20.1 勾股定理及其应用 课件 2025-2026学年 人教版八年级数学下册

第二十章20勾股定理勾股定理及其应用R·八年级数学下册1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用

几何图形的截、割、补证明勾股定理．2.能叙述勾股定理，并能应用它进行简单的计算．3.通过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养学生

的动手实践和创新能力.学习目标ABC说一说直角三角形有哪些性质？①

有一个直角，∠C=90°.②

两个角互余，∠A+∠B=90°.abc对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？新课导入勾股弦345并指出“两矩共长二十有五”.在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，S1=9三个正方形面积的数量关系是:9+16=25S2=16S3=25探索新知所得正方形的面积分别为____，____，____.91625三个正方形面积的数量关系是:9+16=25这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？勾股弦345S2=16S3=25S1=9如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形

A1，B1，C1

的面积之间有什么关系？A2，B2，C2

呢？A3，B3，C3

呢？C1，C2，C3

的面积你会求吗？以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.面积

A1面积

B1面积C1面积

A2面积

B2面积

C2面积

A3面积

B3面积

C3面积

A,B,C之间的关系145491392534

任意画一个直角三角形，也会有这种关系吗？

自己动手试一试：1.任意画一个直角三角形，并以各边为边向外作出正方形.2.数一数，算一算，三个正方形的面积有什么关系？3.小组讨论，互相说一说总结你们的发现，并猜想直角三角形的三边可能有怎样的数量关系？以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为

a，b，斜边长为

c，那么

a2+b2=c2.BACbac探究利用拼图来验证猜想：1.准备4个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c）.2.你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边c为边长的正方形吗？拼一拼算算看！abcabc黄实朱实朱实朱实

这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．

赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.赵爽拼图证明法abcba2+b2c2a证法1:abc=赵爽拼图证明法abcb－a证法2:

这样就证明了前面的猜想.它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理.

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股此结论被称为“勾股定理”.

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2.勾股定理赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.例1如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.ACB86(1)解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2

=AC2

+BC2

=82

+62

=100，所以

AB=10.已知两直角边长，求斜边长.1715DEF(2)已知斜边长与一直角边长，求另一直角边长.(2)在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2+EF2=DF2，从而

DE2=DF2－EF2=172－152=64，所以

DE=8.1.设直角三角形的两条直角边长分别为

a

和

b，斜边长为

c.（1）已知

a=6，c=10，求

b；（2）已知

a=5，b=12，求

c；（3）已知

b=15，c=25，求

a.c2=a2+b2变式1:a2=c2－b2变式2:b2=c2－a2解:由勾股定理:（1）

【选自教材第25页练习第1题】练习2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形

都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别

是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.

解：根据图形，最大正方形

E

的面积为122+162+92+122=625.【选自教材第26页练习第2题】3.如图，在平面直角坐标系中有两点

A（5，0）和B（0，4）.求这两点间的距离.解：由图可知，A，B

两点间的距离为

【选自教材第26页练习第3题】这节课有什么收获呢？勾股定理内容如果直角三角形的两条直角边长分别为

a，b，斜边长为

c，

那么

a2+b2=c2.证法变式多种：截、割、补a2=c2－b2

b2=c2－a2

BACbac课堂小结勾股定理和人类文明

我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．在我国勾股定理也叫作“商高定理”.拓展：刘徽：青朱出入图以直角三角形的勾、股、弦为边，分别作出正方形勾自乘为朱方股自乘为青方弦2=朱方+青方弦2=勾2+股2勾股定理的证明拓展：毕达哥拉斯：利用拼接图形的面积法重新组合勾股定理的证明S左=a2+b2+4×

abS右=c2+4×

ab因为S左=S右所以a2+b2=c2拓展：加菲尔德：梯形面积法题设：Rt△ABC≌Rt△CDE易证：△ACE为直角三角形，四边形ABDE为梯形S梯形ABDE=S△ABC+S△C