高中数学 第二节　平面向量基课件 新人教A版必修4

第二节平面向量基本定理及坐标表示 1 平面向量基本定理定理 如果e1 e2是同一平面内的两个向量 那么对于这一平面内的任意向量a 一对实数 1 2 使a 其中 e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 有且只有 不共线 1e1 2e2 基底 2 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 对于平面内的一个向量 有且只有一对实数x y 使 xi yj 把有序数对叫做向量的坐标 记作 x y x y i j A B C xi yj x y x y a a a x y 当一个向量的起点在坐标原点时 该向量的坐标就是该向量终点的坐标 yj xi a 3 平面向量的坐标运算 1 加法 减法 数乘运算 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 y1 向量和的坐标等于对应坐标的和 向量差的坐标等于对应坐标的差 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 2 向量坐标的求法 已知A x1 y1 B x2 y2 则 即一个向量的坐标等于 x2 x1 y2 y1 该向量终点的坐标减去始点的坐标 3 平面向量共线的坐标表示 设a x1 y1 b x2 y2 其中b 0 则a与b共线 a b x1y2 x2y1 0 a与b共线 b a x1y2 x2y1 0 不能 有可能为0 A B C D 解析 AB 2 4 AC 1 3 BC AC AB 1 1 BD AD AB BC AB 3 5 B 例2 设向量a 1 3 b 2 4 c 1 2 若表示向量4a 4b 2c 2 a c d的有向线段首尾相接能构成四边形 则向量d为 A 2 6 B 2 6 C 2 6 D 2 6 解析 由题知4a 4 12 4b 2c 6 20 2 a c 4 2 且4a 4b 2c 2 a c d 0 则 4 12 6 20 4 2 d 0 0 故d 2 6 D 例3 2009年辽宁卷 在平面直角坐标系xOy中 四边形ABCD的边AB DC AD BC 已知A 2 0 B 6 8 C 8 6 则D点的坐标为 A 2 0 B 6 8 C 8 6 D 解析 设D点的坐标为 x y x y AD BC 即 2 2 x 2 y X 2 2 y 2 X 0 y 2 D点坐标为 0 2 0 2 由题意知四边形ABCD为平行四边形 例4 解析 由已知得a 5 5 b 6 3 c 1 8 1 3a b 3c 3 5 5 6 3 3 1 8 15 6 3 15 3 24 6 42 a mb nc 5 5 6m n 3m 8n 2 5 6m n 5 3m 8n 解得 m 1 n 1 3 CM OM OC OM CM OC 3 1 8 3 4 M 0 20 又 CN ON OC ON CN OC 2 6 3 3 4 9 2 N 9 2 MN 9 18 练习 已知点A 1 2 B 2 8 以及AC DA 求点C D的坐标和CD的坐标 解 A 1 2 B 2 8 AB 3 6 AC 1 2 DA 1 2 又 AC 0C OA 0C AC 0A 1 2 1 2 0 4 C 0 4 又 DA 0A 0D 0D 0A DA 1 2 1 2 2 0 D 2 0 例5已知平面内三个向量 a 3 2 b 1 2 c 4 1 若 a kc 2b a 求实数k 解 由已知得a kc 3 4k 2 k 2b a 5 2 a kc 2b a 3 4k 2 5 2 k 0 解得k 如图所求 已知点A 4 0 B 4 4 C 2 6 求AC和OB的交点P的坐标 练习 解 设P x y A 4 0 B 4 4 C 2 6 0P x y 0B 4 4 AP x 4 y AC 2 6 0P 0B共线 x 4 6 y 2 0 4x 4y 0 P 3 3 又 AP AC共线 由 得x 4 y 3 小结 1