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第七章 圆 综合练习（四）【例题精选】：例1：已知PA、PB切O于A、B，割线PCD交O于C、D。求证：ACBD = ADBC分析：要证的是等积式，当等积式不好想时，可以考虑先写成比例式去思考，若要证明ACBD = ADBC，即要证明ACAD = BCBD，对这个比例式直接找相似条件也欠缺。但因为PA、PB是切线，PCD是割线，可由切割线定理得到成比例线段，将ACAD与BCBD当作相似三角形的对应边去转化，从而利用比的代换而去证明结论。解：PA、PB切O于A、B，PCD是割线则PA2 = PCPD，PB2 = PCPD，APC = DPA，CPB = DPB，则DPCADPAD，DPBCDPDBPA = PB，PD = PD，ACDA = BCDB即ACBD = ADBC说明：在证明中，主要利用切割线定理所反映出来的线段成比例关系，证明三角形相似。对等积式转化为比例式的证题思路进行分析。例2；如图，AB是直径，ABCD于M，PE是O的切线交CD延长线于P点，连EB交CD于F。求证：PF2 = PDPC分析：从要证的结论去想，PF、PD、PC都在一条直线上，一定要进行等比代换。图中PE是O的切线，根据切割线定理，一定有PE2 = PDPC，而要证明的是PF2 = PDPC，命题转化成证PE = PF。再可利用同一三角形中等角对等边加以证明。转化为证角相等。证明：PE切O于E， PE2 = PDPC 连接AE，PEB为弦切角， PEB = BAE AB为直径，AEB = 90， EAB = 90MBF又MFB = 90MBF MFB = EFP，PEF = EFP PE = PF PF2 = PDPC说明：要证的等积式中直接与切割线定理有关系的线段，就按这一思路去考虑线段的代换，将命题转化为证线段相等。例3：已知，两个同心圆O中，大圆直径AB交小圆于C、D两点，EF是大圆的弦，且EFAB于C，E、D交小圆于G，大圆半径为6，小圆半径为4。求EG的长。分析：题中的EF垂直于AB，因此它等于CE线段长的2倍，它也是小圆的切线，而要求的EG可看做是小圆割线的一部分。题中有切线，有割线，可以考虑用切割线定理。可以连OE，利用直角三角形知识求出EC，就可以求ED了，问题即可解决了。解：连接OE，EFAB于C，EF是小圆的切线。大圆半径为6，小圆半径为4。又EC是小圆的切线，ED是小圆的割线，EC2=EGED即例4：在两圆公共弦AB上任取一点G，过G做直线交一圆于C、D，交另一圆于E、F。求证：CGED = EGCF分析：要证的等积式直接看不出更多的关系，但因为在两个圆中，有圆内两条弦相交，可以用相交弦定理推导一下，再根据要证明的结论，去进一步变形。证明：在小圆中，弦AB、CD交于G， CGGD = AGBG 在大圆中，弦AB，EF交于G， EGFG = AGBG 则CGGD = EGFG 即(DE + EG)CG = (CG + FC)EG DECG + EGCG = CGEG + FCEG DECG = EGCF例5：如图，P为圆外一点，PAB、PCD为O的割线，AB =2，PC = 3，CD比PA大1。求切线PE的长。分析：圆中有切线，有割线，可以用割线定理和切割线定理进行计算。数量间的关系可以用设未知数的方程思想来做。解：设PA长为x，则CD长为x + 1PAB、PCD是圆的割线，PAPB = PCPD即解得：又PE是圆的切线，PE2 = PAPB，PE2 = 46 =24（舍负）说明：图形中若有切线，有割线，就一定要考虑到应用切割线定理进行计算或证明。例6：如图，在DABC中，B=90，点O为AB上的点，以OB为半径作O与AC切于点D，O交AB于E，AD=2cm，AE=1cm，求CD长。分析：AC切O于D，则AD为O的切线，AB是O的割线，由切割线定理可求出BE长，可设CD为x，BC也为x，利用勾股定理可以列出方程，解出x值。解：设CD为xAC切O于D，则AD是切线，AB是割线，AD2 = AEAB，即22 = 1AB，AB = 4。BE = 41 = 3法一：可利用勾股定理列方程：解得：法二：可连OD，利用DADODABC即解得：答：CD长为3cm。例7：已知，PQ是O的割线交O于R、T。PA、QB为O的切线，A、B为切点，若PR = QT。求证：PA = QB。分析：要证两条切线等，可以利用切割线定理找到另割线的关系去证。证明：PA、BQ切O于A、B PA2 = PRPT，BQ2 = QTQR PR = QT，RT = RT， PR(PR + RT) = QT(QT + RT) 即PRPT = QTQR PA2 = QT2 即PA = QT例8：已知：在O中，弦AB/CD，连结AC、BC，过B点作O的切线交CD延长线于P。求证：PBPD = CBCA分析：（1）由PB、PD、CB、CA所在的位置，可直接证DPBD与DCAB相似。（2）因为PB是切线，PB2 = PDPC，可得PBPD = PCPB，再去证PCPB = CBCA。（3）由AB/CD，有AC = BD。要证等式变为PBPD = BCBD。证明：方法一：连结BD。ACDB为圆内接四边形BDP = CAB又PB是切线，PBD = BCD，又AB/CD，BCD = ABC，DPBDDCBAPBPD = CBCA方法二：PB是切线，PB2 = PDPC即PBPD = PCPB在DACB和DBPC，AB/CD，ABC = BCP又BP切O于B，CBP = BAC。DACBDBPC。BCCA = PCPBPBPD = CBCA方法三：连结BD在DBPD和DPBC中，PB切O于B，PBD = BCP，又P公用，DPBDDPCB，BDBC = PDPB，又AB/CD，AC = BDACBC = PDPB例9：过ABCD的顶点D点作直线，交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，O过B、G、F三点，ET与O相切于点T。求证：ET = ED（山东95年中招试题）分析：要利平行四边形对边平行的条件，有平行就有三角形相似。又有ET是切线，因此ET2 = EFEG，只要证ED2 = EFEG就可以证明ET = ED了。证明：ABCD是平行四边形，AD/FC， DAEDDEFC AEEC = DEEF 又DC/AB，DDECDAGE AEEC = EGDE， EGDE = DEEF， DE2 = EFEG 又ET是O切线，ET2 = EFEG ET = ED例10：已知M交x轴正半轴于，交 y轴正半轴于，。若x1、x2是方程的根，且。y1、y2是方程的两根，求的值。分析：由题意，x1、x2是方程的根，则有，y1、y2是方程的两根，则，这样由已知，可求出有关的一个关系式，如何找到有关的其它关系式，是解这个题目的关键。这时要结合图形观察，由图形可以看出OAB、OCD可以看作是从O点出发的两条圆的割线，由割线定理，就可以得到有关的另一个关系式了。解：x1、x2是方程的两个根，。y1、y2是方程的两根，又又OAB、OCD是M的两条割线，OAOB = OCOD即，则解，得说明：观察图形后利用图形性质得出关系式，是数形结合思考问题的方法，它可以开阔我们的思路。也是一种重要的思考问题的数学方法。它也使几何、代数结合起来思考问题。例11：如图，在O中，P是弦AB上一点，CPOP，CP交O于C点。求证：PC2 = PAPB分析：要证的等积式中很难找到相似三角形的关系，而PA、PB刚好是圆中一条弦的两部分，可以考虑用交弦定理，但图中没有两弦相交的图形，因此可以考虑创造两弦相交的条件，补齐图形。证明：延长CP交O于D，AB、CD是O中交于P点的两条弦，PAPB = PCPDOPPC，PC = PDPAPB = PCPD = PC2说明：在要应用定理，但缺条件时，可以考虑添加适当的辅助线，构成可以用定理的图形，这也是常加的辅助线方法之一。【综合练习】：（一）选择题：1、PCA和PBD是O的两条割线，AB、CD相交于E，下列式子成立的是（ ）APCCA = PBBDBCEAE = BEEDCCECD = BEBADPBCD = PCAB2、PA切O于A，PBC为割线交O于B、C两点，PB = 2，PA = 6，则BC为（ ）A3B16C18D13、已知：AB是O直径，C是AB延长线上一点，CD切O于D，若O半径为3，CD = 4，则CB的长为（ ）A2BCD34、在O中，AB为弦，E为AB中点，CD为过E点的弦，CE = 8，DE = 6，则AB等于（ ）A7B8CD135、已知O的直径AB = 20cm，P是OB上一点，且OP = 8cm，过P的弦CD满足CPPD = 49，则CD长为（ ）A10cmB12cmC13cmD14cm（二）填空题：1、在O中，PT是切线，切点为T，P是圆外一点，cm，P、O连线与O交于A，延长线交O于B，若PO = 6cm，则O半径等于。2、AB和CD是O中非直径且相互垂直的弦，垂足为E，已知AE = 4cm，BE = 12cm，DE = 6cm，则O的半径为。3、ABC、ADE为圆的两条割线，交圆于B、C、D、E四点，AB = DE，BC = 10，AD = 4，则AB = 。4、PA切O于A，PBC为割线交O于B、C两点，PAPC = 23，PB = 4cm，则BC = 。（三）解答题：1、如图，在DABC中，C = 90，D为AC上一点，CD为O的直径，AB切O于E，AE = 2，AD = 1。求：2、如图，在同心圆中，外圆的弦AB与内圆相切于T，过T的直线与外圆交于C、D，已知CT = 6cm，DT = 3cm。求AB。3、如图，ABCD是O的内接四边形，DA、CB的延长线交于P，PE是O的切线，E是切点，已知PE = 6cm，CB = 5cm，DA = 9cm。求：ABCD4、如图，O中弦AB、CD相交于E，过E作BC的平行线交AD的延长线于P，过P作O的切线PT，T为切点。求证：PT = PE【答案或提示】：（一）1、D2、B3、A4、B5、C（二）1、3cm2、3、24、5（三）1、6提示：因为AE是切线，可利用切割线定理求出AC，