B 两点， 椭圆的左焦点，若 周长为 20，则实数 m 的值为（ ） A 5 B 25 C 10 D 100 8若空间向量 =（ 1， 2， 1）， =（ 1， 0， 2），则下列向量可作为向量 ， 所在 平面的一个法向量的是（ ） A C 9在直三棱柱 ABC中， C=2， 3， E 为棱 BC的中点， F 为侧棱 一点，若 平面 所成的角的正切值为（ ） A 3 B C D 10已知椭 圆 （ a b 0）与双曲线 有公共的焦点， 一条渐近线与以 长轴为直径的圆相交于 A， B 两点，若 好将线段 等分，则椭圆 离心率为 （ ） A B C D 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11命题 “R， 0”的否定是 12方程（ t 2） 3 t） t 2）（ 3 t）（ t R）表示双曲线的充要条件是 13如图，点 M 是以 F 为焦点的抛物线 y 上一点，若 0，则| 14给出下列四个命题： 如果两个命题互为逆否命题，那么它们的真假性相同； 命题 “若 a， b 都是偶数，则 a+b 是偶数 ”的否命题为真命题； 已知点 A（ 1， 0）， B（ 1， 0），若 | |2，则动点 P 的轨迹为双曲线的一支； 对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A， B， C，若 =x +y +z ， 则 x+y+z=1 是四点 P， A， B， C 共面的充要条件 其中所有正确的命题的序号为 15如图， P 是二面角 棱 的一点，分别在 ， 上引射线 果 5， 0，那么二面角 的大小是 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 75 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 16设 a 为实数，给出命题 p：关于 x 的不等式（ ） |x 1| a 的解集为 ，命题 q：函数 f（ x） = 的定义域为 R，若命题 “p q”为真， “p q 为假 ”，求 a 的取值范围 17已知双曲线 =1，过点 P（ 1， 1）能否做一条直线 l，与双曲线交于 A， B 两点，且点 P 是线段 中点？若能，求出直线 l 的方程，若不能，说明理由 18如图所示的四面体 ， B=OC=a， 0， 0，点M， N 分别是 中点，点 S 是 靠近点 N 的三等分点 （ 1）试用 ， ， 表示 ； （ 2）求异面直线 成角的余弦值 19已知顶点在原点，对称轴为 y 轴的抛物线 C 过点（ 2， 2） （ 1）求抛物线 C 的方程； （ 2）若抛物线 C 与过点 P（ 0， 1）的直线 l 相交于 A， B 两点， O 为坐标原点，若直线 斜率之和为 2，求直线 l 的方程 20如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD中，点 E， F 分别是棱 的动点（ 1）当 F 时，求证： BF DE； （ 2）若点 E 为 中点，在棱 是否存在点 F，使二面角 C C 的余弦值为 ？若存在，请确定点 F 的位置， 若不存在，说明理由 21已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ，点（ 0， ）是椭圆与 y 轴的一个交点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）直线 x=2 与椭圆交于 P， Q 两点， P 点位于是第一象限， A， B 是椭圆上位于直线 x=2两侧的动点； 若直线 斜率为 ，求四边形 积的取值范围； 当点 A， B 在椭圆上运动，且满足 ，直线 斜率是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由 2015年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1给出的四个命题，其中正确的是（ ） A R， x +2=0 B x N， C若 x 1，则 1 D若 a b，则 【分析】 分别判断选项，即可得到答案 【解答】 解：对于 A， =4 4 2 0，方程无解，故 A 不正确， 对于 B，当 x=1， 2 时即不成立，故 B 不正确， 对于 C，若 x 1，则 1，正确，故 C 正确， 对于 D，当 a=1， b= 2 时不成立，故 D 不正确， 故选： C 【点评】 本题考查命题的真假判断与应用，属 于基础题 2命题 p：若 x y；命题 q： x2+2列命题为假命题的是（ ）A p 或 q B p 且 q C q D p 【分析】 根据正弦函数的图象即可判断出 ，不一定得到 x y，所以说命题 根据基本不等式即可判断出命题 q 为真命题，然后根据 p， p 或 q， p 且 q 的真假和 p， q 真假的关系即可找出正确选项 【解答】 解： x= ， y=，满足 x y； 命题 p 是假命题； x2+2是基本不等式； 命题 q 是真命题； p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题， q 是真命题， p 是真命题； 是假命题的是 B 故选 B 【点评】 考查正弦函数的图象，能够取特殊角以说明命题 p 是假命题，熟悉基本不等式： a2+2a=b 时取 “=”，以及 p， p 或 q， p 且 q 的真假和 p， q 真假的关系 3已知 a， b， c是空间一个基底，则下列向量可以与向量 = + ， = 构成空间的另一个基底的是（ ） A B C D +2 【分析】 根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论 【解答】 解：由题意和空间向量的共面定理， 结合向量 + =（ + ） +（ ） =2 ， 得 与 、 是共面向量， 同理 与 、 是共面向量， 所以 与 不能与 、 构成空间的一个基底； 又 与 和 不共面， 所以 与 、 构成空间的一个基底 故选： C 【点评】 本题考查了空间向量的共面定理与应用问题，是基础题 4双曲线 44=0 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1，那么点 P 到另一个焦点的距离等于（ ） A 17 B 16 C 15 D 13 【分析】 先把双曲线方程转化为标准方程 ，求出 a，再由已知条件，利用双曲线的定义能求出结果 【解答】 解： 双曲线 44=0， 双曲线的标准方程是 ， a=8， c=4 ， 双曲线上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1， 设点 P 到另一个焦点的距离为 x， 则由双曲线定义知： |x 1|=16， 解得 x=17，或 x= 15（舍） 点 P 到另一个焦点的距离是 17 故选： A 【点评】 本题考查双曲线上一点到焦点距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线性质 5已知向量 =（ 2， x， 1）， =（ 4， 2， x），若 ，则实数 x 的值为（ ） A 2 B 2 C 8 D 8 【分析】 根据向量 ，得出 =0，列出方程求出 x 的值 【解答】 解：向量 =（ 2， x， 1）， =（ 4， 2， x）， 且 ， 所以 = 2 4 2x+x=0， 解得 x= 8 故选： D 【点评】 本题考查了两向量垂直，它们的数量积等于 0 的应用问题，是基础题 6方程 x+1=0 至少有一个负的实根的充要条件是（ ） A 0 a 1 B a 1 C a 1 D 0 a 1 或 a 0 【分析】 首先，对二次项系数分为 0 和不为 0 两种情况讨论，然后在二次项系数不为 0 时，分两根 一正一负和两根均为负值两种情况，最后将两种情况综合在一起找到 a 所满足的条件a 1，再利用上述过程可逆，就可以下结论充要条件是 a 1 【解答】 解： a 0 时，显然方程没有等于零的根 若方程有两异号实根，则由两根之积小于 0 可得 a 0； 若方程有两个负的实根，则必有 ，故 0 a 1 若 a=0 时，可得 x= 也适合题意 综上知，若方程至少有一个负实根，则 a 1 反之，若 a 1，则方程至少有一个负的实根， 因此，关于 x 的方程 x+1=0 至少有一负的实根的充要条件是 a 1 故选 C 【点评】 本题主要考查一个一元二次根的分布问题，属于中档题在二次项系数不确定的情况下，注意一定要分二次项系数分为 0 和不为 0 两种情况讨论 7过焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的右焦点 直线交椭圆于 A， B 两点， 椭圆的左焦点，若 周长为 20，则实数 m 的值为（ ） A 5 B 25 C 10 D 100 【分析】 由题意可得椭圆的 a= ，由椭圆的定义可得 a，可得 a，解方程可得 m 【解答】 解：由题意可得椭圆 + =1 的 a= ， b=4， 由椭圆 的定义可得 a， 即有 周长为 a， 由 4 =20，解得 m=25 故选： B 【点评】 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆定义法的运用，考查运算能力，属于基础题 8若空间向量 =（ 1， 2， 1）， =（ 1， 0， 2），则下列向量可作为向量 ， 所在平面的一个法向量的是（ ） A C 【分析】 设向量 ， 所在平面的一个法向量为 ，则 ，列出方程组求出 的一个值即可判断出结果 【解答】 解：设向量 ， 所在平面的一个法向量为 =（ x， y， z）， 则 ， 即 ； 令 z=2，则 x= 4， y= 1， =（ 4， 1， 2） 故选： B 【点评】 本题考查了求空间平面的法向量的应用问题，是基础题目 9在直三棱柱 ABC中， C=2， 3， E 为棱 BC的中点， F 为侧棱 一点，若 平面 所成的角的正切值为（ ） A 3 B C D 【分析】 以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 平面 所成的角的正切值 【解答】 解：以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， C=2， 3， E 为棱 BC的中点， F 为侧棱 一点， B（ 2， 0， 3）， C（ 0， 2， 3）， E（ 1， 1， 3）， C（ 0， 2， 0）， 设 F（ 0， 2， t）， 0 t 3，则 =（ 1， 1， 3）， =（ 0， 2， t）， = 2+3t=0，解得 t= =（ 0， 2， ）， 平面 的法 向量 =（ 0， 1， 0）， 设 平面 所成的角为 ， 则 = = ， ， =3 平面 所成的角的正切值为 3 故选： A 【点评】 本题考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 10已知椭圆 （ a b 0）与双曲线 有公共的焦点， 一条渐近线与以 长轴为直径的圆相交于 A， B 两点，若 好将 线段 等分，则椭圆 离心率为 （ ） A B C D 【分析】 根据双曲线方程，确定一条渐近线为 y=2x，可得 a 且 题中圆的直径由椭圆与双曲线有公共焦点，可得 设 y=2x 在第一象限的交点为 A（ m， 2m），代入 出 再由对称性知直线 y=2x 被 得的弦长 m，根据 B 三等分解出 m= ，联解可得 值，结合离心率的公式加以计算，可得答案 【解答】 解：由题意， 焦点为（ ， 0），一条渐近线方程为 y=2x， 根据对称性可知以 长轴为直径的圆交 y=2x 于 A、 B 两点，满足 圆的直径且 a 椭圆 双曲线 公共的焦点， 半焦距 c= ，可得 ， 设 y=2x 在第一象限的交点的坐标为 A（ m， 2m）， 代入 方程，解得 ， 由对称性可得直线 y=2x 被 得的弦长 m， 结合题 意得 2 m= ，可得 m= ， 由 联解，得 1 再联解 ，可得 c2= 椭圆 离心率 e 满足 = = 故选： A 【点评】 本题给出双曲线与椭圆共焦点，在双曲线的渐近线与椭圆长轴为直径的圆相交所得的弦 椭圆三等分时，求椭圆的离心率的值着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质与直线与圆等知识，属于中档题 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11命题 “R， 0”的否定是 x R， x+1 0 【分析】 根据命题 “R， 0”是特称命题，其否定为全称命题，将 “存在 ”改为 “任意 ”， “ “改为 “ ”即可得答案 【解答】 解： 命题 “R， 0”是特称命题 命题的否定为： x R， x+1 0 故答案为： x R， x+1 0 【点评】 这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于 “ ”的否定用 “ ”了这里就有注意量词的否定形式如 “都是 ”的否定是 “不都是 ”，而不是 “都不是 ”特称命题的否定是全称命题， “存在 ”对应 “任意 ”属基础题 12方程（ t 2） 3 t） t 2）（ 3 t）（ t R）表示双曲线的充要条件是 t 3 或t 2 【分析】 方程（ t 2） 3 t） t 2）（ 3 t）（ t R）表示双曲线，当且仅当（ t 2）（ 3 t） 0，解此不等式可得结论 【解答】 解：方程（ t 2） 3 t） t 2）（ 3 t）（ t R）表示双曲线，当且仅当（ t 2）（ 3 t） 0 即（ t 2）（ t 3） 0，解之可得 t 3 或 t 2； 反之，当 t 3 或 t 2 时，题干中分母异号，方程（ t 2） 3 t） t 2）（ 3 t）（ t R）表示双曲线， 故答案为： t 3 或 t 2 【点评】 本题考查双曲线的方程，考查解不等式，熟悉双曲线标准方程的形式是关键，属基础题 13如图，点 M 是以 F 为焦点的抛物线 y 上一点，若 0，则 | 8 【分析】 由题意得 2| |2（ b 2）且 | ，联立可得 b=6， 进而由抛物线的定义得到 |长为 8 【解答】 解：由题意得 F（ 0， 2） 设点 M 为（ a， b）过点 M 作 直于 y 轴，垂足为 A |2| |2（ b 2） | 即 | 所以 2（ b 2） = 整理得 （ b 2） 2 又 M 是抛物线 y 上一点 b 有 可得 b=6 或 b= （舍去） 所以 |2（ 6 2） =8 所以 |长为 8 故答案为： 8 【点评】 解决此类问题关键是灵活运用抛物线的定义，将问题转化为我们熟悉的平面几何知识 14给出下列四个命题： 如果两个命题互为逆否命题，那么它们的真假性相同； 命题 “若 a， b 都是偶数，则 a+b 是偶数 ”的否命题为真命题； 已知点 A（ 1， 0）， B（ 1， 0），若 | |2，则动点 P 的轨迹为双曲线的一支； 对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A， B， C，若 =x +y +z ，则 x+y+z=1 是四点 P， A， B， C 共面的充要条件 其中所有正确的命题的序号为 【分析】 直接 由互为逆否命题的两个命题共真假判断 ；写出命题的否命题并判断真假判断 ；由双曲线定义判断 ；由共面向量基本定理可知 正确 【解答】 解：由互为逆否命题的两个命题共真假可知命题 正确； 命题 “若 a， b 都是偶数，则 a+b 是偶数 ”的否命题为： “若 a， b 不都是偶数，则 a+b 不是偶数 ”，是假命题如 a=1， b=3 不都是偶数，但 a+b=4 是偶数； 已知点 A（ 1， 0）， B（ 1， 0），若 | |2，则动点 P 的轨迹为一条射线，故 错误； 由共面向量基本定理可知，对于空间任意一点 O 和不共线 的三点 A， B， C，若 =x +y+z ，则 x+y+z=1 是四点 P， A， B， C 共面的充要条件，故 正确 故答案为： 【点评】 本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的逆命题、否命题以及逆否命题的真假判断，考查双曲线的定义，考查共面向量基本定理及其应用，是基础题 15如图， P 是二面角 棱 的一点，分别在 ， 上引射线 果 5， 0，那么二面角 的大小是 90 【分析】 本题考查的知识点是二面角及其度量，我们要根据二面角的定义，在两个平面的交线上取一点 Q，然后向两个平面引垂线，构造出二面角的平面角，然后根据平面几何的性质，求出含二面角的平面角的三角形中相关的边长，解三角形即可得到答案 【解答】 解：过 一点 Q 分 别在 ， 内做 垂线，交 M 点和 N 点 则 为二面角 的平面角，如下图所示： 设 PQ=a，则 5 N=a N= a 又由 0，易得 等边三角形 则 a 解三角形 得 0 故答案为： 90 【点评】 求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角此题是利用二面角的平面角的定义作出 二面角 的平面角，通过解 在的三角形求得 解题过程为：作 二面角的平面角 计算 记为 “作、证、算 ”三、解答题：本大题共 6 小题，满分 75 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 16设 a 为实数，给出命题 p：关于 x 的不等式（ ） |x 1| a 的解集为 ，命题 q： 函数 f（ x） = 的定义域为 R，若命题 “p q”为真， “p q 为假 ”，求 a 的取值范围 【分析】 先根据指数函数的单调性，对数函数的定义域，以及一元二次不等式解的情况和判别式 的关系求出命题 p， q 下的 a 的取值范围，再根据 p q 为真， p q 为假得到 p， q 一真一假，所以分别求出 p 真 q 假， p 假 q 真时的 a 的取值范围并求并集即可 【解答】 解：若 p 正确，则由 ，得 a 1 （ 3 分） 若 q 正确，则 0 的解集为 R 当 a=0 时， 2 0 满足题意； （ 5 分） 当 a 0 时，则 ，解得 0 a 8， 所以，若 q 正确， 0 a 8（ 8 分） 由题意知， p 和 q 中有且仅有一个正确， 所以 或 ， （ 10 分） 所以 a 8 或 0 a 1 （ 12 分） 【点评】 考查指数函数的单调性，空集的概念，对数函数的定义 域，一元二次不等式的解的情况和判别式 的关系，以及 p q， p q 的真假和 p， q 真假的关系 17已知双曲线 =1，过点 P（ 1， 1）能否做一条直线 l，与双曲线交于 A， B 两点，且点 P 是线段 中点？若能，求出直线 l 的方程，若不能，说明理由 【分析】 设点 A（ B（ 直线 l 的斜率为 k，代入 A， B 的坐标，运用方程相减，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，由点斜式方程可得直线方程，再代入双曲线的方程，由判别式的 符号即可得到结论 【解答】 解：设点 A（ B（ 直线 l 的斜率为 k， 则有 ， 两式相减可得， （ 整理可得， ， 可得直线 l 的方程为 y 1=4（ x 1），即 4x y 3=0 联立 ，消 y 并化简得， 1224x+13=0， =242 4 12 13= 48 0，方程没有实数解， 故过点 P（ 1， 1）不能做一条直线 l，与双曲线交于 A， B 两点， 且点 P 是线段 中点 【点评】 本题考查双曲线的方程的运用，考查点差法的运用，注意联立直线方程和双曲线方程，运用判别式大于 0，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题 18如图所示的四面体 ， B=OC=a， 0， 0，点M， N 分别是 中点，点 S 是 靠近点 N 的三等分点 （ 1）试用 ， ， 表示 ； （ 2）求异面直线 成角的余弦值 【分析】 （ 1）由 ，利用向量加法法则和四面体的性质能用 ， ，表示 （ 2）先求出 ， ，由此利用向量法能求出异面直线 成角的余弦值 【解答】 解：（ 1） 四面体 ， B=OC=a， 0， 0，点 M， N 分别是 中点，点 S 是 靠近点 N 的三等分点， = = （ 2） ， ， ， ， = ， ， 异面直线 成角的范围为 ， 异面直线 成角的余弦值为 【点评】 本题考查向量的 表示，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 19已知顶点在原点，对称轴为 y 轴的抛物线 C 过点（ 2， 2） （ 1）求抛物线 C 的方程； （ 2）若抛物线 C 与过点 P（ 0， 1）的直线 l 相交于 A， B 两点， O 为坐标原点，若直线 斜率之和为 2，求直线 l 的方程 【分析】 （ 1）由题意，可设抛物线方程为 2（ 2， 2）代入方程可得 4=4p，即可求抛物线 C 的方程； （ 2）由题意可得设直线 l 的方程为 y=1，联立 直线与抛物线的方程可得： 2=0，根据韦达定理可得答案 【解答】 解：（ 1）由题意，可设抛物线方程为 2 将点（ 2， 2）代入方程可得 4=4p，即 p=1（ 2 分） 所以抛物线的方程为 2y （ 4 分） （ 2）显然，直线 l 垂直于 x 轴不合题意，故可设所求的直线方程为 y=1， 代入抛物线方程化简，得： 2=0， （ 6 分） 其中 =4 0， x1+ 2k， 2（ 8 分） 设点 A（ B（ 则有 ， 因为 y1=1， y2=1，代入 ，整理可得 ， 将 x1+ 2k， 2 代入，可得 k=2， （ 11 分） 所以直线 l 的方程为 y=2x 1 （ 12 分） 【点评】 本题主要考查抛物线的简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于中档题 20如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD中，点 E， F 分别是棱 的动点（ 1）当 F 时，求证： BF DE； （ 2）若点 E 为 中点，在棱 是否存在点 F，使二面角 C C 的余弦值为 ？若存在，请确定点 F 的位置，若不存在，说明理由 【分析】 （ 1）设 F=a，以点 D 为坐标原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 BF DE （ 2）设 DF=b，求出平面 一个法向量和平面 一个法向量，由向量法能求出当点 F 为棱 中点时，二面角 C C 的余弦值为 【解答】 证明：（ 1）设 F=a，以点 D 为坐标原点， x 轴， y 轴， 立空间直角坐标系， （ 1 分） 则 E（ a， 2， 0）， F（ 0， a， 0）， B（ 2， 2， 2）， D（ 0， 0， 2）， C（ 0， 2， 2）， （ 3 分） ， = 2a+2a 4+4=0， （ 5 分） ， BF DE （ 6 分） 解：（ 2）设 DF=b，由题意可知， E（ 1， 2， 0）， F（ 0， b， 0）（ 0 b 2）， ， ， （ 8 分） 设 =（ x， y， z）为平面 一个法向量， 则有 =0， =0， 即 ，令 y=1 得， =（ b 2， 1，