高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数2课件

3 3二倍角的三角函数 二 知识提炼 半角公式 2cos2 1 1 2sin2 2 即时小测 1 思考下列问题 1 半角公式的两端有什么变化 提示 半角公式的等式两端 从左向右 方次降低 角度加倍 从右向左 方次增大 角度减半 2 如何确定sin cos公式中的正负号 提示 依据所在象限相应的三角函数值的符号确定 如果所在象限无法确定 则应保留sin cos公式中的正负号 2 sin75 解析 sin75 答案 3 计算tan22 5 解析 tan22 5 答案 1 4 若 解析 因为所以答案 5 化简 解析 原式 答案 知识探究 知识点半角公式观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 半角的正弦 余弦 正切公式是什么 问题2 半角公式的适用条件是什么 总结提升 1 半角公式与二倍角公式的关系半角公式与二倍角公式功能各异 本质相同 对立统一 2 公式适用的条件 1 半角的正弦和余弦公式对任意的角都成立 2 中要求角 2k k Z 而中则要求角 k k Z 3 半角公式的应用 1 半角公式给出了求的正弦 余弦 正切的一种方式 即只需知道cos 的值及相应 的条件 便可求出 2 由于不含被开方数 且不涉及符号问题 所以求解关于tan的题目时 使用相对方便 但需要注意该公式成立的条件 3 涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目 常用求解 题型探究 类型一求值问题 典例 1 已知则sin 2 已知求的值 解题探究 1 典例1中 是第几象限的角 2 是第几象限的角 提示 是第三象限的角 2 是第二象限的角 2 典例2中如何由sin 求出cos 提示 解析 1 因为所以 cos2 cos2 即cos2 所以sin 答案 2 因为因为所以 方法技巧 利用半角公式求值的思路 1 看角 若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍 则常常借助半角公式求解 2 明范围 由于半角公式求值常涉及符号问题 因此求解时务必依据角的范围 求出相应半角的范围 3 选公式 涉及半角公式的正切值时 常用其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题 涉及半角公式的正 余弦值时 常先利用计算 4 下结论 结合 2 求值 变式训练 2015 新余高一检测 设 2 则等于 解析 选D 因为 2 则所以 类型二三角函数式的化简与证明 典例 1 若 2 则化简的结果为 2 求证 解题探究 1 典例1中如何去掉根号 提示 将根号里面的式子转变成完全平方的形式 2 证明典例2的关键是什么 提示 借助公式把 1 消去 解析 1 原式 因为 2 所以从而故原式 答案 2sin 延伸探究 1 改变问法 典例1中若题设条件不变 将函数式改为结果怎样 解析 因为所以原式 答案 cos 2 变换条件 典例1中若将条件 2 改为 结果如何 解析 原式 因为故又故原式 答案 2cos 方法技巧 利用半角 倍角 公式化简三角函数的要求及方法 1 对于三角函数式的化简有下面的要求 能求出值的应求出值 使三角函数种数尽量少 使三角函数式中的项数尽量少 尽量使分母不含有三角函数 尽量使被开方数不含三角函数 2 化简的方法 弦切互化 异名化同名 异角化同角 降幂或升幂 补偿训练 1 已知 化简 解题指南 先把被开方数利用倍角公式 升幂 再由的范围开方进行化简 解析 原式 2 求证 证明 方法一 左边 右边 所以原式成立 类型三三角恒等变换与三角函数的综合性问题 典例 1 2015 合肥高一检测 设a R f x cosx asinx cosx cos2满足f f 0 当x 时 则f x 的值域为 2 2015 潍坊高一检测 已知函数f x 2sinxcosx 2cos2x 1 x R 1 求函数f x 的最小正周期 2 若求cos2x0的值 解题探究 1 求解典例1的关键是什么 提示 关键是利用三角恒等变换将函数的解析式化为y Asin x 的形式 2 解答典例2的关键是什么 提示 正确将f x 化为f x Asin x 的形式 解析 1 选D f x asinxcosx cos2x sin2x 2 1 f x 2sinxcosx 2cos2x 1 sin2x cos2x 2sin所以f x 的最小正周期为 延伸探究 典例2中f x 在区间上的最大值和最小值是什么 解析 因为所以所以f x 在区间上的最大值为2 最小值为 1 方法技巧 较复杂三角函数性质问题研究流程 变式训练 函数y acos2x asin2x 2a b x 若函数的值域是 5 1 求常数a b的值 解析 y a sin2x cos2x 2a b 当a 0时 ymax 2a 2a b 1 ymin 2a 1 2a b 5 由 得所以a 6 b 5 当a 0时 y b与函数值域 5 1 矛盾 所以a 0 当a 0时 ymax 2a 1 2a b 1 ymin 2a 2a b 5 由 得所以a 6 b 1 综上所述a 6 b 5 或a 6 b 1 补偿训练 已知函数 1 求函数f x 的最小正周期 2 求函数h x f x g x 的最大值 并求使h x 取得最大值的x的集合 解析 1 f x 所以f x 的最小正周期为 2 h x f x g x 所以h x 的最大值为 此时2x 2k k Z 所以x k k Z 所以h x 的最大值为 此时x的集合为 规范解答三角函数与三角变换的综合问题 典例 12分 已知向量a cos x sin x sin x b cos x sin x 2cos x 设函数f x a b R 的图像关于直线x 对称 其中 为常数 且 1 求函数f x 的最小正周期 2 若y f x 的图像经过点求函数f x 在区间上的取值范围 审题指导 要求周期 必须由数量积求函数解析式 化简后进一步求解 规范解答 1 题后悟道 1 熟练地掌握二倍角公式cos2x cos2x sin2x sin2x 2sinxcosx 这两个公式不仅会正用 也要会熟练地逆用 例如 本例就是要逆用两个公式得到sin2 x cos2