2011年4月上海市崇明县高考数学二模试卷(理科).doc

菁优网Http:/ 2011年4月上海市崇明县高考数学二模试卷（理科） 2012 菁优网一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，满分56分，只需将结果写在答题纸上）1、方程log2（3x4）=1的解x=_2、函数y=cos4xsin4x的最小正周期T=_3、已知z是方程z2=i（z+1）的复数解，则|z|=_4、若直线l过点p（0，1），且方向向量为（2，1），则直线l的方程为_（用直线方程的一般式表示）5、二项式（x）6的展开式中常数项是第_项（用数字作答）6、（2010山东）执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为_7、函数f（x）=（x1）的值域为_8、已知等差数列an的前n项和为Sn，若S3=6，S18S15=18，则S18=_9、已知直线l的极坐标方程为cos（）=，则极点到这条直线的距离等于_10、若一个无穷等比数列an的前n项和为Sn，且Sn=，则首项a1取值范围是_11、（2010湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_cm12、已知双曲线（m0）的一条渐近线方程为y=x，它的一个焦点恰好在抛物线y2=ax的准线上，则 a=_13、如图，在三角形ABC中，|=1，则=_14、设函数f（x）=x2+1，若关于x的不等式f（）+4f（m）4m2f（x）+f（x1）对任意x，+）恒成立，则实数m的取值范围是_二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题给出四个选项，其中有且只有一个结论是正确的，选对并将答题纸对应题号上的字母涂黑得5分，否则一律得零分）15、从总体中抽取的一个样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则总体方差的点估计值等于（）A、B、C、D、216、命题P：“|x1|2”，命题Q：“”则P是Q的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件17、（2010天津）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）A、（2，1）B、（1，0）C、（0，1）D、（1，2）18、一个少年足球爱好者报考某知名足球学校面试过程是这样的：先由二位助理教练单独面试（假设相互独立），若能同时通过两位助理教练的面试，则予以录取；若均未通过两位助理教练面试，则不予取录；若恰好能通过一位助理教练的面试，则再由主教练进行终审（直接决定录取或不予录取）如果该少年足球爱好者通过两位助理教练面试的概率均为0.5，通过主教练终审的概率为0.3，那么该少年足球爱好者被这知名足球学校录取的概率为（）A、0.55B、0.4C、0.25D、0.325三、解答题（本大题共5小题，满分74分解答下列各题并写出必要的过程，并将解题过程清楚地写在答题纸上）19、已知向量=（sinx，cosx），=（1，），设函数f（x）=（1）若x0，求函数f（x）的单调区间；（2）已知锐角ABC的三内角A、B、C所对的边是a、b、c，若有f（A）=，a=，sinB=，求c边的长度20、（理）如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点（1）求异面直线EG与BD所成角的大小；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为？若存在，求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由21、某公司生产某种消防安全产品，年产量x台（0x100，xN）时，销售收入函数R（x）=3000x20x2（单位：百元），其成本函数满足C（x）=500x+b（单位：百元）已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000（百元）（1）求利润函数P（x）；（2）问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？（3）在经济学中，对于函数f（x），我们把函数f（x+1）f（x）称为函数f（x）的边际函数，记作Mf（x）对于（1）求得的利润函数P（x），求边际函数MP（x）；并利用边际函数MP（x）的性质解释公司生产利润情况（本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等）22、如图，已知椭圆（ab0），M为椭圆上的一个动点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A、B分别为椭圆的一个长轴端点与短轴的端点当MF2F1F2时，原点O到直线MF1的距离为|OF1|（1）求a，b满足的关系式；（2）当点M在椭圆上变化时，求证：F1MF2的最大值为；（3）设圆x2+y2=r2（0rb），G是圆上任意一点，过G作圆的切线交椭圆于Q1，Q2两点，当OQ1OQ2时，求r的值（用b表示）23、已知数列an的前n项和为Sn，满足2+2Sn=3an（nN*）数列bn=（1）求证：数列an为等比数列；（2）若对于任意nN*，不等式bn（n+1）恒成立，求实数的最大值；（3）对于数列bn中值为整数的项，按照原数列中前后顺序排列得到新的数列cn，记Tn=c1c3c2n1，Mn=c2c4c2n，求的表达式答案与评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，满分56分，只需将结果写在答题纸上）1、方程log2（3x4）=1的解x=2考点：其他不等式的解法；对数函数的单调性与特殊点。专题：计算题。分析：由log2（3x4）=1=log22可得，3x4=2，解方程可求解答：解：由log2（3x4）=1=log22可得，3x4=2x=2故答案为2点评：本题主要考查了对数方程的求解，解题中要善于利用对数中1的代换，属于基础试题2、函数y=cos4xsin4x的最小正周期T=1考点：三角函数的周期性及其求法。专题：计算题。分析：把函数解析式先根据平方差公式化简，然后再利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，得到一个角的余弦函数，找出的值，代入周期公式T=即可求出函数的最小正周期解答：解：y=cos4xsin4x=（cos2xsin2x）（cos2x+sin2x）=cos2x，=2，T=1故答案为：1点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及平方差公式的运用，利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的三角函数是求函数周期的关键3、已知z是方程z2=i（z+1）的复数解，则|z|=考点：复数求模。专题：计算题。分析：先设出z的代数形式，代入所给的对应的方程进行化简，由实部和虚部对应相等求出a和b的值，再代入复数模的公式求出解答：解：设z=a+bi（a，bR），代入方程z2=i（z+1）得，（a2）+bi=i（a+1+bi）=b+（a+1）i，解得a=，b=，z=，|z|=，故答案为：点评：本题考查了复数的乘法运算，以及复数相等的等价条件，利用复数模的公式进行求对应复数的模，属于基础题4、若直线l过点p（0，1），且方向向量为（2，1），则直线l的方程为x+2y2=0（用直线方程的一般式表示）考点：直线的点斜式方程。专题：计算题。分析：由直线l过点p（0，1），且方向向量为（2，1），知直线l的斜率k=，由此能求出直线l的方程解答：解：直线l过点p（0，1），且方向向量为（2，1），直线l的斜率k=，直线l的方程为，整理，得x+2y2=0故答案为：x+2y2=0点评：本题考查直线的点斜式方程，解题时要认真审题，仔细解答5、二项式（x）6的展开式中常数项是第5项（用数字作答）考点：二项式系数的性质。专题：计算题。分析：要求展开式的常数项，只要在二项展开式的通项=中令可得r，从而第r+1项即为所求的项解答：解：二项展开式的通项为：=要求展开式的常数项，只要令可得r=4常数项为：T5=C63=20故答案为：15点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解展开式的指定项，解题的关键是熟练掌握通项，还要注意求出r之后，满足条件的项是第r+1项而不是第r项，这是解此类问题容易出现错误的地方6、（2010山东）执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为考点：程序框图。专题：操作型。分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y 是否继续循环循环前 10第一圈 10 4 是第二圈 4 1 是第三圈 1是第四圈否故输出y的值为故答案为：点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模7、函数f（x）=（x1）的值域为（，1考点：二阶矩阵。专题：计算题。分析：本题直接根据二阶矩阵的乘法的运算法则进行运算求出函数的表达式，再结合函数的单调性即可求出所求解答：解：函数f（x）=，当x1时，函数f（x）是减函数，当x=1时，f（x）=1，当x+时，f（x），函数f（x）=（x1）的值域为（，1故答案为：（，1点评：本题考查了二阶矩阵乘法的法则，同时考查了函数的值域，属于基础题8、已知等差数列an的前n项和为Sn，若S3=6，S18S15=18，则S18=36考点：等差数列的前n项和。专题：计算题。分析：由S3=6，S18S15=18，知，解得，d=，再由等差数列前n项和公式能求出S18解答：解：等差数列an中，S3=6，S18S15=18，解得，d=，S18=18=36故答案为：36点评：本题考查等差数列前n项和公式的运算，解题时要认真审题，仔细解答9、已知直线l的极坐标方程为cos（）=，则极点到这条直线的距离等于考点：简单曲线的极坐标方程。专题：计算题。分析：先将原极坐标方程cos（）=中的三角函数式展开后两边同乘以后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得解答：解：将原极坐标方程cos（）=化为：cos+sin=1，化成直角坐标方程为：x+y1=0，则极点到该直线的距离是=故答案为：点评：本题考查简单曲线的极坐标方程、点到这条直线的距离等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题10、若一个无穷等比数列an的前n项和为Sn，且Sn=，则首项a1取值范围是（0，）（，1）考点：极限及其运算；等比数列的性质。专题：计算题；分类讨论。分析：分若q=1，求=不存在；q1，时，由=，可得，且1q1且q0，从而可求解答：解：设等比数列的首项为a1，公比为q，若q=1，则=不存在若q1，时，=，且1q1且q0故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，要注意对公比分q=1，1两种情况的考虑分别求解数列的和，解题的关键是要由若q1，由=得，且1q1且q0，解答本题时容易漏掉对q0的考虑11、（2010湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是4cm考点：组合几何体的面积、体积问题。专题：计算题；综合题。分析：设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可解答：解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3，解得r=4故答案为：4点评：本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，是基础题12、已知双曲线（m0）的一条渐近线方程为y=x，它的一个焦点恰好在抛物线y2=ax的准线上，则 a=24考点：圆锥曲线的综合。专题：计算题。分析：先利用渐近线方程求双曲线的标准方程，再利用一个焦点恰好在抛物线y2=ax的准线上，可求解解答：解：由题意，m=9双曲线的焦点坐标为（6，0），a=24故答案为24点评：本题的考点是圆锥曲线的综合，主要考查双曲线的渐近线，考查抛物线的准线，关键是利用渐近线方程求双曲线的标准方程13、如图，在三角形ABC中，|=1，则=考点：平面向量数量积的运算。专题：计算题。分析：由题意可得，cosDAC=sinBAC，=，由正弦定理得变形得|AC|sinBAC=|BC|sinB，可得=|BC|sinB=解答：解：，cosDAC=sinBAC，在ABC中，由正弦定理得变形得|AC|sinBAC=|BC|sinB，=|BC|sinB=，故答案为：点评：本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题14、设函数f（x）=x2+1，若关于x的不等式f（）+4f（m）4m2f（x）+f（x1）对任意x，+）恒成立，则实数m的取值范围是（，+）考点：函数恒成立问题。专题：计算题；转化思想。分析：先把原不等式整理后转化为g（x）=（+4m2+1）x22x30对任意x，+）恒成立，再利用二次函数恒成立的求解方法即可求实数m的取值范围解答：解：原不等式不等式f（）+4f（m）4m2f（x）+f（x1）整理得g（x）=（+4m2+1）x22x30，即可以转化为g（x）=g（x）=（+4m2+1）x22x30对任意x，+）恒成立由于函数g（x）开口向上，对称轴小于等于，所以在x，+）上递增故只须g（）0+4m2012（m2）25m230m2或m2m或m故答案为：（，+）点评：本题主要考查二次函数的恒成立问题二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题给出四个选项，其中有且只有一个结论是正确的，选对并将答题纸对应题号上的字母涂黑得5分，否则一律得零分）15、从总体中抽取的一个样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则总体方差的点估计值等于（）A、B、C、D、2考点：极差、方差与标准差。专题：计算题。分析：由样本平均值的计算公式列出关于a的方程，解出a，再利用样本方差的计算公式，最后得出总体方差的点估计值即可解答：解：由平均数公式知（a+0+1+2+3）=1，解得a=1，样本方差为S2=（11）2+（01）2+（11）2+（21）2+（31）2=2，故选D点评：本小题主要考查平均数、方差、用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题16、命题P：“|x1|2”，命题Q：“”则P是Q的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断。专题：计算题。分析：由|x1|2可得，2x12可得P，由可得可得Q，然后结合P与Q所对应的集合之间的关系进行判断可得答案解答：解：由|x1|2可得，2x12P：A=x|1x3命题Q：由可得即Q：B=x|x3AB，BA即P成立时Q一定成立，但Q成立时P不一定成立则P是Q的充分不必要条件故选：A点评：本题主要考查了充分条件与必要条件的判断，解答本题的关键是准确解出绝对值不等式与分式不等式，属于基础试题17、（2010天津）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）A、（2，1）B、（1，0）C、（0，1）D、（1，2）考点：函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理。专题：计算题。分析：函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通可采用代入排除的方法求解解答：解：由及零点定理知f（x）的零点在区间（1，0）上，故选B点评：本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题18、一个少年足球爱好者报考某知名足球学校面试过程是这样的：先由二位助理教练单独面试（假设相互独立），若能同时通过两位助理教练的面试，则予以录取；若均未通过两位助理教练面试，则不予取录；若恰好能通过一位助理教练的面试，则再由主教练进行终审（直接决定录取或不予录取）如果该少年足球爱好者通过两位助理教练面试的概率均为0.5，通过主教练终审的概率为0.3，那么该少年足球爱好者被这知名足球学校录取的概率为（）A、0.55B、0.4C、0.25D、0.325考点：相互独立事件的概率乘法公式。专题：计算题。分析：根据题意可得：该少年足球爱好者被这知名足球学校录取分为两种情况：该少年足球爱好者直接通过两位助理教练的面试，该少年足球爱好者只通过了一位助理教练的面试，再由主教练进行终审并且通过，再分别求出其概率求和即可得到答案解答：解：根据题意可得：该少年足球爱好者被这知名足球学校录取分为两种情况：该少年足球爱好者直接同时通过两位助理教练的面试，其概率为：0.50.5=0.25；该少年足球爱好者只通过了一位助理教练的面试，再由主教练进行终审并且通过，其概率为：20.5（10.5）0.3=0.15，所以该少年足球爱好者被这知名足球学校录取的概率为0.25+0.15=0.4故选B点评：解决此类问题的关键是熟练掌握相互独立事件的定义与相互独立事件的概率乘法公式，此题属于基础题，只要认真阅读题目即可求解正确三、解答题（本大题共5小题，满分74分解答下列各题并写出必要的过程，并将解题过程清楚地写在答题纸上）19、已知向量=（sinx，cosx），=（1，），设函数f（x）=（1）若x0，求函数f（x）的单调区间；（2）已知锐角ABC的三内角A、B、C所对的边是a、b、c，若有f（A）=，a=，sinB=，求c边的长度考点：正弦定理的应用。专题：计算题。分析：（1）由=2sin（x+），结合正弦函数的性质可求函数的单调区间（2）由可求，由正弦定理可得可求b，而由sinC=sin（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA可求sinC，再由正弦定理可求c另解同上可得b=2 ）由余弦定理可得，a2=b2+c22bccosA可求c解答：解：（1）=2sin（x+）单调增区间是单调减区间是（2）因2sinA=由正弦定理可得=2ABC是锐角三角形，所以sinC=sin（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=由正弦定理可得即c=3另解同上可得b=2 （同上）由余弦定理可得，a2=b2+c22bccosAc22c3=0c=3点评：本题主要考查了正弦定理与余弦定理及三角形的内角和定理、两角和的三角公式、同角平分关系等三角公式的综合应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的公式并能灵活应用，属于综合性试题20、（理）如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点（1）求异面直线EG与BD所成角的大小；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为？若存在，求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由考点：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角。专题：计算题。分析：（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建系如图示，写出点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），和向量，的坐标，利用异面直线EG与BD所成角公式求出异面直线EG与BD所成角大小即可；（2）对于存在性问题，可先假设存在，即先假设在线段CD上存在一点Q满足条件，设点Q（x0，2，0），平面EFQ的法向量为，再点A到平面EFQ的距离，求出x0，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在解答：解：（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图示，点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），则，设异面直线EG与BD所成角为=，所以异面直线EG与BD所成角大小为（2）假设在线段CD上存在一点Q满足条件，设点Q（x0，2，0），平面EFQ的法向量为，则有得到y=0，z=xx0，取x=1，所以，则，又x00，解得，所以点即，则所以在线段CD上存在一点Q满足条件，且线段CQ的长度为点评：考查利用空间向量证明垂直和求夹角和距离问题，以及平行向量与共线向量的判定定理，体现 了转化的思想方法，属中档题21、某公司生产某种消防安全产品，年产量x台（0x100，xN）时，销售收入函数R（x）=3000x20x2（单位：百元），其成本函数满足C（x）=500x+b（单位：百元）已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000（百元）（1）求利润函数P（x）；（2）问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？（3）在经济学中，对于函数f（x），我们把函数f（x+1）f（x）称为函数f（x）的边际函数，记作Mf（x）对于（1）求得的利润函数P（x），求边际函数MP（x）；并利用边际函数MP（x）的性质解释公司生产利润情况（本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等）考点：函数模型的选择与应用。专题：应用题。分析：（1）由题意，x=0，b=4000，所以C（x）=500x+4000，P（x）=R（x）C（x）=3000x20x2500x4000=20x2+2500x4000，0x100（2）P（x）=，（0x100，xN），由此能求出最大利润和取得最大利润时的产量（3）MP（x）=P（x+1）P（x）=40x+2480（0x99，xN）边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少；说明生产第一台的利润差最大；生产62台时，利润达到最大解答：解：（1）由题意，x=0，b=4000，所以C（x）=500x+4000，P（x）=R（x）C（x）=3000x20x2500x4000=20x2+2500x4000，0x100（2）P（x）=，（0x100，xN）所以x=62或x=63P（x）max=P（62）=P（63）=74120（百元）（3）MP（x）=P（x+1）P（x）=40x+2480（0x99，xN）边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少；当x=0时，边际函数取得最大值为2480，说明生产第一台的利润差最大；当x=62时，边际函数为零，说明生产62台时，利润达到最大点评：本题考查函数在生产实际中的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化22、如图，已知椭圆（ab0），M为椭圆上的一个动点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A、B分别为椭圆的一个长轴端点与短轴的端点当MF2F1F2时，原点O到直线MF1的距离为|OF1|（1）求a，b满足的关系式；（2）当点M在椭圆上变化时，求证：F1MF2的最大值为；（3）设圆x2+y2=r2（0rb），G是圆上任意一点，过G作圆的切线交椭圆于Q1，Q2两点，当OQ1OQ2时，求r的值（用b表示）考点：直线与圆锥曲线的综合问题。专题：综合题。分析：（1）设F1（c，0），F2（c，0），A（a，c），B（0，b），因为MF2F1F2，所以点M坐标为，由此能够求出a=（2）设MF1=m，MF2=n，m+n=2a，由余弦定理得=因为，所以cosF1MF20，由此能够证明：F1MF2的最大值为（3）设G（rcos，rsin）圆上任意一点，过G点的切线交该椭圆于Q1（x1，x2），Q2（x2，y2），则切线l的法向量为（rcos，rsin），直线l的方程为xcos+ysinr=0，联立方程组，能够推导出r=解答：解：（1）设F1（c，0），F2（c，0），A（a，c），B（0，b），因为MF2F1F2，所以点M坐标为，所以MF1方程b2x2axy+b2c=0，O到MF1距离，整理得2b4=a2c2，所以解得a=（2）设MF1=m，MF2=n，m+n=2a，由余弦定理得=因为，所以cosF1MF20，当且仅当m=n=a=，cosF1MF2=0，由三角形内角及余弦单调性知有最大值（3）设G（rcos，rsin）圆上任意一点，过G点的切线交该椭圆于Q1（x1，x2），Q2（x2，y2），则切线l的法向